精品解析：2023-2024学年福建省莆田市人教版五年级下册期末测试数学试卷

莆田市2023～2024学年第二学期期末诊断 五年级数学试卷 （满分：100分；考试时间：60分钟） 注意事项： 1.考生务必用黑色水笔填写学校、姓名和准考证号并作等。 2.保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破。 一、选择题（每题只有一个正确选项，请将正确选项填在括号中，每小题2分，共20分。） 1. 比较、0.88、0.889、的大小，最大的数是（ ）。 A. B. 0.88 C. 0.889 D. 2. 三个连续的奇数，中间那个数是三个数之和的（ ）。 A. B. C. D. 3. 要表示深圳市2020年月平均气温的变化情况，最好用（ ）。 A 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 统计表 4. 下列四种做法中，正确的是（ ）。 A. B. C. D. 5. 掷一个骰子，出现（ ）的可能性最小。 A. 奇数 B. 偶数 C. 质数 D. 合数 6. 图中括号里填上适当的分数，应填（ ）。 A. B. C. D. 7. 一个长方体挖掉一个小方块（如图），下面说法正确的是（ ）。 A. 表面积、体积都减少 B. 体积减少，表面积增加 C. 表面积、体积都不变 D. 体积减少，表面积不变 8. 淘气摆几何体从上面观察形状是的是（ ）。 A. B. C. D. 9. 浩浩坐在班级的最后一排，他的位置是（6，5）；阳阳坐在班级的最后一列，他的位置是（7，4）。这个班最多有（ ）名学生。 A. 28 B. 30 C. 35 D. 42 10. “鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。利用一架天平则至少称（ ）次才能保证找出这枚假铜钱。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题。（每小题2分，共20分） 11. 睡觉的床面积大约是3（ ） 45秒＝（ ）分 5.28L＝（ ）L（ ）mL 12. 能同时被2、3、5整除的最大两位数是（ ），最小三位数是（ ）。 13. 寻找规律填数：5，8，13，21，34，__________，89。 14. 已知a＝2×2×3×5，b＝2×2×3×3×5，则a和b的最大公因数是__________。 15. 要使61□既是2倍数，又是3的倍数，□中最大填（ ）。 16. 如图总面积为1，那么阴影部分面积用分数表示是__________。 17. 教室里有若干名学生，走了10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍。那么最初有（ ）名女生。 18. 将一根6米长的绳子对折三次，再沿折痕剪开，每段长__________米。 19. 一个长方体和一个正方体棱长总和相等，已知长方体长是7厘米、宽是6厘米、高是5厘米，那么两者体积相比较，相差__________立方厘米。 20. 如图，正方形ABCD的边长是8厘米，长方形DEFG的长DG＝10厘米，则它的宽DE的长是__________厘米。 三、动手操作，展示才能。（8分） 21. （1）如图，每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么图形A的面积是__________平方厘米。 （2）将图A绕“O”点按顺时针方向旋转90°后，得到图形B；再将图形B向右平移5格，得到图形C。在图中画出图形B与图形C。 四、计算题。（18分） 22. 脱式计算，能简算就简算。 （1） （2）6.25×0.16＋264×0.0625＋5.2×6.25＋0.625×20 （3） （4） 23. 解下列方程。 （1） （2） 五、解答题。（共34分） 24. 明明今年读五年级，他的年龄是个偶数，且有6个因数，妈妈今年的年龄是明明的倍数，又是36的因数，请你猜一猜明年明明和妈妈各多少岁？ 25. 某工程队要修一条隧道，第一个月完成了全工程的，第二个月比第一个月少完成全工程的，这两个月把这条隧道修完了吗？ 26. 根据统计图完成下面各题。 2011年～2021年全国出生人口数和死亡人口数统计图 （1）相邻的两年中，出生人口数增长最快的是从（ ）年到（ ）年，增长了（ ）万人。 （2）出生人口数和死亡人口数相差最多的是（ ）年，相差（ ）万人；出生人口数和死亡人口数相差最少的是（ ）年，相差（ ）万人。 （3）请你根据统计图中提供的信息，分析国家为什么会在2015年提出“二胎”政策、2021年提出“三孩”政策？ 27. 用棱长为1厘米的小正方体搭立体图形。 （1）搭一个稍大一些的正方体，至少需要__________个小正方体，这个正方体的棱长和是__________厘米，表面积是__________平方厘米。 （2）如图是小明搭的一个立体图形，请你算一算它的表面积和体积。 28. 用棱长1厘米小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？ （1）完成下表，看看每类小正方体都在什么位置。你能发现什么规律？ 序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数 ① 8 0 0 0 ② 8 12 6 1 ③ 8 24 ④ ⑤ 发现规律（写出一条即可）：__________ （2）如果摆成下面的几何体，当排出10层的几何体它一共有几个小正方体？ 29. 1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田市2023～2024学年第二学期期末诊断 五年级数学试卷 （满分：100分；考试时间：60分钟） 注意事项： 1.考生务必用黑色水笔填写学校、姓名和准考证号并作等。 2.保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破。 一、选择题（每题只有一个正确选项，请将正确选项填在括号中，每小题2分，共20分。） 1. 比较、0.88、0.889、的大小，最大的数是（ ）。 A. B. 0.88 C. 0.889 D. 【答案】C 【解析】 【分析】把分数化为小数，多位小数比较大小时，从高位到低位依次比较各个位上的数字，较高位上数字大的小数值大，较高位上数字小的小数值小，据此解答。 【详解】＝8÷9＝，＝7÷8＝0.875，在、0.88、0.889、0.875中，它们的整数部分和小数点后面第一位数字相同，0.875小数点后面第二位数字是7，、0.88、0.889小数点后面第二位数字是8，且小数点后面第三位数字是8，0.88小数点后面第三位数字是0，0.889小数点后面第三位数字是9，则0.875＜0.88＜＜0.889，即＜0.88＜＜0.889，所以最大的数是0.889。 故答案为：C 【点睛】小数、分数比较大小时，通常把分数转化为小数，再进行比较，掌握多位小数比较大小的方法是解答题目的关键。 2. 三个连续的奇数，中间那个数是三个数之和的（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连续三个奇数，两两奇数之间的差值是2，可以用未知数x表示中间位置的奇数，则前一个奇数为x－2，后一个奇数为x＋2，列出式子解出可得出答案。 【详解】可设中间的奇数为x，则前一个奇数为x－2，后一个奇数为x＋2；根据题意可得三个数之和：；故中间那个数是三个数之和的：。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查的是运用设未知数解决问题，解题的关键是通过设中间数为未知数，再表示出前后两个奇数，进而得出答案。 3. 要表示深圳市2020年月平均气温的变化情况，最好用（ ）。 A. 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 统计表 【答案】B 【解析】 【分析】首先要清楚每一种统计图的特点：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；据此解答即可。 【详解】要表示深圳市2020年月平均气温的变化情况，最好用折线统计图。 故答案为：B 【点睛】解答此题要熟练掌握条形、折线、扇形统计图的特点。 4. 下列四种做法中，正确的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。据此逐项分析即可。 【详解】A．的分子乘2，分母乘4，所得分数与大小不一样，故不能用等号连接，选项错误； B．的分子减2，分母减2，所得分数与大小不一样，故不能用等号连接，选项错误； C．分子加2，分母加2，所得分数与大小不一样，故不能用等号连接，选项错误； D．的分子乘15，分母也乘15，根据分数的基本性质，所得分数与大小一样，选项正确； 故答案为：D 5. 掷一个骰子，出现（ ）的可能性最小。 A. 奇数 B. 偶数 C. 质数 D. 合数 【答案】D 【解析】 【分析】因为骰子共有1～6六个数字，其中偶数有：2、4、6三个，奇数有：1、3、5三个，质数有：2、3、5三个，合数有：4、6两个；求掷偶数、奇数、合数、质数的可能性，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答，再比较即可。 【详解】根据分析得，偶数、奇数、质数都是3个，3÷6＝，所以可能性都是； 合数只有2个，2÷6＝，＜，所以出现合数的可能性最小。 故答案为：D 【点睛】解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答，进而得出结论。 6. 图中括号里填上适当的分数，应填（ ）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从数轴图上发现是将0.8与0.9之间平均分成5份，也就是将0.1平均分成5份，每一份是0.02。括号对应的是2个0.02，也就是0.04，对应的小数是0.84。再将其化成分数，即小数化分数：一位小数、两位小数、三位小数⋯化为分数后，分数的分母为10、100、1000⋯把原来的小数去掉小数点作分子；化成分数后，能约分的要约分，化成最简分数。 详解】 故答案为：A 7. 一个长方体挖掉一个小方块（如图），下面说法正确的是（ ）。 A. 表面积、体积都减少 B. 体积减少，表面积增加 C. 表面积、体积都不变 D. 体积减少，表面积不变 【答案】D 【解析】 【分析】从图中可知，长方体的右上角被挖掉一个小方块，那么体积就减少这一个小方块的体积。 