专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题02. 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 21 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，∴ ∵，，∴， ∴，∴，即， 解得：，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 例2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且． (1)求证：四边形是等腰梯形；(2)当时，求证；． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，从而推出，得到，即可得证； （2）证明，得出，证明，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形是等腰梯形； （2）证明：∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴． 例3．（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ． 【答案】 【分析】先证明△BCD∽△CAD，然后根据相似三角形的性质直接解答即可． 【详解】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， ∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，∴△BCD∽△CAD， ∴，∴CD2＝AD•BD＝6×2＝12，∴CD＝．故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解此题的关键是要知道直角三角形斜边上的高把这个三角形分得的两个小三角形，与原三角形相似． 例4．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：；(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，，， ，， ， ，，，即， ，； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ，，， ，，在矩形中，， ，，，， ，， 在和中，，． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 例5．（2024·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 【答案】（1）详见解析；（2）6． 【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°． ∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB． （2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴， ∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD． ∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6． 【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键. 例6．（23-24九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点。(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识， （1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断．（2）首先证明，利用相似三角形的性质即可解决问题．（3）勾股定理求出，，利用相似三角形的性质求出，即可． 【详解】（1）证明：，， 为边上的高，，，， 是的平分线，， （2）证明：，，， ，，， ，， （3）解：如图，作于，， ，， ， ，，，， ，，， 得，∴，∴， 由（2）知，即，又∵， ∴，∴（负值舍去），，∵平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴∴，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，同角的三角函数值，平行线的判定与性质，正确添加辅助线，找出基本图形是解题的关键． 例7．（23-24九年级上·河南·期末）三角形的布洛卡点（）是法国数学家和数学教育家克洛尔（1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名，如图1，若内一点满足，则点是的布洛卡点，是布洛卡角． (1)如图2，点为等边三角形的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　；、、的数量关系是 　　； (2)如图3，点为等腰直角三角形（其中的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②将绕点逆时针旋转，得到四边形，若的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)，(2)①结论：．证明见解析部分；② 【分析】（1）证明，推出，同法可证，推出，从而，即可解决问题； （2）①由是等腰直角三角形，，即可得，而，故； ②过作交的延长线于，设，由，知是等腰直角三角形，即得，而，即可得，，，故，，，可得，即可求出，从而得到四边形的面积为． 【详解】（1）解：如图所示： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）解：①结论：．理由如下：如图所示： 是等腰直角三角形，，，， ，，即，，； ②过作交的延长线于，如图所示：设． ，而， 是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去）， ，∴四边形的面积为1.5． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题关键是准确寻找相似三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 1．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意； B、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意； C、由，但夹角不相等，不能判断，故此选项符合题意； D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故此选项不符合题意，故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键． 2.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴ACa， ∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC ∴a2＝CE•a，4a2＝AE•a，∴CE，AE，∴， ∵△CEF∽△AEB，∴（）2，故选：A． 3.（2023浙江九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　） A．3：2 B．2：3 C． D．． 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°， ∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD， ∴∴，故选：B． 4．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，∴ 由作图可得是的角平分线，∴ ∵∴ ∵∴ ∴ ∴， ∵的面积为，∴的面积为，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（2023•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝　　． 【分析】根据勾股定理求出AB，根据射影定理列式计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，由射影定理得，AC2＝AD•AB， ∴AD＝＝，故答案为：． 【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，，∴， ∵，∴，∴， 又，∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵，∴，∴， 又∵，∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 7．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再由三角形外角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，则． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等等，熟知相似三角形对应角相等是解题的关键． 8．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．    【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可； （2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出． 【详解】（1）证明：在与中 ，，∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴，，∴， 又∵，，∴， 解得：，∴，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9.（2024•惠山区九年级专项）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD；（3）求证：ABAC=BCAD 【解析】（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA；△ACD ∽△BCA；△ABD ∽△CAD （2）∵△ABD ∽△CBA，∴．∴AB2=BDBC，∵△ACD ∽△BCA ∴．∴AC2=CDCB，∵△ABD ∽△CAD，∴，∴AD2=BCCD （3），∴ABAC=BCAD 10．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于． （1）求证：；（2）若，，求． 【答案】(1)见解析;(2). 【分析】(1)根据已知条件得到，，所以，根据余角的性质得到，得到∽，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论; (2)根据得到,根据勾股定理得到,根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结果. 【详解】（1）∵，∴． 又∵，，∴． 而，，∴，∴，∴． 又，，∴∽， ∴，∴，∴． （2）由（1）可知，而，， ∴，∴，∴在中根据勾股定理可知． ∵∽，∴，． 【点睛】本题是考查相似三角形判定定理和性质，能够熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键 11．