精品解析：浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高二上学期返校联考数学试卷

绝密★考试结束前 2024学年第一学期浙南名校联盟返校联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立是（ ）． A. 内的所有直线与a是异面直线 B. 内不存在与a平行的直线 C. 内存在唯一一条直线与a平行 D. 内的所有直线与a都相交 4. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是角终边上的一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 平均数为2，方差为2.4 C. 中位数为3，众数为2 D. 中位数为3，方差为2.8 8. 设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项中说法正确的是（ ） A. 必然事件和不可能事件相互独立 B. 若数据的方差，则所有的都相同 C. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 D. 数据的方差是，数据的方差是，若，则 10. 已知，且，以下说法正确的是（ ） A 中至少有一个不大于1 B. C. D. 若，则 11. 已知平行六面体的棱长均为1，分别是棱和的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则∥面 C. 若，则面 D. 若是线段的中点，是线段上的动点，则的最小值是 非选择题部分 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则复数在复平面内对应的点位于第______象限． 13. 甲乙丙三位同学之间相互踢建子．假设他们相互间传递建子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，建子仍回到甲处的概率为____________． 14. 已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 16. 已知函数的图象关于直线对称． （1）求的值； （2）求函数的最小值． 17. 今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试．从参加考试同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如下图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级．若从成绩在的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率． 18. 如图，三棱锥分别是的中点，且． （1）求点到平面的距离； （2）若面面，求平面与平面夹角余弦值． 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）求证：，并指出取等条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★考试结束前 2024学年第一学期浙南名校联盟返校联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由并集的概念即可直接得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案． 【详解】由可得，， 则是的必要不充分条件， 故选：B. 3. 若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）． A. 内的所有直线与a是异面直线 B. 内不存在与a平行的直线 C. 内存在唯一一条直线与a平行 D. 内的所有直线与a都相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和平面的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， A选项，内过点的直线与共面，所以A选项错误. D选项，内，不过点的直线与异面，所以D选项错误. BC，若存在，则由于， 所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误. 故选：B 4. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的单调性与定义域列不等式即可求得答案. 【详解】由于在上单调递增， 所以在上恒成立，即， 故选：A. 5. 已知点是角终边上的一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义结合二倍角的余弦公式即可求解答案. 【详解】因为是终边上一点，所以， ， 故选：B. 6. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算法则，以及投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由， 可得，解得 则在上的投影向量为. 故选：D. 7. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 平均数为2，方差为2.4 C. 中位数为3，众数为2 D. 中位数为3，方差为2.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数2，方差为时，一定没有出现点数6，故B正确； 对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：B． 8. 设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使，求取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于的不等式，解出即可． 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使得，求得取值范围， 作出与的图象，如图所示， 由图知，满足条件的最短区间长度为，最长区间长度为， ∴，解得． 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项中说法正确的是（ ） A. 必然事件和不可能事件相互独立 B. 若数据的方差，则所有的都相同 C. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 D. 数据的方差是，数据的方差是，若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由必然事件与不可能事件的概念即可判断A；由方差公式即可判断B；根据互斥事件概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，结合推导可判断C；由方差的性质即可判断D. 【详解】必然事件是一定会发生的事件且概率为1，不可能事件是一定不会发生的事件且概率为0，又它们的交事件的概率为0，故相互独立，所以A正确； 若，则，故B正确； 若事件，互斥成立，则，又，所以有， 若事件，相互独立，则有，矛盾， 故事件，相互独立与事件，互斥不能同时成立，C正确； 若数据的方差是，，则数据的方差是，故D错误； 故选：ABC. 10. 已知，且，以下说法正确的是（ ） A. 中至少有一个不大于1 B. C D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用假设法可以判断A,利用基本不等式的性质可判断B,由可以判断C,可以判断D. 【详解】对于A,若均大于1,那么,矛盾, 所以中至少有一个不大于1,A正确. 对于B, , 当且仅当" "时,等号成立,B正确. 对于C, . 所以:,当且仅当,即时,等号成立,C错误. 对于D, , ,即,则,D正确. 故选：ABD. 11. 