在长方体右上角挖掉一个小方块，表面积减少了3个面的面积，又露出来3个与原来相同的面，所以表面积没有变化。 【详解】一个长方体如图中挖掉一个小方块，体积减少了这个小方块的体积，表面积不变。 故答案为：D 8. 淘气摆的几何体从上面观察形状是的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从上面观察四个选项中的几何体，得出它们从上面看到的平面图形，再与淘气从上面观察到的形状相比较，找出符合要求的几何体即可。 【详解】A．，从上面看到的形状是，不符合题意； B．，从上面看到的形状是，符合题意； C．，从上面看到的形状是，不符合题意； D．，从上面看到的形状是，不符合题意。 故答案为：B 9. 浩浩坐在班级的最后一排，他的位置是（6，5）；阳阳坐在班级的最后一列，他的位置是（7，4）。这个班最多有（ ）名学生。 A. 28 B. 30 C. 35 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；所以（6，5）表示第6列第5行，（7，4）表示第7列第4行；据此可知一共有5行7列。用乘法求出最多总人数。 【详解】根据分析可知，班级的位置一共有5行7列； 5×7＝35（名） 这个班最多有35名学生。 故答案为：C 10. “鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。利用一架天平则至少称（ ）次才能保证找出这枚假铜钱。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】把16枚古铜钱分成5枚、5枚、6枚，第一次称，把两份5枚的放在天平的两端，会出现两种情况： （1）如果天平平衡，则假铜钱在6枚中，再把6枚平均分成3份，每份2枚，把两份放在天平的两端，出现两种情况：①如果天平平衡，则假铜钱在剩下的2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱；②如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱； （2）如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那5枚中，把这5枚分成2枚、2枚、1枚，把两份2枚的放在天平的两端，如果天平平衡，则假铜钱是剩下的那枚；如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，再把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱。 所以至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。 【详解】根据分析可知，至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。 故答案为：B 二、填空题。（每小题2分，共20分） 11. 睡觉的床面积大约是3（ ） 45秒＝（ ）分 5.28L＝（ ）L（ ）mL 【答案】 ①. 平方米##m2 ②. 0.75 ③. 5 ④. 280 【解析】 【分析】根据生活实际以及对面积单位的认识，直接填出第一空； 1分＝60秒，1L＝1000mL，根据这两个进率计算填出后两空。 【详解】睡觉的床面积大约是3平方米； 45÷60＝0.75（分），所以45秒＝0.75分； 0.28×1000＝280（mL），所以5.28L＝5L280mL 【点睛】本题考查了单位换算，大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率。 12. 能同时被2、3、5整除的最大两位数是（ ），最小三位数是（ ）。 【答案】 ①. 90 ②. 120 【解析】 【分析】能同时被2、3、5整除的数个位必须是0且各个数位上数字之和是3的倍数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 能同时被2、3、5整除的最大两位数是90，最小三位数是120。 【点睛】本题考查2、3、5的倍数特征，明确它们的特征是解题的关键。 13. 寻找规律填数：5，8，13，21，34，__________，89。 【答案】55 【解析】 【分析】观察发现，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，据此解答。 【详解】 因此，寻找规律填数：5，8，13，21，34，55，89。 14. 已知a＝2×2×3×5，b＝2×2×3×3×5，则a和b的最大公因数是__________。 【答案】60 【解析】 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。 【详解】a＝2×2×3×5 b＝2×2×3×3×5 a和b的最大公因数是：2×2×3×5＝60。 15. 要使61□既是2的倍数，又是3的倍数，□中最大填（ ）。 【答案】8 【解析】 【分析】同时是2和3倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数，根据个位上的数字从大到小求出个位上的最大数，据此解答。 【详解】当个位数字为8时，6＋1＋8＝15，15是3的倍数，所以□中最大填8。 