精品解析：北京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题

2023-2024学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷 一、单选题（共10小题；共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量．若∥，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 记，那么 A. B. C. D. 6. 已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 7. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A. B. C. D. 8. 若，则“”的一个充分不必要条件是 A. B. C. 且 D. 或 9. 已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 设数列的前n项和为，若对任意的正整数，总存在正整数．使得，下列正确命题的个数是（ ） ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，总存在，使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共5小题：共25分） 11. 函数的定义域是_____________． 12. 已知，，，，，则_________. 13. 能够说明“恒成立”是假命题的一个的值为______. 14. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升,上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，从下部算起第5节容量是______升（结果保留分数） 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（共6小题：共85分） 16. 在中，． （1）求A； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：． 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 18. 某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 19. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 21. 已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值． （1）若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值； （2）若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值； （3）若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷 一、单选题（共10小题；共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，因此，. 故选：D. 2. 复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法得到复数z，再求共轭复数. 【详解】解：因为复数， 所以， 所以， 故选：B 3. 已知向量．若∥，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两向量共线直接列方程求解即可 【详解】因为，且 ∥， 所以，解得， 故选：D 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合； 对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合； 对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合； 对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合. 故选：D. 5. 记，那么 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】, ,从而， ， 那么， 故选B． 6. 已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，可得圆心到直线的距离，求得圆上的点到直线距离的最小值，从而得三角形面积最小值． 【详解】解：圆 即， 圆心，半径是． 直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 直线和圆相离， 点到直线距离的最小值是 3 ， 的面积的最小值为 故选：D． 7. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质 8. 若，则“”的一个充分不必要条件是 A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】， ∴，当且仅当 时取等号. 故“且 ”是“”的充分不必要条件.选C． 9. 已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D. 【详解】对于A，易知，， 所以，所以，错误； 对于B，因为，所以， 由知，错误； 对于C，，， 虽然，但是， 故对，不恒成立，错误； 对于D，函数， 则，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以， 所以， 即， 所以，正确. 故选：D 10. 设数列的前n项和为，若对任意的正整数，总存在正整数．使得，下列正确命题的个数是（ ） ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，总存在，使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】命题①赋值法，可判断；命题②分别对数列的公比等于1和不等于1进行讨论，由高次方程有理数根的判别法可判断；命题③根据已知可以得到，再根据已知相减可判断；命题④通过具体的数列举例，说明存在不符合条件得情况. 【详解】对于①：取，则，满足题设，故①正确； 对于②：假设存在，，公比为q， 若，，当时，使得， 若，，要使，则需， 即，q为有理数． 由于，我们有：，由高次方程有理数根的判别法， 此方程无有理数根，故②错误； 对于③：由题意，对任意的正整数，使得， 则存在正整数p使得，则，故③正确． 对于④：令，则，， 当时，则是非正整数，一定等于{an}中某一项． 但，不是中的项，故④错误． 综上只有两个正确. 故选：C 二、填空题（共5小题：共25分） 11. 函数的定义域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 所以该函数的定义域为， 故答案为： 12. 已知，，，，，则_________. 【答案】13 【解析】 【分析】根据向量减法几何意义，向量模的定义，结合勾股定理计算． 【详解】由题意是直角三角形，， 故答案为：13. 13. 能够说明“恒成立”是假命题的一个的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】不等式恒成立等价于恒成立，因此可构造函数，求其最值，从而找到命题不成立的具体值． 【详解】设函数，则有 ， 当时，有，单调递减； 当时，有，单调递增； 故为最小值点，有． 因此，当时，命题不能成立．故能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为0 【点睛】说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，怎样找到符合条件的反例是关键．在处理时常要假设命题为真，进行推理，找出命题必备条件． 14. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升,上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，从下部算起第5节容量是______升（结果保留分数） 【答案】 【解析】 【分析】运用等差数列通项公式求解即可. 【详解】解：根据题意，设从下部算起，易得数列为等差数列， 则. 解得， 则． 故答案为：． 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下， 因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 三、解答题（共6小题：共85分） 16. 在中，． （1）求A； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1）或 （2）选①，面积为；选②，面积为；选③，不符合题意. 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化可解； （2）若选择①：运用正弦定理，结合面积公式可解； 若选择②：运用正弦定理，结合面积公式可解； 若选择③：运用正弦余弦定理，结合面积公式可解. 【小问1详解】 因为， 则由正弦定理可得，， 又因为，所以， 又因为A为的内角， 所以或； 【小问2详解】 若选择①：因为，且, 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以； 若选择②：因为， 所以，则，则. 所以，则为等腰直角三角形， 所以； 若选择③：因为， 所以， 由余弦定理可得，， 当时，，即，解得; 当时，，即，解得； 此时不唯一，不合题意． 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【小问1详解】 易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 【小问2详解】 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 18. 某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【答案】（1）分布列： ξ 1 2 2 P 数学期望为2 （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 【解析】 【分析】(1)由题意知，甲乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二次项分布，分别列出分布列，计算均值即可； (2)结合分布列中数据，分别计算对应的均值，方差以及至少正确两题的概率比较大小即可. 【小问1详解】 设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． 【小问2详解】 略 19. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元 【解析】 【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式； （2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案. 【小问1详解】 因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得： 当时，， 当时，， ∴． 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值9； 当时，， 此时，当即时，取得最大值. 综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元. 20. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）研究的单调区间，进而求出的极值；（2）先求，再解不等式与，求出单调区间，注意题干中的的条件；（3）先把题干中的问题转化为在上有，再结合第二问研究的的单调区间，对a进行分类讨论，求出不同范围下的，求出最后结果 【小问1详解】 当时，，定义域为， 令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值 【小问2详解】 ，定义域为 因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减. 综上：单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有 由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以 当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故. 当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为 令 因为，所以，则，即，不满足题意，舍去 综上所述：a的取值范围为 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 21. 已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值． （1）若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值； （2）若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值； （3）若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式． 【答案】（1），， （2）或 （3） 由题意知，，m为常数，且且， ∴为单调递增数列， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，且且， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 又∵m为常数，且， ∴为等差数列， 为等差数列， 又∵，， ∴ ， 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由等比数列的通项公式写出的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果； （3）由等差数列的通项公式写出的通项，用定义法证明等差数列即可. 【小问1详解】 ∵，，，， 又∵，， ∴且，且， ∴， 【小问2详解】 由题意知， ，∴，且， ∵， ∴， ∴ ∴，且， 同理：，且，，且， 又∵， ∴， 即：，且， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， 同理：当时，，当时，， 又∵，，且， ∴，，， 解得：或 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $