微专题03 有理数新定义、规律探究通关专练-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

微专题03 有理数新定义、规律探究通关专练 一、单选题 1．对有理数、，定义运算*如下：，如：.试求的值.（    ） A． B． C．6 D．8 2．定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 3．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（    ） A． B．99! C．100 D．2! 5．定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如 ，据此规定计算的值为(   ) A． B． C． D．4 6．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： ···· ···· 利用以上规律计算：等于（  ） A． B． C． D． 7．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．1024 B．512 C．256 D．612 8．观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 9．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律，可得的结果的个位数字与的结果的末尾数字之和是（　　） A．0 B．1 C．6 D．8 10．探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（   ） A． B． C． D． 11．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算等于（    ） A．2022 B．2023 C． D． 12．如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点的个数为13，…，按照这样的规律，第100个图形中小黑点的个数是（    ）    A．598 B．302 C．499 D．401 13．如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（    ）后，结果就是1． A． B． C． D． 14．小红同学通过对《有理数的乘方》的学习发现：2的乘方结果的个位数有一定的规律“，⋯⋯”，请你推算的个位数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 15．为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，；根据这种运算，则 的值为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在各正方形中的四位数之间有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（    ）. A． B． C． D． 17．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．观察下列等式：，…，根据这个规律，则的末位数字是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 19．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2024年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 成 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 20．观察下列树枝分权的规律图，若第n个图树枝数用表示，则的值是（    ） A． B． C． D． 21．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” … 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 …… 则展开式中所有项的系数和是（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 22．在有理数的原有运算法则中，我们补充定义一种新运算“★”如下：，例如：，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①；②；③若，则；④若，则或．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定，如，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 24．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为，则的值为（　　） A． B． C． D． 25．如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（　　） A． B． C． D． 26．观察图1、图2、图3的运算过程并找出规律： 求的值为（   ） A．8 B． C． D．32 27．已知：，，，，…，若符合前面式子的规律，则的值为（　　） A．109 B．149 C．169 D．219 28．填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 29．观察下列算式：，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 30．观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 31．已知，，……观察以上计算过程，寻找规律计算 ． 32．找规律：观察算式 ；；；；… 按规律填空： ． 33．观察下列等式，探究其中的规律并回答问题： ， ， ， ， …… （1）第4个等式中正整数的值是 ； （2）第5个等式是： ； （3）第个等式是： （其中是正整数）． 34．我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例： 乘方运算 … … 新运算 … … 根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①，②，③．其中正确的是 ． 35．一组按规律排列的数，，，，…第9个数是 ． 36．有，两组数，每组都按一定规律排列着，并且每组各有25个数，组数中前几个数是这样排列的： 1，6，11，16，21；组数中最后几个数是这样排列的：105，110，115，120，125．那么，两组数中所有数的和是 ． 37．观察下列算式：，，根据上述算式中的规律，则的末位数字是 ． 38．根据下列等式，探究其规律： ①． ②． ③． 计算：= . 39．观察理解：，，，利用上述规律求 ． 40．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护。通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示；如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十六烷的化学式为 ． 三、解答题 41．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 42．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地， 把记作，读作“a的下n次方”． 直接写出计算结果： ， ． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： （a为有理数且）， ． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ． 【结论应用】计算：． 43．军军在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：，，，称为数列，，，计算，，，将这三个数的最小值称为数列，，，的最佳“敏园”值．例如对于数列2，，3，因为，，，所以数列2，，3的最佳“敏园”值为． 进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳“敏园”值．如数列，2，3的最佳“敏园”值为；数列3，，2的最佳“敏园”值为；…，经过研究，军军发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳“敏园”值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题： (1)数列，3，的最佳“敏园”值为______． (2)将“，3，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳“敏园”值的最小值为______，取得最佳“敏园”值最小值的数列为______（写出一个即可）； (3)将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳“敏园”值的最小值为1，求a的值． 44．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 45．探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 46．观察下列式子： 第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． 第4个式子：． … 请你按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个式子：____________． (2)写出第n个式子：____________（用含n的式子表示）． (3)请你按照规律计算的值． 47．观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，4，，16，…； ②1，，4，，… ③0，3，，9，…； (1)思考第①行数的规律，写出第7个数字是________； (2)请观察第③行数和第②行数的关系，直接写出第③行数的第8个数是________； (3)设x、y、z分别表示第①、②、③行数的第n个数字，求的值． 48．观察算式： ， (1)按规律填空 ①______； ②______； ③如果n为正整数，那么 ______． ④由此拓展写出具体过程， ______． (2)由你所找到的规律计算：． 49．【观察】观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 【猜想】根据上述式子猜想式子⑥ ：______×______； 【发现】用含n的式子表示出第n个式子：______________； 【应用】利用你发现的规律计算：． 50．观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 有理数新定义、规律探究通关专练 一、单选题 1．对有理数、，定义运算*如下：，如：.试求的值.（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故选：D． 2．定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 【点睛】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数的新定义问题，解题的关键是得出新定义的运算法则．根据题意可以得“※”的运算法则为：两数进行“※”运算时，同号得负，异号得正，并把绝对值相加，和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解： 故选：D． 4．定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（    ） A． B．99! C．100 D．2! 【答案】C 【分析】此题考查了新定义运算．根据新定义运算，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：C． 5．定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如 ，据此规定计算的值为(   ) A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，根据新定义分别求出，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选A． 6．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： ···· ···· 利用以上规律计算：等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得，，据此计算即可． 【详解】解：∵， ， 分析可得：，， ∴==2014， 故选B． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 7．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．1024 B．512 C．256 D．612 【答案】A 【分析】由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）10所有项的系数和为210，即可得出答案． 【详解】解：由“杨辉三角”的规律可知， 展开式中所有项的系数和为1， 展开式中所有项的系数和为2， 展开式中所有项的系数和为4， 展开式中所有项的系数和为8， …… 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为． 故选：A． 【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律． 8．观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子的规律得出，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后求绝对值即可求解． 【详解】解：∵，，，，……， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键． 9．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律，可得的结果的个位数字与的结果的末尾数字之和是（　　） A．0 B．1 C．6 D．8 【答案】C 【分析】观察可知的个位数字分别是7，9，3，1，四个为一组循环出现，据此分别求出两个式子的个位数字即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴的个位数字分别是7，9，3，1，四个为一组循环出现， ∵，， ∴的结果的个位数字为0，的结果的末尾数字为6， ∴的结果的个位数字与的结果的末尾数字之和是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 10．探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据系数与字母的指数规律即可求解． 【详解】解：观察系数可以发现后一项是前一项的倍，观察字母的指数可以发现为依次加1， 因此第8个单项式的系数为，字母部分为， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的规律题，解题关键是发现变化规律． 11．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算等于（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】由所给算式可知：，，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故选：B． 