【点睛】掌握2、3的倍数特征是解答题目的关键。 16. 如图总面积为1，那么阴影部分面积用分数表示是__________。 【答案】 【解析】 【分析】如下图所示，把整个图形看作单位“1”，可以平均分成8份，阴影部分占2份，则阴影部分的面积占总面积的＝。总面积为1，则阴影部分的面积是。 【详解】通过分析可得： ＝，则阴影部分面积用分数表示是。 17. 教室里有若干名学生，走了10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍。那么最初有（ ）名女生。 【答案】15 【解析】 【分析】假设教室里面有女生x名，走了10名女生，女生还剩（x－10）名，这时男生是女生人数的2倍，男生人数用x来表示[2（x－10）]名，又走了9名男生，女生是男生人数的5倍，这时数量关系式为：（男生的最初人数－9）×5＝女生走了10人的人数。 【详解】解：设教室最初有女生x人，男生有[2×（x－10）]人。 [2×（x－10）－9]×5＝x－10 [2x－20－9]×5＝x－10 [2x－29]×5＝x－10 10x－145＝x－10 10x－x＝145－10 9x＝135 x＝15 则女生最初有15名。 18. 将一根6米长的绳子对折三次，再沿折痕剪开，每段长__________米。 【答案】##0.75 【解析】 【分析】将一根绳子对折三次，对折一次把绳子平均分成2段，对折两次把绳子平均分成4段，对折三次即把绳子平均分成8段，每段的长度可用绳子长度除以8，即可得解。 【详解】（米）或0.75（米） 因此，每段长米（或0.75米）。 19. 一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体长是7厘米、宽是6厘米、高是5厘米，那么两者体积相比较，相差__________立方厘米。 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，先根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和，也是正方体的棱长总和；再根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出这个正方体的棱长； 然后根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，分别求出长方体、正方体的体积，再相减，即可求解。 【详解】长方体的棱长总和： （7＋6＋5）×4 ＝18×4 ＝72（厘米） 正方体的棱长：72÷12＝6（厘米） 长方体的体积：7×6×5＝210（立方厘米） 正方体的体积：6×6×6＝216（立方厘米） 相差：216－210＝6（立方厘米） 那么两者体积相比较，相差6立方厘米。 20. 如图，正方形ABCD的边长是8厘米，长方形DEFG的长DG＝10厘米，则它的宽DE的长是__________厘米。 【答案】6.4 【解析】 【分析】如下图，连接AG。三角形ADG中，以AD为底的高等于正方形的边长，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出它的面积；以DG为底的高等于长方形的宽，根据三角形的高＝面积×2÷底，即可求出长方形的宽。 【详解】连接AG。 8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 32×2÷10 ＝64÷10 ＝6.4（厘米） 则它的宽DE的长是6.4厘米。 三、动手操作，展示才能。（8分） 21. （1）如图，每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么图形A的面积是__________平方厘米。 （2）将图A绕“O”点按顺时针方向旋转90°后，得到图形B；再将图形B向右平移5格，得到图形C。在图中画出图形B与图形C。 【答案】（1）3； （2）见详解 【解析】 【分析】（1）观察图形，可以把图形A看作是由左右两个完全一样的三角形组成，三角形的底是3厘米、高是1厘米；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2即可。 （2）根据旋转的特征，将图A绕“O”点按顺时针方向旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形B。 根据平移的特征，将图形B的各顶点分别向右平移5格，依次连接即可得到平移后的图形C。 【详解】（1）3×1÷2×2＝3（平方厘米） 图形A的面积是3平方厘米。 （2）如下图： 四、计算题。（18分） 22. 脱式计算，能简算就简算。 （1） （2）6.25×0.16＋264×0.0625＋5.2×6.25＋0.625×20 （3） （4） 【答案】（1）1（或）；（2）62.5； （3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据加法交换律和加法结合律，进行简便计算。 （2）根据积的变化规律，当一个因数乘（或除以）一个不为0的数，另一个因数除以（或乘）同一个数时，积不变。先把转换为，转换为，再根据乘法分配律进行简便计算。 （3）同级运算，按从左到右的顺序计算，先通分，再根据同分母分数相加减的计算方法计算。 （4）观察发现，所有分母都是相邻的自然数的积，可先把转换为，再拆解为，从而进行简便计算。 详解】（1） （或） （2） （3） （4） 23. 解下列方程。 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时减去，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： 五、解答题。（共34分） 24. 明明今年读五年级，他的年龄是个偶数，且有6个因数，妈妈今年的年龄是明明的倍数，又是36的因数，请你猜一猜明年明明和妈妈各多少岁？ 【答案】明明13岁；妈妈37岁 【解析】 【分析】先求出36的因数，再根据实际情况确定妈妈今年的年龄，妈妈今年的年龄是明明的倍数，则明明今年的年龄是妈妈的因数，最后用今年的年龄加上1求出明年的年龄，据此解答。 【详解】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36，明明今年读五年级，则妈妈今年的年龄可能是36岁。 如果明明今年读五年级，那么明明的年龄很可能是9岁或12岁，因为明明的年龄是个偶数，所以明明今年的年龄可能是12岁。 12的因数有：1，2，3，4，6，12，一共有6个因数，符合题意。 明年妈妈的年龄：36＋1＝37（岁） 明年明明的年龄：12＋1＝13（岁） 答：明年明明13岁，妈妈37岁。 【点睛】根据36的因数联系生活实际确定妈妈今年的年龄是解答题目的关键。 25. 某工程队要修一条隧道，第一个月完成了全工程的，第二个月比第一个月少完成全工程的，这两个月把这条隧道修完了吗？ 【答案】未修完 【解析】 【分析】把修这条隧道的总工程量看作单位“1”，第一个月完成了全工程的，第二个月完成全工程的（－），把这两个月完成工程的分率相加，再与1比较，即可判断这两个月能否把这条隧道修完。 【详解】－＋ ＝－＋ ＝ ＜1 答：这两个月未修完这条隧道。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用分数的加减混合运算解决实际问题。 26. 根据统计图完成下面各题。 2011年～2021年全国出生人口数和死亡人口数统计图 （1）相邻的两年中，出生人口数增长最快的是从（ ）年到（ ）年，增长了（ ）万人。 （2）出生人口数和死亡人口数相差最多的是（ ）年，相差（ ）万人；出生人口数和死亡人口数相差最少的是（ ）年，相差（ ）万人。 （3）请你根据统计图中提供的信息，分析国家为什么会在2015年提出“二胎”政策、2021年提出“三孩”政策？ 【答案】（1）2015；2016；131 （2）2016；809；2021；48 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）相邻两年的出生人口增长最快，从统计图上只要找到折线倾斜角度最大的那段，据此解答； （2）出生人口数和死亡人口数相差最多（最少），两条折线相距最远（最近），据此解答； （3）实线、虚线的具体走势所代表的是出生人口与死亡人口的变化，据此解释国家为什么会在2015年提出“二胎”政策、2021年提出“三孩”政策，据此解答。 【详解】（1）相邻的两年中，出生人口数增长最快的是从2015年到2016年，（万人），即增长了131万人。 （2）（万人），出生人口数和死亡人口数相差最多是2016年，相差809万人； （万人），出生人口数和死亡人口数相差最少的是2021年，相差48万人。 （3）从统计图可看出2015年之前人口增长过慢，而死亡人口数在不断增长，说明人口老龄化严重，子女赡养压力增大，所以提出“二胎”政策；而2015年提出“二胎”政策后，2016年出生人口数有所增长，但之后就持续减少，所以2021年又提出了“三孩”政策。（答案不唯一） 27. 用棱长为1厘米的小正方体搭立体图形。 （1）搭一个稍大一些的正方体，至少需要__________个小正方体，这个正方体的棱长和是__________厘米，表面积是__________平方厘米。 （2）如图是小明搭的一个立体图形，请你算一算它的表面积和体积。 【答案】（1）8；24；24 （2）表面积150平方厘米；体积99立方厘米 【解析】 【分析】（1）根据正方体的特征，12条棱都相等；那么搭一个稍大一些的大正方体的每条棱上最少有2个棱长1厘米的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3可知，至少需要8个小正方体。 再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出大正方体的棱长总和与表面积。 （2）观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可求出它的表面积。 组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算即可求出它的体积。 【详解】（1）2×2×2＝8（个） 大正方体的棱长：1×2＝2（厘米） 棱长和：2×12＝24（厘米） 表面积：2×2×6＝24（平方厘米） 搭一个稍大一些的正方体，至少需要8个小正方体，这个正方体的棱长和是24厘米，表面积是24平方厘米。 （2）（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（24＋24＋9）×2＋9×4 ＝57×2＋36 ＝114＋36 ＝150（平方厘米） 8×3×3＋3×3×3 ＝72＋27 ＝99（立方厘米） 答：它的表面积是150平方厘米，体积是99立方厘米。 28. 用棱长1厘米的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？ （1）完成下表，看看每类小正方体都在什么位置。你能发现什么规律？ 序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数 ① 8 0 0 0 ② 8 12 6 1 ③ 8 24 ④ ⑤ 发现规律（写出一条即可）：__________ （2）如果摆成下面的几何体，当排出10层的几何体它一共有几个小正方体？ 【答案】（1）③24；8； ④8；36；54；27 ⑤8；48；96；64 在正方体中，三面涂色的正方体个数都是8个。（答案不唯一） （2）220个 【解析】 【分析】观察图形可知，三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，正方体8个顶点，所以三面涂色的个数总是8； 两面涂色的小正方形位于大正方体的每条棱上（顶点除外），正方体有12条棱，一条棱上涂两面的小正方体的个数×12； 一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间位置，正方体有6个面，中间没涂色的个数×6； 没有涂色的小正方体位于大正方体的内部，用总个数减去所有涂色的正方体个数，据此完成表格并得出规律； （1）根据上述得到的规律，继续写出第③、④、⑤个正方体中四类小正方体的个数；并写出一条自己观察到的任意规律。 （2）分别数出各个立体图形每层正方体的个数，然后再相加即可求出各有多少个正方体。 【详解】（1）③4×6＝24（个）；4×4×4＝64（个）；64－8－24－24＝8（个）； ④8；3×12＝36（个）；9×6＝54（个）；5×5×5＝125（个）；125－8－36－54＝27（个） ⑤8；4×12＝48（个）；16×6＝96（个）；6×6×6＝216（个）；216－8－48－96＝64（个） 在正方体中，三面涂色的正方体个数都是8个。 序号 三面涂色的个数 两面涂色的个数 一面涂色的个数 没有涂色的个数 ① 8 0 0 0 ② 8 12 6 1 ③ 8 24 24 8 ④ 8 36 54 27 ⑤ 8 48 96 64 （2）1＋2＝3（个） 1＋2＋3＝6（个） 1＋2＋3＋4＝10（个） 1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45（个） 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55（个） 1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝220（个） 答：当排出10层的几何体它一共有220个小正方体。 【点睛】本题主要考查学生对于小正方体涂色面的规律观察以及对于小正方体数量上的规律观察。 29. 1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 【答案】（1）2；7；a＝b＝c （2）6 【解析】 【分析】（1）把11分解成三个质数相加，11＝2＋2＋7，11＝3＋3＋5，因为7－2＞5－3，则3＋3＋5是11的最优拆分。P（m）＝a－c，则P（11）＝5－3＝2。 若P（n）＝1，即a－c＝1，a和c是连续的质数，符合条件的只有2和3。如b是2，2＋2＋3＝7，7是质数；如b是3，2＋3＋3＝8，8不是质数，不符合题意。所以n＝7。 若P（n）＝0，即a－c＝0，说明a、b、c是相同的质数。 （2）t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，据此可得：8（x＋y）＋10x＋y＝99，则18x＋9y＝99。99是奇数，18x一定是偶数，偶数＋奇数＝奇数，则9y一定是奇数，那么y也一定是奇数。因为1≤x≤y≤9，据此分别把y＝1、3、5、7或9代入方程，求出x的值，再从中找出符合的两位数，可以求出这个两位数是35、27或19。35的最优拆分是11＋11＋13，27的最优拆分是7＋7＋13，19的最优拆分是5＋7＋7，13－11＝2，13－7＝6，7－5＝2，6＞2，则P（t）的最大值是6。 【详解】（1）通过分析可得：11的最优拆分是3＋3＋5，5－3＝2，则P（11）＝2； 若P（n）＝1，即a－c＝1，则n＝2＋2＋3＝7； 若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：a＝b＝c。 （2）根据题意可得： 8（x＋y）＋10x＋y＝99 解：8x＋8y＋10x＋y＝99 18x＋9y＝99 因为1≤x≤y≤9，符合题意的两位数是35、27或19。 35＝11＋11＋13 27＝7＋7＋13 19＝5＋7＋7 13－11＝2 13－7＝6 7－5＝2 6＞2，则P（t）的最大值是6。 【点睛】第二小题中，根据数量关系列出方程，确定y是奇数，从而确定t的值是解题的关键。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$