精品解析：河南省新乡市封丘县第一中学2024-2025学年高二上学期开学检测考试数学试题

封丘一中高二上期开学检测考试 数学试题 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是夹角为单位向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是（ ） A B. C. D. 5. 下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 7. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 锐角三角形中，角，，所对应的边分别是，，，下列结论一定成立的有（ ）. A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是对立事件 C. D. 与相互独立事件 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取______名志愿者． 13. 从、、、任取两个不同的数字，分别记为、，则为整数的概率是______ 14. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，则该几何体的体积为__________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求与． 16. 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 17. 甲､乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率； （2）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率． 18. 在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且  . （1）求角； （2）若，求面积最大值； （3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 如图，在矩形中，，，是线段AD上一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． （1）当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； （2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 封丘一中高二上期开学检测考试 数学试题 姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解两个集合，再结合两集合交集定义求解答案； 【详解】因为，所以． 故选：B. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则进行求解即可. 【详解】∵，∴， 故选：C 3. 已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可． 【详解】因为． 故选：B． 4. 若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求直线斜率，得到方向向量，再取到法向量. 【详解】直线的倾斜角为， 直线的斜率， 直线的一个方向向量为，则直线的一个法向量为． 故选：B. 5. 下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像分析周期性和单调性选出答案即可. 【详解】解:由题知关于选项A,最小正周期为,所以选项A错误; 关于选项B,画函数图像如下: 根据图像可知选项B正确; 关于选项C,画函数图像如下: 根据图像可知周期为,选项C错误; 关于选项D,画函数图像如下: 根据图像可知函数在区间上为增函数,选项D错误. 故选:B 6. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断． 【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增， ∴，解得m＝2， ∴， ∴在R上为奇函数， 由，得， ∵在R上为单调增函数， ∴， ∴恒成立． 故选：A． 7. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D，因轴，轴，则， 又轴，则四边形为平行四边形，故. 又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为， 因四边形面积是四边形的面积的倍， 则四边形OABC的面积为. 故选：B 8. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【详解】连接，则. 又，所以四边形为正方形，， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切， 所以点到直线的距离，解得. 故选：D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意得只需即可，然后逐个分析判断. 【详解】若，则需，即， 对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：ABC 10. 锐角三角形中，角，，所对应的边分别是，，，下列结论一定成立的有（ ）. A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为锐角三角形，正弦定理及余弦定理即可判断A；由诱导公式即可判断B；由为锐角三角形及三角函数的单调性即可判断C；由为锐角三角形及列出不等式组求解即可判断D． 【详解】对于A，因为为锐角三角形，所以， 由余弦定理得，，即， 由正弦定理得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为为锐角三角形，且，所以， 又因为在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，由得，， 由为锐角三角形得，， 即，解得，故D正确； 故选：BCD． 11. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是对立事件 C. D. 与是相互独立事件 【答案】CD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法判断即可. 【详解】由事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”， 可知两事件互不影响，即M与N相互独立， 易得，，所以,且， 综上，选项C和选项D正确. 故选：CD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取______名志愿者． 【答案】15 【解析】 【分析】根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出． 【详解】高三年级抽取的人数为． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查分层抽样的特征的理解和运用，属于容易题． 13. 从、、、任取两个不同的数字，分别记为、，则为整数的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】由利用列举法先求出基本事件总数，再判断为整数满足的基本事件个数，由此能求出为整数的概率． 【详解】从、、、中任取两个数记为，作为对数的底数与真数： ，共12个不同的基本事件， 其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率． 故答案为：. 14. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，则该几何体的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先补全多面体ABCDEF，得到三棱柱，然后求出三棱锥的体积，从而求解． 【详解】在多面体中，由，平面，平面， 得平面，延长FE到G，使得，连接DG、AG，如图： 显然，，几何体为三棱柱， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则三棱柱为直三棱柱， 于是三棱锥的体积为：， 所以原几何体的体积为：. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求与． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律展开已知条件，将，代入求解可得； （2）利用向量平方等于模的平方，转化为数量积求解即可. 【小问1详解】 由，得， 即，求得， 再由，可得． 【小问2详解】 ； ． 16. 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得； （2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为： ； 【小问2详解】 样本中年龄在区间的频率为， 年龄在区间的频率为， 则年龄区间抽取人，分别记作、、、， 年龄在区间抽取人，分别记作、， 从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、 、、、、、、、、共个， 其中满足抽取2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个， 所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 17. 甲､乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率； （2）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. （2）根据“第次击中，后两次未击中”求得乙恰好射击4次后被终止射击的概率． 【小问1详解】 甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为： . 【小问2详解】 乙恰好射击4次后被终止射击，则“第次击中，后两次未击中”， 故所求概率为：. 18. 在以下三个条件中任选一个，补充到下面问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且  . （1）求角； （2）若，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解. （2）利用余弦定理和基本不等式即可解题； （3）由正弦定理得到，从而有求解. 【小问1详解】 若选①：由正弦定理得， 则， ， ， ． 若选②：，切化弦，得到， 则由正弦定理得，，即，， ， 若选③：， 则， 由正弦定理得， ， . 【小问2详解】 由余弦定理得，， 则，当且仅当“”时，取“＝”号，即． ，则，当且仅当“”时取得最大值． 【小问3详解】 由正弦定理得， 则， ，由于为锐角三角形， 则， . . 19. 如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． （1）当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； （2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，，，则平面，从而有，再由线面垂直的判定定理可证得结论；②过E作EO⊥BD于点O，连接，可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可； （2）过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的角，过E作EO⊥BM于点O，连接，连接，是直线与平面所成的角，是二面角平面角，设，然后表示出化简后利用二次函数的性质可求得其最大值. 【小问1详解】 ① 当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以 因为，平面，平面， 所以平面； ② 过E作EO⊥BD于点O，连接. 因为平面，平面，所以， 因为EO⊥BD， ，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线. 因为所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以在中，， 即二面角的余弦值为. 【小问2详解】 过点做交于，所以直线与平面所成的角, 即为直线与平面所成的角， 过E作EO⊥BM于点O，连接. 由②同理可得平面，平面， 所以平面平面， 作，垂足，平面平面，平面， 所以平面， 连接，是直线与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，所以， 所以， 所以，， 因为在中，斜边大于直角边，即， 所以，所以， ， 在中由等面积，， 因为，，所以是二面角平面角， 即，， ，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查线面角和二面角的求法，解题的关键是通过几何方法找出线面角和二面角，然后在三角形中求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$