12．如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点的个数为13，…，按照这样的规律，第100个图形中小黑点的个数是（    ）    A．598 B．302 C．499 D．401 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算，能发现每个图形中小黑点的个数除去中间一个后，其余的小黑点个数是4的倍数进行解题即可． 【详解】解：由题知： 第1个图形中小黑点的个数为：， 第2个图形中小黑点的个数为：， 第3个图形中小黑点的个数为：， 则第100个图形中小黑点的个数为：， 故选：D． 13．如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（    ）后，结果就是1． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知 【详解】解：由图可知， 在加上后，结果就是1 故选：D 14．小红同学通过对《有理数的乘方》的学习发现：2的乘方结果的个位数有一定的规律“，⋯⋯”，请你推算的个位数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方中的规律探究．根据已知数据，得到的个位上的数字为6，的个位上的数字为2，的个位上的数字为4，的个位上的数字为8，再根据，即可得出结果． 【详解】解：∵，……， 以此类推，的个位上的数字为6，的个位上的数字为2，的个位上的数字为4，的个位上的数字为8， 又∵， ∴的个位上的数字为4． 故选：B． 15．为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，；根据这种运算，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，根据新定义运算计算即可求解，理解有理数的新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故选：． 16．如图，在各正方形中的四位数之间有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数字规律分别得出，，再由运算方法求解即可． 【详解】解：分析正方形中的四个数： 四个大正方形中第一行从左往右第一个数分别为1，3，5，7； 第二个数分别为：2，，，； ∴； 第二行第一个数分别为：4，6，8，10， ∴， 第二行第二个数分别为：，，，， 故选D． 【点睛】题目主要考查数字规律探索及有理数的乘方运算，找出相应的规律是解题关键． 17．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 18．观察下列等式：，…，根据这个规律，则的末位数字是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题目中的式子可以知道，末尾数字出现的2、4、8、6的顺序出现，从而可以求得的末位数字．本题得以解决． 【详解】解：∵，…， ∴2017÷4＝504…1， ∵（2+4+8+6）×504+2＝10082， ∴的末位数字是2， 故选：B． 【点睛】本题考查尾数特征，解答本题的关键是发现题目中的尾数的变化规律，求出相应的式子的末位数字． 19．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2024年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 成 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：天干为：；地支为：， 所以2044年应为甲子年． 故选：D． 20．观察下列树枝分权的规律图，若第n个图树枝数用表示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图中规律可得:，相减可得结论． 【详解】解：由题意得： 第1个图：； 第2个图：； 第3个图：； 第4个图：； … 第9个图：； 第10个图：； 得 故选：C 【点睛】本颗考查了图形变化类的规律问题，根据图形可知每一个树枝上长着两个小树枝是本题的关键． 21．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” … 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 …… 则展开式中所有项的系数和是（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】A 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：A． 22．在有理数的原有运算法则中，我们补充定义一种新运算“★”如下：，例如：，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①；②；③若，则；④若，则或．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，以及有理数的混合运算，利用题中新定义逐个算式判断即可． 【详解】解：①根据题意得：；正确； ②，， 当时，， 不一定相等，错误； ③若，则，正确； ④若， 或，正确， 故选：C． 23．用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定，如，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义是解答本题的关键．根据新定义转化为有理数的混合运算计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 24．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，图1中★的个数为，图2中★的个数为，图3中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形变化的规律，能用含n的代数式表示第n幅图形中三角形的个数是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中★的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1幅图中★的个数为2，即； 第2幅图中★的个数为6，即； 第3幅图中★的个数为12，即； 第4幅图中★的个数为20，即； …， 所以第n幅图中★的个数为； 所以 ． 故选：A． 25．如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将各项列式计算后进行判断即可．理解“幻生有理数对”的定义是解题的关键． 【详解】解：A.，则A不符合题意； B. ，则B不符合题意； C. ，则C符合题意； D.，则D不符合题意． 故选：C． 26．观察图1、图2、图3的运算过程并找出规律： 求的值为（   ） A．8 B． C． D．32 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化类，发现图1，图2，图3所呈现的运算规律是正确解答的关键．根据图1，图2，图3所呈现的规律进行计算即可． 【详解】解：图1，图2，图3所呈现的规律为： ，，， 的值为：， 故选：C． 27．已知：，，，，…，若符合前面式子的规律，则的值为（　　） A．109 B．149 C．169 D．219 【答案】A 【分析】根据题意的式子得出当，由此解答即可． 【详解】解：已知：， ， ， …， 则， 当时，原式为， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，根据题目所给式子得出规律是解本题的关键． 28．填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分析正方形中的四个数，找出四个数之间的联系，即可求解． 【详解】分析正方形中的四个数： 第一个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 第二个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 第三个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 第四个正方形中左上角的数为，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为； 即，． 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，找出各个数之间的联系何规律是解题的关键． 29．观察下列算式：，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及数字的变化规律—尾数特征，解题的关键是根据所给的式子，发现：（为正整数）的个位数字是，，，四个一循环，由，再根据规律即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴（为正整数）的个位数字是，，，四个一循环， ∵， ∴的末位数字与的末位数字相同，是． 故选：C． 30．观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了整式的规律探究，有理数的乘方．根据题意得到式子的规律，再根据幂的运算得到尾数的规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为：，当时代入求解，然后找出2的次方末尾数字规律，进而可得结果． 【详解】解：由题意可推导一般性规律为：， 当时， ， ∴， ∵，，，，， ∴尾数是4个一循环， ∵， ∴尾数为：， 故选：C． 二、填空题 31．已知，，……观察以上计算过程，寻找规律计算 ． 【答案】120 【分析】原式利用题中的新定义化简即可求出值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：120． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 32．找规律：观察算式 ；；；；… 按规律填空： ． 【答案】 【分析】根据题干中算式总结出公式：第n个式子：，根据规律计算即可； 【详解】解：根据； ； ； ； … 则总结出公式： 第n个式子：， 当时，那么， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，总结归纳出规律并应用规律是解题的关键． 33．观察下列等式，探究其中的规律并回答问题： ， ， ， ， …… （1）第4个等式中正整数的值是 ； （2）第5个等式是： ； （3）第个等式是： （其中是正整数）． 【答案】 9 【分析】（1）计算有理数加法求值即可； （2）根据已知等式的规律直接得到答案即可； （3）根据已知等式发现规律：此列数是从1加到，等于连续奇数的平方，此奇数表示为，由此列式即可． 【详解】解：（1）， ∴或（舍去）， 故答案为：9； （2）第个等式是， 故答案为：； （3）第n个等式是：， 故答案为：． 【点睛】此题考查有理数运算规律探究，有理数的加法计算法则，连续奇数或偶数的表示方法，根据已知等式发现规律并运用规律解决问题是解题的关键． 34．我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例： 乘方运算 … … 新运算 … … 根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①，②，③．其中正确的是 ． 【答案】/③① 【分析】本题考查了有理数的混合运算、新定义，根据题中的新定义法则判断即可，解题的关键是理解题中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则． 【详解】解：， ，故①计算正确，符合题意； ， ，故②计算错误，不符合题意； ， ，故③计算正确，符合题意； 综上所述，正确的有， 故答案为：． 35．一组按规律排列的数，，，，…第9个数是 ． 【答案】 【分析】直接根据题意找出规律作答即可． 【详解】解：， ， ， ……， 第n个数是， 第9个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，解题的关键是得到第n个数是． 36．有，两组数，每组都按一定规律排列着，并且每组各有25个数，组数中前几个数是这样排列的： 1，6，11，16，21；组数中最后几个数是这样排列的：105，110，115，120，125．那么，两组数中所有数的和是 ． 【答案】 【分析】首先判断出A组数是以1为首项，5为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式，求出它们的和是多少；然后根据B组数是以125为末项，5为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式，求出它们的和是多少；最后把A、B两组数的和相加，求出A、B两组数中所有数的和是多少即可． 【详解】解：∵组数的第25个数是， ∴组数的和是， ∵， ∴B组数的第1个数是， ∴B组数的和是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等差数列的求和公式的应用，解答此题的关键是要准确的找到数据的规律． 37．观察下列算式：，，根据上述算式中的规律，则的末位数字是 ． 【答案】7 【分析】根据前几个乘方运算结果的末位数字的变化规律，得到每4次一循环，进而可得答案． 【详解】解：根据已知算式： 的末位数字为3， 的末位数字为9， 的末位数字为7， 的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为9， ……， 由此得到，末位数字以3、9、7、1每4次一个循环， ∵， ∴的末位数字是7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查数字类规律探究，通过观察、分析、归纳发现变化规律是解答的关键． 38．根据下列等式，探究其规律： ①． ②． ③． 计算：= . 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，将每个式子按题中规律换算即可得到答案， 【详解】解： ． 故答案为：． 39．观察理解：，，，利用上述规律求 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索．观察所给等式可以得到规律，据此把所求式子进行裂项，然后合并化简即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ．．．．．． 以此类推，可知， ∴ ， 故答案为：． 40．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护。通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示；如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十六烷的化学式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律的探索，正确理解烷烃中碳原子和氢原子个数的规律是解题的关键．根据烷烃中碳原子和氢原子个数的规律，即得答案． 【详解】甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为， ， 按照此规律，十六烷的化学式为，即． 故答案为：． 三、解答题 41．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 42．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地， 把记作，读作“a的下n次方”． 直接写出计算结果： ， ． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： （a为有理数且）， ． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ． 【结论应用】计算：． 【答案】【概念学习】，；【深入探究】（1），；（2）；【结论应用】． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 概念学习：根据除方的运算法则求解即可； 深入探究：（1）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （2）根据（1）的计算结果得出规律即可； 结论应用：根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可． 【详解】概念学习： ， ； 深入探究：（1）； ； （2） ； 结论应用： ． 43．军军在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：，，，称为数列，，，计算，，，将这三个数的最小值称为数列，，，的最佳“敏园”值．例如对于数列2，，3，因为，，，所以数列2，，3的最佳“敏园”值为． 进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳“敏园”值．如数列，2，3的最佳“敏园”值为；数列3，，2的最佳“敏园”值为；…，经过研究，军军发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳“敏园”值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题： (1)数列，3，的最佳“敏园”值为______． (2)将“，3，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳“敏园”值的最小值为______，取得最佳“敏园”值最小值的数列为______（写出一个即可）； (3)将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳“敏园”值的最小值为1，求a的值． 【答案】(1) (2)；，，3 (3)9 【分析】（1）根据定义分别计算再判断即可； （2）根据不同的排列分别求出最佳“敏园”值，比较可得答案； （3）分两种情况：当时，当时，分别求出a的值． 【详解】（1）∵，，， ∴数列，3，的最佳“敏园”值为， 故答案为： （2）当数列为，，3时，，，故最佳“敏园”值为； 当数列为3，，时，，，故最佳“敏园”值为2； 当数列为3，，时，，，故最佳“敏园”值为2； 当数列为，3，时，，，故最佳“敏园”值为2； 当数列为，，3时，，，故最佳“敏园”值为； 这些数列的最佳“敏园”值的最小值为，取得最佳“敏园”值最小值的数列为，，3； 故答案为：；，，3； （3）∵， ∴当时，得（舍）或（舍）， 当时，或（舍） 当时，得或， 时，不符合题意舍去， 时，不符合题意舍去. 故a的值为． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，弄清楚题意，能够将三个数的排列准确地列出来，并根据定义进行准确运算是解题的关键． 44．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 45．探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 【答案】(1)55； (2)595 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及数字的变化规律，根据题目中的算式，总结得到规律是解题的关键． （1）根据所给的4个算式的规律，可知，求解即可；根据所给的算式总结得到规律，即可获得答案； （2）用的值减去的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据所给的4个算式的规律，可得； 根据所给的算式，总结得到规律为： ． 故答案为：55；； （2）原式 ． 46．观察下列式子： 第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． 第4个式子：． … 请你按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个式子：____________． (2)写出第n个式子：____________（用含n的式子表示）． (3)请你按照规律计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，总结规律即可； （3）根据规律计算即可． 【详解】（1）解：第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． 第4个式子：． 第5个等式是， 故答案为：； （2）解； 第1个式子：即． 第2个式子：即． 第3个式子：即． 第4个式子：即． 第5个等式是即， … ∴． 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点是解题的关键． 47．观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，4，，16，…； ②1，，4，，… ③0，3，，9，…； (1)思考第①行数的规律，写出第7个数字是________； (2)请观察第③行数和第②行数的关系，直接写出第③行数的第8个数是________； (3)设x、y、z分别表示第①、②、③行数的第n个数字，求的值． 【答案】(1)； (2)129； (3)1． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类问题， (1)第①行的数字是的序数次幂，据此可得； (2)第②行的数字是的序数减一次幂，第③行的数字是第②行对应数字与1的差的相反数，据此可得； (3)由（1)，（2）的数字规律表示出的值，然后计算它们的和． 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键． 【详解】（1）∵①， ∴第一行的数是：，…， ∴第n个数为， ∴第①行的第7个数为， 故答案为：． （2）∵①， ； ∴第②行数和第①行数的关系式是：第①行的数字的序数减一次幂即可得到对应的第②行的数字； ∵； …； ∴第③行数和第②行数的关系式是：第②行的数字与1所得差的相反数即是对应的第③行的数字； ∴第③行数的第8个数是， 故答案为：129 （3）∵分别表示第①②③行数的第n个数字， ∴， ∴ ． 48．观察算式： ， (1)按规律填空 ①______； ②______； ③如果n为正整数，那么 ______． ④由此拓展写出具体过程， ______． (2)由你所找到的规律计算：． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类规律探究，发现规律是解答本题的关键． （1）①②③④利用裂项相消法求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可． 【详解】（1）① ． 故答案为：； ② ． 故答案为：； ③如果n为正整数，那么 ． 故答案为：； ④由此拓展写出具体过程， ． 故答案为：； （2） ． 49．【观察】观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 【猜想】根据上述式子猜想式子⑥ ：______×______； 【发现】用含n的式子表示出第n个式子：______________； 【应用】利用你发现的规律计算：． 【答案】【猜想】7；8； 【发现】； 【应用】 【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 猜想：根据上述四个式子猜想第六个式子即可； 发现：根据上述式子得出一般规律，即； 应用：根据发现的规律计算即可． 【详解】解：【猜想】：式子⑥：， 故答案为：7，8； 解：【发现】：第个式子：， 故答案为：； 解：【应用】：原式． 50．观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$