精品解析：安徽省六校教育研究会2024-2025学年高一上学期新生入学素质测试数学试题

安徽六校教育研究会2024级高一新生入学素质测试 数学试题 2024.8 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 目前全球最薄手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一．已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 5. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 7. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 8. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（ ） A B. 3 C. D. 4 10. 如图，水平放置矩形中，，菱形的顶点，在同一水平线上，点G与的中点重合，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点E运动到上时停止.在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 11. 因式分解：__________． 12. 如图，是圆的直径，的顶点均在上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则______°． 13. 如图，四边形四个顶点的坐标分别是，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为__________． 14. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接.再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为.若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标． 17. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语义书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 18. 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动漫游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 x 亲子互动漫游线 48 园艺小清新线 y 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的员工共有__________人，表中x的值为__________； （2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； （3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 19. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，） 20. 如图，是直径，，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为2，时，求的值． 21. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求m的值； （2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图象与x轴交点为．若，求的取值范围． 22. 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． （1）如图1，当时，与之间的位置关系是__________，数量关系是__________． （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽六校教育研究会2024级高一新生入学素质测试 数学试题 2024.8 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的估值分别判断即可． 【详解】对于A，因为，所以，故A不合题意； 对于B，因为，所以，故B不合题意； 对于C，因为，所以，故C不合题意； 对于D，因为，所以，故D符合题意， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法公式即可判断． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 3. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，再由直角三角形求. 【详解】在中，， 所以， 所以，即. 故选：C 4. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一．已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法求解即可． 详解】由科学记数法得，0.015毫米纳米， 故选：B． 5. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合所给图形分析即可得. 【详解】由题意可得短桌的长为宽的两倍，即有，即. 故选：B. 6. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得到，结合垂直关系求出答案. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A 7. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】B 【解析】 【分析】设出未知数，列出方程，检验后得到答案. 【详解】设改造后每天生产的产品件数为， 则，解得， 经检验，是分式方程根，且满足题意， 故改造后每天生产的产品件数为300. 故选：B 8. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可 【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 9. 如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，再利用全等三角形的判定定理与性质定理结合平行四边形的性质定理与判定定理即可得解. 【详解】 过点作交于点， 则，， 又，则与全等， 则，， 由平行四边形性质可得且， 故且，即四边形为平行四边形， 即有. 故选：B. 10. 如图，水平放置的矩形中，，菱形的顶点，在同一水平线上，点G与的中点重合，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点E运动到上时停止.在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得菱形面积为，进而分三种情况讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得重叠部分的面积与运算时间的函数关系即可求解． 【详解】如图所示，设交于点， 因为四边形为菱形，， 所以， 所以是等边三角形， 因为， 所以， 所以， 所以， 当时，重合部分为如图所示， 依题意，为等边三角形，则， 所以， 当时，如图所示， 依题意，，则， 所以； 因为， 所以当时，； 当时，同理可得； 当时，同理可得，， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线， 当时，函数图象为开口向下的一段抛物线， 当时，函数图象为一条线段， 当时，函数图象为开口向下的一段抛物线， 当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式进行因式分解 【详解】 故答案为： 12. 如图，是圆的直径，的顶点均在上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆周角定理求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：． 13. 如图，四边形四个顶点的坐标分别是，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由两边之和不小于第三边确定出点为对角线交点时，最小，再由对角线所在直线方程求出交点坐标即可得解. 【详解】设P为平面上一点，连接连接，相交于， 则， 所以，当且仅当为交点时等号成立， 即最小时，为对角线的交点， 易知直线方程为， 设直线方程为，代入， 可得，解得，则直线方程为， 联立，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 14. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接.再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为.若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用几何关系列出方程进行求解即可． 【详解】设与交于点， ∵矩形， ∴， 由折叠可知，，， 设，则：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的运算法则计算即可得. 【详解】原式 ， 将代入，得：原式． 16. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由的坐标求得反比例函数解析式，进而得出点的坐标，再由的坐标求解一次函数解析式； （2）设点，根据勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 所以反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得， 所以点， 将点的坐标代入一次函数表达式得：，解得， 则一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 设点， 由点的坐标得，， ， ∴，即， 解得：或（舍去），即点． 17. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语义书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】（1）数学书60本，语义书30本 （2）90本 【解析】 【分析】（1）设书架上数学书x本，则语文书本，根据题意列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 设书架上数学书x本，则语文书本， 根据题意得，， 解得，所以， 所以书架上数学书60本，语义书30本． 【小问2详解】 设数学书还可以摆m本，则， 解得，所以数学书最多还可以摆90本． 18. 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动漫游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 x 亲子互动漫游线 48 园艺小清新线 y 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的员工共有__________人，表中x的值为__________； （2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； （3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 【答案】（1）160，40 （2） （3）385人 【解析】 【分析】（1）借助图表结合频数与总数的关系计算即可得； （2）借助扇形统计图的性质计算即可得； （3）借助部分即可估计总体. 【小问1详解】 本次调查的员工共有（人）， 表中x的值为; 故答案为：160，40； 【小问2详解】 ， 所以在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 （人）， 所以估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人． 19. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，） 【答案】9.2尺 【解析】 【分析】解直角三角形，分别求出的长可得，再由春分和秋分时日影顶端为的中点即可得解. 【详解】在中，尺，， （尺）； 在中，尺，， （尺）； （尺）， 观察可知，春分和秋分时日影顶端为的中点， （尺）， ∴春分和秋分时日影长度为9.2尺． 20. 如图，是的直径，，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为2，时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用题意可知是的中垂线，再由同位角相等可得，得出即可得证； （2）由，再由直角三角形得出即可. 【小问1详解】 连接，设与交于点F． ，∴点O、B在的垂直平分线上， 垂直平分，即， ， ， 是的直径，是的切线； 【小问2详解】 的半径为2，是的直径，， ， ， ， 21. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求m的值； （2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图象与x轴交点为．若，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2）11 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，结合二次函数对称轴公式即可求解； （2）将代入二次函数解析式求得，由平移得出新的二次函数，数形结合即可求解； （3）由韦达定理及，结合即可求解． 【小问1详解】 ∵点在二次函数的图象上， ，解得， ∴抛物线为， ∴抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 ∵点在的图象上， ，解得， ∴抛物线为， 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：， ， ∴当时，函数有最小值为1，当时，函数有最大值为， ∴当时，新的二次函数的最大值与最小值的和为11． 【小问3详解】 的图象与x轴交点为，， ∴， ， ， ， ，解得， 所以a的取值范围为． 22. 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． （1）如图1，当时，与之间的位置关系是__________，数量关系是__________． （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）①，18；②或 【解析】 【分析】（1）由证明，即可得出； （2）由已知得出，即可得出； （3）①由已知得出四边形是正方形，由勾股定理即可得出，数形结合即可求解；②过D作于H，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 ； 因为，所以， ∵， ∴，， 和中， ∵，∴， ∴，， 所以，即． 【小问2详解】 ， 证明：， 又， ，则， 结合， ． 【小问3详解】 ①连接交于O，由（1）知，， ，且， ， ∵点F与点C关于对称， 垂直平分， ， ，∴四边形是正方形， ， 与x的函数表达式为， 由，其最小值18． ②过D作于H，则是等腰直角三角形， ， 连接，由直角三角形性质有， 所以， ， ，则， ，解得或， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$