专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 21 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（    ） A． B．3 C．9 D． 例2．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，(1)求证：；(2)若，求线段长． 例3．（2024·湖南长沙·二模）如图，在中，，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E．若，，则 ． 例4．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　；(2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    例6．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． (1)求证：．(2)当时，求的值． 例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角． （1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______； （2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积． 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 4．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，在中，．以点A为圆心，以的长为半径作弧交边于点D．分别以点D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则的值为 ． 5．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    6．（2024·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______． 7.（2024.广东九年级校级月考）在中，，垂足为，求的长 8．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 9．（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知：如图，在中，为边的中点，连接，，，求的长．    10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）【证明体验】 （1）如图1，在中，是边上的点，连结，若，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在中，，，，是边上的点，连结，是的中点，连结．若，求的长． 11．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，点为内的一个动点，已知，．(1)求证：；(2)求的值．    12．（2023·陕西西安·九年级期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交、于点，．(1)求证：∽；(2)若，，求的面积．    13．（2024·四川·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 14．（2024·山东·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 15．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 16．（2023·广东深圳·一模）【探究发现】 （1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：①；②；③； 请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程； 【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值； 【拓展应用】（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02. 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 21 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形，得到，继而得到，结合得到，结合证明，列出比例式解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似的性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，解得， 故，故选A． 例2．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E， (1)求证：；(2)若，求线段长． 【答案】(1)见解析(2)线段长为5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论； （2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴ ，∴， 又∵，∴． （2）解：∵ ，∴， 由（1）得，∴，∴， ∴，∴线段长为5． 例3．（2024·湖南长沙·二模）如图，在中，，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定及性质；由线段垂直平分线的性质得 ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解；掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得：垂直平分，，， ，，，，解得：，故答案：． 例4．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似(2)见解析(3)顶点A的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算．（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明即可得证；③根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明；（3）根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证明的射影定理得，即可求出，由此求出顶点A的坐标． 【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②，理由如下： ∵，，∴， ∵，∴，∴∴； ③，理由如下： ∵，，∴， ∵，∴，∴∴； （3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，∵，，∴，， ∵，，∴，∴，∴顶点A的坐标为或． 例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2) 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，然后根据邻补角得出，进而即可得出结论；（2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下， ∵，∴， ∴，∴是等边三角形， （2）解：∵是等边三角形，设等边三角形的边长为， ∵， ∴，又∵，，∴，解得：（负值舍去）， 如图所示，过点，作于点，    ∴，∴， ∴的面积为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 例6．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． (1)求证：．(2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意得：，由等边对等角得出，从而得出，再由角平分线的定义得出，即可证明； （2）由题意得出，由相似三角形的性质得出，从而即可得解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， 平分，，； （2）解：， ，，，． 例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角． （1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______； （2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若的面积为，求的面积． 【答案】（1）30°，；（2）①，证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据题意理清布洛卡点、布洛卡角的概念，利用概念来解答；（2）①找，证明过程利用等腰直角三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三个角分别对应相等来证明；②把三角形面积看作三个三角形面积之和来表示，除所求三角形面积之外的两个，其中一个根据条件可以利用勾股定理求出面积，另一个可以利用所求三角形面积来表示，建立等式即可求解． 【详解】解：（1）由题意知：， 为等边三角形，，AB=BC=AC, ，，， ，， 同理可证得出：， ，故答案是：30°，． （2）① 证明：∵是等腰直角三角形∴，即， ∵，∴，又∵，∴. （3）∵是等腰直角三角形，∴，∴. ∵，∴，∴，，，∴. ∵，∴. 在中，∵，，由勾股定理得，， ∴，∴∴． 【点睛】本题考查了新概念问题、等边三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性质、相似三角形的判定定理和性质、勾股定理，涉及知识点多，综合性强，题目较难，解题的关键是：通过阅读材料，弄明白题中的新定义或新概念，然后利用概念及灵活运用所学知识点进行解答． 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵，，∴．故A正确； ∵，，∴．故B正确； ∵，，∴．故D正确； 没有条件可证，故C错误．故选：C 2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项B；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据等量代换即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，，，则选项A正确； ，， ，，，， ，， ，，则选项B正确； 假设，， 又， ， ，与矛盾，则假设不成立，选项C错误； ，，， 在和中，，， ，即，，则选项D正确；故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键． 