（2023春·山东东营·八年级统考期末）定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．(1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由．(2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长．    【答案】(1)是，证明见解析(2) 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，当在上时，证明是边上的高，根据面积法可求长度． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，，，， ，，，， ，，，点是的“理想点”； （2）在上时，如图：    是的“理想点”，或， 当时，，， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，，， ，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 12．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系． 如图，在中，所对的边分别为，若，则． 下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程： 证法1：如图1，作的平分线，∴．    设，则． 证法2：如图2，延长到点，使得，连接，……    任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）． (2)请补全证法2剩余的部分． 【答案】(1)相似(2)见解析 【分析】（1）由题意知，是通过构造相似三角形，然后作答即可； （2）如图2，延长到点，使得，连接，则，．由，可得．证明，则，即，整理可得． 【详解】（1）解：由题意知，构造相似三角形，故答案为：相似； （2）证明：如图2，延长到点，使得，连接，    ，． ，． ，， ，，． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 13．（2022·湖北武汉·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴， ∴，∴∽，∴，∴； （2）解：∵，∴设，则（）， ∵，，同（1）得：，∴， 在中，，过作于，如图2所示： 则，在中，， ∵，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵，∴设，则（）， ∴，∵，， ∴，∴ 又∵，∴∽， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴， ∴；故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 14．（2024·安徽·校联考三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）由已知易证，利用可求得AD的长；（2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证． 【详解】解：（1）∵在中，，平分， ∴，又∠A=∠A，∴，∴， ∵，，∴； （2）①∵交于，于， ∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴， ∵，，∴； ②过作，与的延长线交于， ∵，∴， ∴、和均为等腰三角形，∴， ∵在等腰中，于，∴，即，∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题是解答的关键． 15．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定和性质即可证明； （2）根据勾股定理求得的值，即可根据（1）中结论求解． 【详解】（1）证明：∵平分，∴， 又∵，∴，∴，即． （2）解：在中，，，则， 又∵，∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16.（2023·安徽淮北·三模）如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）． （1）若∠1=∠3=∠5，求的值； （2）如图2，已知：AP=AC．①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；②若∠1=30°，求证：PB=PC． 【答案】（1）2：5； （2）①证明见解析②证明见解析 【分析】（1）根据题意可知∠APC=90°，然后根据相似三角形的判定与性质，结合勾股定理可求解； （2）①根据等腰三角形的等边对等角，结合三角形的内角和定理可证明； ②过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E， 易得四边形PDCE为矩形，然后根据30°角的直角三角形和线段的垂直平分线的性质可求解. （1）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵∠1=∠3=∠5，∴∠2=∠4， ∴∠APB=180°-（∠2+∠3）=180°-45°=135°，同理，∠BPC=135°，∴∠APC=90°， 设AC=a，PC=x，则， ，∴△APB∽△BPC， ∴，∴，， 在Rt△PAC中，，∴， ∵，∴； （2）①∵PB=PC，则∠4=∠5，设∠4=∠5=， ∵AP=AC，则∠6=∠APC=，即∠1=180°-2（）=2，即∠1=2∠4； ②如图所示，过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E， 则四边形PDCE为矩形，在直角△APD中，∠1=30°，∴PD=PA， 又AP=AC=BC，∴PD=CE=BC，即PE垂直平分BC，∴PB=PC． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定、线段垂直平分线的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02. 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 21 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 例2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且．(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)当时，求证；． 例3．（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ． 例4．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：；(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 例5．（2024·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 例6．（23-24九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点。(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，，求的长． 例7．（23-24九年级上·河南·期末）三角形的布洛卡点（）是法国数学家和数学教育家克洛尔（1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名，如图1，若内一点满足，则点是的布洛卡点，是布洛卡角． (1)如图2，点为等边三角形的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　；、、的数量关系是 　　； (2)如图3，点为等腰直角三角形（其中的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②将绕点逆时针旋转，得到四边形，若的面积为，求四边形的面积． 1．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　） A． B． C． D． 3.（2023浙江九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　） A．3：2 B．2：3 C． D．． 4．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 5．（2023•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝　　． 6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 7．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    8．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．    9.（2024•惠山区九年级专项）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD；（3）求证：ABAC=BCAD 10．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于． （1）求证：；（2）若，，求． 11．（2023春·山东东营·八年级统考期末）定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．(1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由．(2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长．    12．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系． 如图，在中，所对的边分别为，若，则． 下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程： 证法1：如图1，作的平分线，∴．       设，则． 证法2：如图2，延长到点，使得，连接，…… 任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）． (2)请补全证法2剩余的部分． 13．（2022·湖北武汉·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 14．（2024·安徽·校联考三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值． 15．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 16.（2023·安徽淮北·三模）如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）． （1）若∠1=∠3=∠5，求的值； （2）如图2，已知：AP=AC．①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；②若∠1=30°，求证：PB=PC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$