2.1 直线的倾斜角与斜率讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题2.1 直线的倾斜角与斜率 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【知识点2 两条直线平行的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【知识点3 两条直线垂直的判定】 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（2023-2024·高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过点和，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】（2023-2024·高二上·山东名校联盟·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023-2024·高二上·山东菏泽·期中）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是________． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（2022-2023·高二上·山东烟台·期中）已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【变式2-1】（2023-2024·高二上·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数______． 【变式2-2】（2023-2024·高二上·山东淄博·期中）经过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023-2024·高二下·山东泰安·期末）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例3】（2023-2024·高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式3-1】（2023-2024·高二上·山东普大联考·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数__________. 【变式3-2】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段练习）已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 【变式3-3】（2022-2023·高二上·山东聊城·阶段练习）（多选）已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可能为（    ） A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3) D．(0，3) 【变式3-4】（2023-2024·高二上·山东烟台·期中）设直线：，则的倾斜角的范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例4】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段练习）已知点，经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【变式4-1】（2021-2022·高二上·山东济宁·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（       ） A．k或 B．k或 C． D． 【变式4-2】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段练习）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023-2024·高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（ ） A. B. C. D. 【题型5 两条直线平行的判定】 【例5】（2022-2023·高二上·山东菏泽·阶段练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【变式5-1】（2023-2024·高二上·山东潍坊·期中）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【变式5-2】（2023-2024·高二上·山东招远·阶段测试）（多选）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为150° C．直线不经过第三象限 D．直线与直线平行 【题型6 由两直线平行求参数】 【例6】（2023-2024·高二上·山东·期中）已知直线，，若，则的值为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 【变式6-1】（2023-2024·高二上·山东菏泽·12月月考）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 【变式6-2】（2023-2024·高二上·山东青岛·期中）设，则“直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型7 两条直线垂直的判定】 【例7】（2022-2023·高二上·山东济潍坊·期中）直线，的斜率是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 与的位置关系不确定 【变式7-1】（2022-2023·高二上·山东菏泽·阶段测试）以点，，为顶点的三角形是（    ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式7-2】（2022-2023·高二上·山东济南·阶段测试）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 【题型8 由两直线垂直求参数】 【例8】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段测试）若直线l的方程为，若直线l与直线m：垂直，则 ． 【变式8-1】（2023-2024·高二上·山东烟台·阶段测试）已知直线，互相垂直，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式8-2】（2023-2024·高二上·山东青岛·阶段测试）若直线：与直线：垂直，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 或0 C. 0或 D. 【变式8-3】（2023-2024·高二上·山东枣庄·期中）如果直线：与直线：垂直，则______ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【知识点2 两条直线平行的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 【知识点3 两条直线垂直的判定】 1．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（2023-2024·高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过点和，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出的斜率，然后根据求解出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为， 所以且， 所以， 故选：C. 【变式1-1】（2023-2024·高二上·山东名校联盟·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：A. 【变式1-2】（2023-2024·高二上·山东菏泽·期中）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是. 故答案为：. 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（2022-2023·高二上·山东烟台·期中）已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得直线的倾斜角，从而求得直线的倾斜角，进而求得直线的斜率. 【详解】直线过原点和，所以斜率为，倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，斜率为. 故选：A 【变式2-1】（2023-2024·高二上·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可. 【详解】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为：. 【变式2-2】（2023-2024·高二上·山东淄博·期中）经过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，所以直线的倾斜角为； 故选：A 【变式2-3】（2023-2024·高二下·山东泰安·期末）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率. 【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为； ②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为. 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 【题型3 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例3】（2023-2024·高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据斜率公式求解． 【详解】由题意，解得， 故选：C． 【变式3-1】（2023-2024·高二上·山东普大联考·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由倾斜角得斜率，由斜率公式可得参数值． 【详解】过两点的直线的倾斜角为， 则，又. 故答案为：1. 【变式3-2】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段练习）已知直线过点和，直线过点和，若两条直线的斜率相等，则的值为 【答案】 【分析】由斜率公式建立方程求解即可. 【详解】由直线过点，， 得直线的斜率， 又直线过点和， 得直线的斜率， 因为两条直线的斜率相等， 所以，解得. 故答案为：. 【变式3-3】（2022-2023·高二上·山东聊城·阶段练习）（多选）已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可能为（    ） A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3) D．(0，3) 【答案】AC 【分析】设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n)，解方程＝＝1，即得解. 【详解】解：设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n). 由kPA＝1，得＝＝1， 得m＝3，n＝－3. 故点P的坐标为(3，0)或(0，－3). 故选：AC 【变式3-4】（2023-2024·高二上·山东烟台·期中）设直线：，则的倾斜角的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数图像求出倾斜角的范围. 【详解】直线的斜率， 设其倾斜角为，则， 由正切函数图像可知. 故选：B. 【题型4 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例4】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段练习）已知点，经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求解. 【详解】   根据题意，，， 根据图象可得直线的斜率的取值范围是或. 故选：A 【变式4-1】（2021-2022·高二上·山东济宁·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（       ） A．k或 B．k或 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】 如图所示： 因为， 所以当直线过点且与线段相交时，的斜率的取值范围是或， 故选：B 【变式4-2】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段练习）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C 【变式4-3】（2023-2024·高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图像，求斜率范围即可. 【详解】 若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 【题型5 两条直线平行的判定】 【例5】（2022-2023·高二上·山东菏泽·阶段练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【解题思路】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可. 【解答过程】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立； 综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件. 故选：D. 【变式5-1】（2023-2024·高二上·山东潍坊·期中）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论直线的位置关系. 【详解】直线可化为， 所以当时，两直线重合； 当时，两直线相交. 故选：D 【变式5-2】（2023-2024·高二上·山东招远·阶段测试）（多选）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为150° C．直线不经过第三象限 D．直线与直线平行 【答案】BCD 【分析】由直线方程确定斜率、倾斜角判断A、B；根据直线方程直接判定所过象限判断C；由直线平行的判定判断D. 【详解】由题设，若倾斜角，则，A错，B对； 显然直线过第一、二、四象限，不过第三象限，C对； 由，故与平行，D对. 故选：BCD 【题型6 由两直线平行求参数】 【例6】（2023-2024·高二上·山东·期中）已知直线，，若，则的值为（ ） A. B. 6 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】因为，所以， 故选：C. 【变式6-1】（2023-2024·高二上·山东菏泽·12月月考）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据直线平行的条件求解即可. 【详解】由两直线平行，得，解得. 当时，直线与直线平行，故. 故选：B. 【变式6-2】（2023-2024·高二上·山东青岛·期中）设，则“直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一般式中两直线平行满足的条件，即可求解. 【详解】若直线与直线平行，则，解得或， 故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【题型7 两条直线垂直的判定】 【例7】（2022-2023·高二上·山东济潍坊·期中）直线，的斜率是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 与的位置关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案. 【详解】设直线的斜率分别是， 依题意，所以. 故选：B 【变式7-1】（2022-2023·高二上·山东菏泽·阶段测试）以点，，为顶点的三角形是（    ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出三边所在直线的斜率，由斜率判断． 【详解】由题意，同理，，，， 三角形是直角三角形． 故选：B． 【变式7-2】（2022-2023·高二上·山东济南·阶段测试）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若斜率，则 B．若，则 C．若倾斜角，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D. 【详解】对于A, 若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确； 对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确； 对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则 ，正确； 对于D, 若，不妨取， 则，不满足，不垂直，D错误， 故选： 【题型8 由两直线垂直求参数】 【例8】（2023-2024·高二上·山东泰安·阶段测试）若直线l的方程为，若直线l与直线m：垂直，则 ． 【答案】1 【分析】分别求出两直线的斜率，根据垂直关系斜率相乘等于得出结果. 【详解】直线l的方程为的斜率为，直线m：的斜率为， 由已知两直线垂直得出，解得. 故答案为：1. 【变式8-1】（2023-2024·高二上·山东烟台·阶段测试）已知直线，互相垂直，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】 根据两一般式直线相互垂直求的值，注意验证求得的值是否满足直线方程. 【详解】因为直线，互相垂直， 所以，所以 或， 当，直线不存在，故. 故选：A 【变式8-2】（2023-2024·高二上·山东青岛·阶段测试）若直线：与直线：垂直，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 或0 C. 0或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程，从而求得的值. 【详解】由于，所以， 解得或. 故选：C 【变式8-3】（2023-2024·高二上·山东枣庄·期中）如果直线：与直线：垂直，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】若斜率存在的两条直线互相垂直，则其斜率积为，由此求得. 【详解】直线：的斜率为， 直线：的斜率为， 因为，所以，解得. 故答案为：2. 学科网（北京）股份有限公司 $$