3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD，∴． ∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，在中，．以点A为圆心，以的长为半径作弧交边于点D．分别以点D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质；连接，过作交射线于，由可判定 ，由全等三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由等腰三角形的判定及性质得 ，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意构建相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作交射线于， ， 由作法得：，， 在和中 ， ()， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 5．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再由三角形外角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，则． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等等，熟知相似三角形对应角相等是解题的关键． 6．（2024·河北邢台·校考二模）如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______． 【答案】     5     2 【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高AM，再根据三角函数值求出AM的长，根据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长； ，根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函数值求出AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证△APQ相似于△ACP，即可得到AQ长； 【详解】解如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M， ∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=MC=BC=12， 又∵tanC=∴tanB=∴AM=BMtanB=12×=5， 根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P与点A的最短距离为5； ∴AB=AC==13， 如图2，过点A作AN⊥BC，在Rt△APN中，PN=PC-CN=1， 又AN=5，∴AP2=PN2+AN2=26，在△APQ与△ACP中， ∵∠APQ=∠C，∠PAQ=∠CAP，∴△APQ∽△ACP， ∴∴AP2=AQAC，∴AQ=2 故答案为：5；2． 【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键． 7.（2024.广东九年级校级月考）在中，，垂足为，求的长 【答案】4 【解析】∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴． 8．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质得出，根据题意，等量代换得出，进而根据公共角，即可得证． 【详解】证明：四边形为菱形，为对角线，． ，． 又，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 9．（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知：如图，在中，为边的中点，连接，，，求的长．    【答案】 【分析】证明，可得，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵，，， 为AB边的中点，，∴， ，∴，，（负根舍去）． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的对应边成比例建立方程求解是解题的关键． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）【证明体验】 （1）如图1，在中，是边上的点，连结，若，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在中，，，，是边上的点，连结，是的中点，连结．若，求的长． 【答案】（1）证明见解答；（2）的长为2 【分析】（1）由已知可证得，得出，化为等积式即可； （2）延长至，使，连接，由三角形中位线定理可得：，进而证得，得出，设，则，建立方程求解即可得出答案； 【详解】（1）证明：，， ，； （2）解：如图，延长至，使，连接，则为的中点， ∵为中点，∴是的中位线，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，，则， ∴， 设，则，， ，解得：， ，∴（不符合题意，舍去），∴的长为2． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 11．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，点为内的一个动点，已知，．    (1)求证：；(2)求的值． 【答案】(1)见解析(2)2 【分析】（1）先用周角定义和三角形的内角和定理求得，，结合已知得到，进而利用相似三角形的判定可证得结论； （2）先利用等腰直角三角形的判定和性质得到，利用相似三角形的性质得到，设，进而求得即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，， ∵，∴，∴；    （2）解：∵在中，， ∴，，即是等腰直角三角形，∴， ∵，∴， 设，则，∴，∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、周角定义等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 12．（2023·陕西西安·九年级期中）如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交、于点，．(1)求证：∽；(2)若，，求的面积．    【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）用同角的余角相等得和相等，结合角平分线得和相等，即可证明两个三角形相似；（2）证明两个三角形和相似，再利用面积比等于相似比即可得的面积． 【详解】（1）证明： 为边上的高，，， ，，． 平分，， 在和中，， ∽． （2）如图，这点作交于点，    在中，根据勾股定理得：， ，．，， 是的平分线，，，． 在和中，，∽．． 设，则， ，解得．． ∽，．． 【点睛】本题综合考查相似三角形的性质和判定．熟练掌握相似的判定方法是解题的关键，利用面积比等于相似比的平方求三角形的面积是本题的难点． 13．（2024·四川·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长． 【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）． 又∵AD＝AB，∴AB＝2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长． 14．（2024·山东·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析(2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． （1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，，，， ，，，， ，，，点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”，或， 当时，，， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，，， ，， ②，，有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”，， 又，，，即，， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 15．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定和性质即可证明； （2）根据勾股定理求得的值，即可根据（1）中结论求解． 【详解】（1）证明：∵平分，∴， 又∵，∴，∴，即． （2）解：在中，，，则， 又∵，∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16．（2023·广东深圳·一模）【探究发现】 （1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：①；②；③； 请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程； 【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值； 【拓展应用】（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或． 【分析】（1）选择①，由等腰直角，，，再由，得，则，即可由相似三角形的判定得出结论； （2）先证明，得，所以，，再证明，得，设，则，，代入得：，解得：，即可求解；（3）分两种情况：（Ⅰ）当点D在线段上时，（Ⅱ）当点D在线段延长线上时，分别求解即可． 【详解】解：（1）选择①，是真命题． 证明：∵为等腰直角，∴，， 又∵，∴，∴， ∵，∴．②③都是真命题．同理可证②，③． （2）如图②，∵，，∴， ∴，，∴，，∵，∴， 又∵，∴，∴， 设，则，，代入得：，解得：，∴． （3）或或． 解：（Ⅰ）如图③，当点D在线段上时， ∵，∴∵∴∴ ∵∴，∴，即， 所以设，，，∵， ∴为等腰三角形时，只有这种情况， 即，解得：∴ （Ⅱ）如图④，当点D在线段延长线上时， 同（Ⅰ）可证，∴，即， 所以设，，， ∴（i）若时，即有，解得：，∴ （ii）若时，， 同（Ⅰ）可证：，即有， 解得：，由得：，解得：∴ （iii）若时，即O在线段的中垂线上，又因为O已在的中垂线上，，所以矛盾，不存在这种情形．综上：或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$