专题02 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题02.特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 2 19 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2024·成都市·九年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__ ． 例2．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______． 例3．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 例4．（2024·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 例5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为（    ） A．2．5 B．3 C． D．4 例6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则的最小值为 ．    例7．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 1．（2023·湖北三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（        ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为（    ） A．3 B．2.5 C．4 D． 3．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 4．（2023上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为      5．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 6．（2023上·陕西延安·九年级统考期中）如图，正方形的边长为是边的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长的最小值为 ． 7．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________． 8．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____． 9．（2024·新疆昌吉·一模）如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连结并将它绕点顺时针旋转得到线段，连结，动点从点向点的运动过程中，有下面四个结论：①点到边的距离为；②当时，；③直线不经过点；④的最小值为．其中结论正确的序号是 ． 10．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为______． 11．（2023·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____． 12．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．    13．（2024·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，，，点E为对角线上一动点，，于点F，连接．在点E运动的过程中，长的最小值为 ． 14. （2023·绵阳市八年级月考）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 15．（2023上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：． （）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    16．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，四边形ABCD中，，E为射线CB上的动点，将线段AE绕A点顺时针旋转得到．设的面积为S．    (1)当时，求的长；(2)当时，求S关于x的函数表达式；(3)求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02.特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 2 19 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2024·成都市·九年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__ ． 【答案】 【分析】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，， 在和中，，， ，，点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，，，，，∴GT//AB∵BG//AT 四边形是平行四边形，，， ∴ 在中， ∴ ，的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例2．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______． 【答案】 /度 【分析】如图1所示，延长交的延长线于点，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求，可得，即可求出；如图2所示，连接，过点作于，由，知点在直线上运动，即得当时，有最小值为的长度，而，即有最小值为． 【详解】解：如图1所示，延长交的延长线于点， 点是的中点，，四边形是正方形，， ，，，， 又，，绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ，， ，； 如图2所示，连接，过点作于， ，点在直线上运动，当时，有最小值，最小值为的长度， ，，，即有最小值为，故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 例3．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴， ∵都是等边三角形，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴点Q在与过点F且与垂直的射线上运动，∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动，∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为3．故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 例4．（2024·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形的应用，当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线，，且， 点为的中点，为的中位线， ，，点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，，，， ，，， 为的角平分线，，， ，即，的最小值为， ，，，， ，故选：B． 例5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为（    ） A．2．5 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】过点G作，垂足为H，可得，根据正方形的性质可得，根据旋转的性质可得，然后利用同角的余角相等可得，从而可证，进而可得，最后可得点G在与平行且与的距离为的直线上，从而可得当点G在边上时，的值最小，进行计算即可解答； 【详解】解：过点G作，垂足为H，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， 由旋转得：，∴， ∵，∴∴，∴， ∴点G在与平行且与的距离为1的直线上， ∴当点G在边上时，最小且，∴的最小值为4，故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 例6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，在轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得．首先证明点C在直线上运动，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，在轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得．    ，， ， ∵，， ∵OD=OA，∠AOD=90°，， ，， 设直线的解析式为， ，，即，∴直线的解析式为， ∴点C在直线上运动，作于P， 是等腰直角三角形，的最小值，故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 例7．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 【答案】5 【分析】以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，由“SAS”可证△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂线段最短可得当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°， ∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA， 在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH， ∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，   ∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．（2023·湖北三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得到PM最小值． 【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM， ∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF， ∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值， ∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°， ∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为（    ） A．3 B．2.5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点G作，垂足为H，可得，根据正方形的性质可得，根据旋转的性质可得，然后利用同角的余角相等可得，从而可证，进而可得，最后可得点G在与平行且与的距离为的直线上，从而可得当点G在边上时，的值最小，进行计算即可解答. 【详解】解：过点G作，垂足为H，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， 由旋转得：，∴， ∵，∴∴， ∴，∴点G在与平行且与的距离为1的直线上， ∴当点G在边上时，最小且，∴的最小值为4，故选：C． 3．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，，连接，在上截取，使得，连接，过点D作于点H．证明，推出，推出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，作出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，在上截取，使得，连接，过点D作于点H．    ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵∴，∴的最小值为，故选：B． 4．（2023上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为      【答案】 【分析】将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，首先证明，推出点G在射线上运动，进而得到当时，的值最小，，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，    ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴点G在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理和点的运动轨迹，取中点H，连接，交于点O，根据四边形为矩形，得到四边形为矩形，，结合点O为的中点，有为点P的运动轨迹，则求得当点F与点E重合时最小． 【详解】解：取中点H，连接，交于点O，如图， ∵四边形为矩形，∴，，， ∵点E为中点，点H为中点，∴，，∴四边形为矩形，， ∵点O为的中点，∴为点P的运动轨迹， ∵在直线上运动，∴当点F与点E重合时最小为，故答案为：． 6．（2023上·陕西延安·九年级统考期中）如图，正方形的边长为是边的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，， ，， 在与中，，，， 正方形中，，是边上的中点， ，，， ，，线段的最小值为8，故答案为：8． 【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 7．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解． 【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点， 正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F， 是等腰直角三角形, 在射线上运动， 则是等腰直角三角形，与点重合时，取得最小值，等于 即的最小值为故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键． 8．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 9．（2024·新疆昌吉·一模）如图，在矩形中，，，为中点，是线段上一点，设，连结并将它绕点顺时针旋转得到线段，连结，动点从点向点的运动过程中，有下面四个结论：①点到边的距离为；②当时，；③直线不经过点；④的最小值为．其中结论正确的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】①证明出即可判断； ②当在点的右边时，得出即可判断； ③根据为等腰直角三角形，得出都是等腰直角三角形，得到即可判断； ④当时，有最小值，计算即可． 【详解】解：，为等腰直角三角形，， 当在点的左边时，， 当在点的右边时，，故②错误； 过点作，在和中，根据旋转的性质得：， ，， ，，故①正确； 由①中得知为等腰直角三角形， ，也是等腰直角三角形，过点， 不管P在上怎么运动，得到都是等腰直角三角形， ，即直线一定经过点，故③错误； 是等腰直角三角形，当时，有最小值， ，为等腰直角三角形，， ，由勾股定理：，，故④正确；故答案是：①④． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理． 10．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为______． 【答案】 【分析】以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性质证明∠AGF＝60°，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可． 【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M． ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°， ∵△ABG是等边三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA， ∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°， ∴点F在平行于AB的射线GH上运动， ∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等边三角形， ∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4， ∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH•sin60°， 根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点F的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题． 11．（2023·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可． 【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G， ∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE， ∵，，∴∠EDA＝∠FEG， ∴在△AED和△GFE中，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，， 又∵，∴，∴，∴， 又∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动， 过点C作BF的对称点，则 ∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形， ∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小， ∴在中，AD＝4，， ∴，∴DF+CF的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键． 12．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答．连接，依据构造全等三角形，即，将的长转化为的长，再依据垂线段最短得到当最短时，亦最短，根据，，即可求得的长的最小值． 【详解】解：如图，连接，    由题意可得，∴ ， 在和中，，  ∴，∴， 当时，最短，此时也最短， ∵， ，∴，∴ ∴， ∴当时， ，∴的最小值为．故答案为：． 13．（2024·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，，，点E为对角线上一动点，，于点F，连接．在点E运动的过程中，长的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先根据菱形的性质说明，可得，再根据“两角相等的两个三角形相似”得，可得点F的位置，即可得出的最小值，再根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接交于点O，连接， ∵四边形是菱形，，∴，，， ∴是等边三角形，∴，∴． ∵，于点F，∴，， ∴，∴，，∴， ∴，∴， ∴点F在与夹角为60°且过点O的直线上，当点F运动到边上时有最小值， ∵四边形是菱形，，∴，， ∴，，∴． ∵，∴，∴，∴长的最小值为1．故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，确定的最小值是解题的关键． 14. （2023·绵阳市八年级月考）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 【解答】6 【解析】连接AM、CM，如图所示：∵△ACD为等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60º， ∵四边形DCFE是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM， 在△ADM与△ACM中，，∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM， ∵∠DAC＝60º，∴∠ACM＝30º，即直线AM的位置是固定的，∴点D在直线BD上运动 ∴当BM⊥AM时，MB有最小值，此时. 15．（2023上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：． （）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    【答案】（1）（i）见解析；（ii）点F运动的路径长为4；（2）． 【分析】（1）（i）证明，可得；（）以为一边向右作等边三角形，连接，以为一边向右作等边三角形，连接，证明，则，，再说明，且，则点在线段上运动，即可求出点运动的路径长为； （2）将线段绕点顺时针旋转到，作射线，连接交于点，证明，得，说明点在以点为端点且与平行的射线上运动，当时，线段最短，求出此时的长即可． 【详解】（1）（i）证明： ∵，，∴， ∵是边长为5等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，， ∵， ∴，∴，∴； ②如图①乙，以为一边向右作等边三角形，即，    ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴连接，以为一边向右作等边三角形，连接， 则，，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，，由（）得，∴， ∵，且，∴点在线段上运动， ∵当点与点重合时，则点与点重合；当点与点重合时，点与点重合， ∴点运动的路径长为． （2）如图②，将线段绕点E顺时针旋转到，作射线，连接交于点K，    ∵作顶角的等腰，∴，， ∴，∵， ∴， ∵四边形是长方形，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴点G在以点L为端点且与平行的射线上运动， ∴当时，线段最短，∵，∴，∴， ∴，∵，，， ∴，∴，∴的最小值是． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 16．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，四边形ABCD中，，E为射线CB上的动点，将线段AE绕A点顺时针旋转得到．设的面积为S．    (1)当时，求的长；(2)当时，求S关于x的函数表达式；(3)求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）过点D作交于F，连接，可得四边形是菱形，则是等边三角形，由得，则E是的中点，可得，运用勾股定理列式计算，即可求解； （2）当时，连接，以A为圆心，长为半径画弧交的延长线于F，作，交的延长线于G，结合（1）可证明即代入数值，得；当时，即可作答．（3）点在与过点F且与成60° 的直线上l运动，作于W，作于G，作交于H，作于Q，当点在G处时，最小，根据等边对等角，得，由（2）知：，则根据30°所对的直角边是斜边的一半得，即。进行解答． 【详解】（1）解：如图1，过点D作交于F，连接，       作，交于F，∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∴∴是等边三角形，， ∴，∴，， ∵，∴，∴； （2）解：如图2，连接，以A为圆心，长为半径画弧交的延长线于F，作，交的延长线于G，∴，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴， 由（1）知：，∴∴ ∴，∴， ，∴∴， ∴，∴ ∴； 如图2−2，当时，由上知：∴ ∴；       （3）解：如图 由（2）知：，∴点在与过点F且与成60° 的直线上l运动， 作于W，作于G，作交于H，作于Q，当点在G处时，最小， ∴， ∵，∴，由（2）知：， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为：， 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$