2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册)

第 2 章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 人教A版2019必修第一册 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系。 2.掌握一元二次不等式，含参数的一元二次不等式的解法。 3.能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题。 教学目标 温故知新 01 情景导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式， 发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： 方程的解为 不等式的解为 不等式的解为 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式， 他们的联系又是怎样的呢？ 一元二次不等式 02 概念讲解 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为ｍ，则另一条边长为（）ｍ． 由题意，得:（）＞２０， 其中∈｛｜０＜＜１２｝． 整理得 ２－１２＋２０＜０，∈｛｜０＜＜１２｝． ① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 概念讲解 在上题中我们得到这样一个不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式， 称为一元二次不等式.它的一般形式是 ， ， 其中都是常数且 . 1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如等； 2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0. 概念辨析 B 概念讲解 探究：一元二次不等式和二次函数之间的关系 x y o 2 10 我们可以作出二次函数的图象，如右图。图象与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标即方程=0的实数根。 零点：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数 x叫做二次函数的零点． 注意：零点即二次函数的解，二次函数的根，是图象交点的横坐标，是具体数 概念讲解 思考：能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ x y o 2 10 如图，二次函数y=x2-12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段． 当x＜2 或x＞10时，图象在x轴上方，y＞０，即x2-12x+20>0； 当2<x＜10时，y<０，图象在x轴下方，即x2-12x+20<0； 故一元二次不等式x2－12x＋20＜0的解集是{x|2＜x＜10}. 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 的解集.首先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像求解. 概念讲解 () 两个不等实根 () 两个相等实根 没有实数根 {} {} R {} ∅ ∅ 概念讲解 归纳小结 三个“二次”关系的实质用数形结合的思想来解读 的解的图像与轴的交点的横坐标； 的解集的图像上的点处于轴 上方时，对应的的取值范围的集合； 的解集的图像上的点处于轴 下方时，对应的的取值范围的集合； 概念讲解 例1.求不等式的解集. 解：对于方程，因为，所以它有两个实数根.解得. 画出二次函数的图象，如下图， 结合图象得不等式的解集为. 概念讲解 ∅ 二次项系数为“负”，需要把二次项系数变为“正” 概念讲解 概念讲解 归纳小结 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 含参数的一元二次不等式 03 概念讲解 思路点拨：①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？ ②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？ 概念讲解 概念讲解 概念讲解 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 课堂小结 04 课堂小结 练习：不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________． 解：原不等式变形为3x2－5x＋4<0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0， 所以3x2－5x＋4＝0无解． 由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知， 3x2－5x＋4<0的解集为∅. 练习2：解下列不等式 (1)x2－4x＋4>0； (2)－x2＋2x－3<0； 解：(1)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， ∴不等式x2－4x＋4>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠2)). (2)原不等式可化为x2－2x＋3>0， 由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解， ∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R. 例2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 解：当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 当a<0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0， ∵eq \f(1,a)<1，∴x<eq \f(1,a)或x>1. 当a>0时，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0. ①若eq \f(1,a)<1，即a>1，则eq \f(1,a)<x<1； ②若eq \f(1,a)＝1，即a＝1，则x∈∅； ③若eq \f(1,a)>1，即0<a<1，则1<x<eq \f(1,a). 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为 \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x或x>1)) ； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a>1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))). $$