已知平行六面体的棱长均为1，分别是棱和的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则∥面 C. 若，则面 D. 若是线段的中点，是线段上的动点，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项，在，，中依次使用余弦定理即可解得； B选项，假设平面成立，由线面平行的性质可知，由平行线分线段成比例可知,找出全等三角形,可得； C选项，分别证明，由线面垂直的判定可得平面； D选项，找出全等三角形,可知当最小时，故最小，故此时三点共线，利用余弦定理求的长度即的最小值. 【详解】由题设可知，平行六面体的六个面均为一个角是的菱形，连接交于点， ​​​​​​​ 在菱形中易得,又O为中点，则， 在直角三角形中有, 在中，由余弦定理可得，解得，则， 在中，由余弦定理得,则， 在中，余弦定理可得,解得，A正确； 连接交于G，连接交于H，由于分别是棱和的中点, 可得， 连接,交于点， 则有，故， 若平面,平面,平面平面,则，故, 易得,故,与题设不符，B错误； 设与交于点，连接，因为分别是，的中点,​​​​​​​​​​​​​​则, 在菱形中易得，则， 又是中点，则，则， 过点C作，使，连接,易得， 在平面内由余弦定理得， 解得，又，，则， 则，又，则， 因为平面, 平面， 面，C正确； 由平行六面体的对称性可得,则， 当最小时，可知最小，故此时三点共线， 此时易得N为的中点， 由可得, 由B选项可知,又，则, 在中，由余弦定理可得, 解得，故的最小值是，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：空间中的最值问题，一般情况下会利用转化到同一个平面内，将其化简为代数类问题解决往往比较容易. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则复数在复平面内对应的点位于第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】先由复数的乘法运算化简，再结合复数在复平面内的点的坐标表示可直接得答案. 【详解】由题意得，故复数z对应的点为， 故对应点位于第二象限. 故答案为：二. 13. 甲乙丙三位同学之间相互踢建子．假设他们相互间传递建子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，建子仍回到甲处的概率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】列举法求古典概型的概率即可. 【详解】 设甲乙丙分别，列树状图得 3次传递基本事件是种，满足条件的基本事件是2种， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为______． 【答案】3037 【解析】 【分析】先利用定义判定函数在上的单调递增，得到当时，；并利用分子实数化变形和不等式放缩得到时，，进而得到的取值范围是，然后利用不等式恒成立的意义得到，从而求得的取值范围，得到的最小值. 【详解】设，则 ， 又∵， 同理， ∴， ∴，即， ∴在上单调递增， 又∵，∴当时，； 又∵时， ，∴时，， 且当趋近于时，无限趋近于， ∵，∴的取值范围是， 为使不等式恒成立，必须且只需， ∴，∴正整数的最小值为3037， 故答案为：3037. 【点睛】难点点睛：本题难点在于利用分子有理化方法进行恒等变形，并利用放缩法得到有关不等关系，进而证明函数的单调性和求得函数的值域. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）方法一：利用正弦定理结合和差公式化简即可求得B值；方法二：利用余弦定理结合三角函数的基本关系式能得B值； （2）方法一：由余弦定理化简可得结果；方法二：由正弦定理化简结合三角形的面积公式可得答案. 【小问1详解】 方法一 即 得： 方法二： 得 即 得： 【小问2详解】 由余弦定理得：． 得： 或 或． 方法二：由正弦定理： 或 或 16. 已知函数的图象关于直线对称． （1）求的值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）方法一：由函数的对称性可得，展开可得参数a，b的值； 方法二：将原问题转化为为偶函数，再化简可得参数值； （2）将原式化为，再结合换元法与二次函数的性质即可得最小值. 【小问1详解】 方法一：，代入展开得， 由等式恒成立，则，解得． 方法二： 因为为偶函数，则，解得． 【小问2详解】 ， 设，则， ， 函数取得最小值为0，当且仅当或的时取到． 17. 今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试．从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如下图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级．若从成绩在的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率． 【答案】（1）73 （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定第百分位数位于，设其为，由可求得结果； （2）根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【小问1详解】 成绩在的频率为，成绩在的频率为， 第百分位数位于，设其为， 则，解得：，第百分位数为. 【小问2详解】 第组的人数为：人，可记为； 第组的人数为：人，可记为； 则从中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况； 其中至少1人成绩优秀的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，共种情况； 至少1人成绩优秀的概率. 18. 如图，三棱锥分别是的中点，且． （1）求点到平面的距离； （2）若面面，求平面与平面夹角余弦值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法，由，解得：，进而能得点到平面的距离； （2）解法一：作，则，则是平面与平面所成的一个平面角，再求解即可； 解法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解. 【小问1详解】 由题可得，解得：， 由，解得：， 所以，点到平面的距离为1． 【小问2详解】 解法一：（几何法） 由， 面．结合第1问，可得：． 由平面 记面面， 由 作，则． 可知：是平面与平面所成的一个平面角． 在中，解得： ． 所以，平面与平面夹角的余弦值是． 解法二：（向量法） 如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，过点，垂直于底面向上为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系． 设， 则, 设面的法向量为． 由可得， 令可得：， 易得，平面的法向量． 所以， 即平面与平面夹角的余弦值是． 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）求证：，并指出取等条件． 【答案】（1）； （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）由题意得和全都互质，所以，则答案可求； （3）分， 和三种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ，要使得最小，就得使和全都互质， 当中所有元素互质的时候，， 即， 解得：就是所求的最小值； 【小问3详解】 当时，取等号 当时，取等号 当时不妨令，则 有 其中中元素的个数为个， 即， 当且仅当，此时中只有个元素．（或指出为等比数列）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $