专题03 线段中的双（多）中点模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 6 11 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是线段上的一点，点、分别是线段、的中点．(1)如图1，若点是线段的中点，且，则线段的长______，线段的长______；(2)如图2，若点是线段上的任一点，且，求线段的长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查与中点有关的线段计算，根据图形中线段的关系得到等量关系是关键． （1）首先根据点M是线段的中点，，求出的长度是多少；然后根据点P是线段的中点，求出线段的长是多少即可．（2）根据点M是线段的中点，点N是线段的中点，可得，，据此判断出，求出线段的长是多少即可． 【详解】（1）解：∵M是线段的中点，，∴． 又∵点P是线段的中点，∴． （2）∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴，， ∴． ∵，∴． 例2．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）线段上，M为的中点，N为的中点，，，（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．先由，再根据中点的性质得，，最后由线段的和差关系即可求出结果． 【详解】解：∵，，∴， ∵点M是的中点，点N是的中点，∴，， ∴．故选：D． 例3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，M、N分别为的中点，若、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差运算，先算出的长度，根据中点列式计算，即可作答． 【详解】解：∵、，∴ ∵M、N分别为的中点，∴ 则故答案为：4 例4．（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知线段，点C在直线上，，点M、N分别是、的中点，则的长度为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差运算，解题的关键是数形结合，分两种情况进行讨论：当点C在线段的延长线上时，当点C在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论：如图①所示，当点C在线段的延长线上时， ∵，，点M、N分别是、的中点， ∴，，则； 如图②所示，当点C在线段上时， ∵，，点M、N分别是、的中点， ∴，，则； 综上可得线段的长度为或．故选：B． 例5．（23-24七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，点A，B，C在同一条直线上，H为的中点，M为的中点．N为的中点．则下列说法：①；②；③；④；其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质，根据线段中点的性质、结合图形计算即可判断． 【详解】解：∵H为的中点，M为的中点．N为的中点， ， ，，①正确； ∴，②正确； ，③错误，，④正确， 综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④． 例6．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的相关计算，根据的关系，可用表示，表示，根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得， ，， E、F分别是的中点，，， ， 解得：，，故选：C． 例7．（2023·广东·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)(2)，详见解析 【分析】（1）利用线段的和差，线段的中点的性质计算； （2）先画出图形，再利用线段的和差，线段的中点的性质计算． 【详解】（1）解：点在线段上，，，点、分别是、的中点， ，， ； （2）解：如图所示， 点在线段的延长线上，且满足， 又点、分别是、的中点，，， ，的长度． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的性质． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段的变化规律是解题的关键 根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度，最后确定点的表示的数即可． 【详解】解：由题可知：，此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，第三次从点跳动到处， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：，当时，， ∵点在负半轴，∴点表示的数是，故答案为：． 例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∵线段   和 的中点 ，∴， 同理：，∴，…… 依次类推， ，∴，故答案为：4． 例3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得，故答案为：． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 1．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图，已知线段，C为线段上一点，且，M，N分别是，的中点，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知，，即可求得 【详解】∵，M是的中点，∴，∵，∴， ∵N是的中点，∴，∴，故选：A 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，熟练掌握线段的中点平分线段是解决问题的关键 2．（2023秋·重庆铜梁·七年级统考期末）如图，点B在线段上，点P是线段的中点，点Q是线段的中点，若，，则的长度是（    ） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】C 【分析】根据点Q是线段的中点，求出的长，进而求出的长，再根据点P是线段的中点，求出的长，进而求出的长． 【详解】解：∵，点Q是线段的中点， ∴， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查线段的和差计算．熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键． 3．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，是直线上的顺次四点，分别是的中点，且，则的长等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，求出，中点定义，推出，再利用，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是找准线段之间的和差，倍数关系． 4．（2023春·甘肃武威·七年级统考期末）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A．7cm B．3cm C．7cm或5cm D．5cm 【答案】C 【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下：    ，，若M是的中点，N是的中点， ．    ，，若M是的中点，N是的中点， ． 【点睛】本题考查了点与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解题的关键． 5．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段和差，根据题意分点在线段上时，点在线段延长线上时两种情况分析即可，画出图形，利用数形结合求解是解题的关键． 【详解】解：点在线段上时，如图所示： ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴ 又∵点是的中点， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴ 点在线段延长线上时，如图所示， 同理可求出，， 又∵， ∴， 综上所述：的长度为或， 故选：． 6．（23-24七年级·上海·阶段练习）如图，是线段上任意一点，是线段的中点，是线段的中点，下列说法中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是线段的中点，是线段的中点，可得，，而是线段上任意一点，可得与不一定相等，据此判断即可．本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题． 【详解】解：是线段的中点， ， ， ，故A选项正确； 是线段的中点， ， ，故B选项正确； 是线段的中点， ， ，故C选项正确； ， ，故D选项错误， 故选：D． 7．（23-24七年级上·吉林长春·期末）点A、B、C在同一条直线上，，，P、Q分别是中点，则长可能是（    ） A．5 B．9 C．10 D．13 【答案】AD 【分析】本题考查了线段的和差，因直线上三点A、B、C的位置不确定，所以要分两种情况：①B、C在A点两侧；②B、C在A点同侧，画出图形根据中点的定义即可求出的长． 【详解】解：根据题意有两种情况： ①当B、C在A点两侧时， 如图1：      则； ②当B、C在A点同侧时， 如图2：    则， 故选：AD． 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知C为的中点，E为线段上的一点，D为线段的中点． （1）如图①，若，，则 ； （2）如图②，若，，则 ． 【答案】 6 4.5 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差关系，以及一元一次方程的应用． （1）由C为线段的中点得出，再由线段的和差关系得出，再由线段中点可得出 （2）设，则．根据线段的中点可得出，根据已知条件可得出， 可得出，再由线段的中点可得出，最后由线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）∵C为线段的中点，， ∴． 又∵， ∴． ∵D为线段的中点， ∴， 故答案为：6． （2）设，则． D为线段的中点， ∴． ∵，即， ∴， 解得，即． ∵，C为线段的中点， ∴． ∴， 故答案为： 9．（23-24七年级上·广西崇左·期末）已知点是直线上的一点，是的中点，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，分类讨论是解题的关键，作出图形更形象直观． 分两种情况：①点C在线段时，②点C在线段延长线上时，分别求解即可． 【详解】解：①如图1，点C在线段时， ∵， ∴． ∵D是的中点， ∴． ②如图2，点C在线段延长线上时， ∵，， ∴ ∵D是的中点， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：6或4． 10．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知线段，是直线上一点，是的中点，是中点，若，则的长为 ． 【答案】8或14.4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】∵， 是的中点， ∴， 当点在线段上时：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 综上：的长为8或； 故答案为：8或14.4． 11．（2023秋·山东济宁·七年级校考期末）点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ． 【答案】或/或 【分析】根据点是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】解：如图， 是线段的中点，， ， 点是线段上的三等分点， ， ， 如图， 点是线段上的三等分点， ， 是线段的中点，， ， ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画图计算． 12．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，已知线段，是的中点，是的中点，是的中点，则的长为 ．（用含的式子表示）    【答案】 【分析】借助，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差倍分．找到线段之间的关系是解题关键． 13．（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知点在直线上，，，、分别是、中点，则线段长为 ． 【答案】2或6/6或2 【分析】分点在中间和点在点和点同侧两种情况，分别求解． 【详解】解：当点在点和点同侧时，如图：    此时． 当点在点和点之间时，如图：    此时． 线段的长为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了与线段中点有关的和差计算，解题的关键是分两种情况进行讨论分别求解． 14．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，，是线段上的两点，是的中点，是的中点．（1）若，，则 ；（2）若，，则 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据线段中点定义和已知求得，进而可求解； （2）根据线段中点定义和已知求得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴． 故答案为：（1）9；（2）． 【点睛】本题考查与线段中点有关的计算，能从图形中找到线段间的数量关系是解答的关键． 15．（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是 ． 【答案】 【分析】设，，，分两种情况，当和时，分别求解即可． 【详解】解：设，，， 当时，如下图： 则，，， ，， 则 当时，如下图： 则，，， ，， 则 故答案为： 【点睛】此题考查了线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，正确画出图形，利用分类讨论的思想求解问题． 16．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市实验学校校考期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点…以此类推，点是线段 的中点． (1)线段的长为 ；(2)线段的长为 ；(3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先根据线段中点的定义和题意得到，的长，进而可求得的长；（2）根据、、的长，得到线段长度的变化规律，进而可求解；（3）根据前面发现的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 则，故答案为：； （2）解：由，，，…，以次类推，则，故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查图形类和数字类规律探究、两点间的距离、线段中点，理解题意，发现线段长度的变化规律并灵活运用是解答的关键． 17．（23-24七年级上·广西梧州·期末）如图，一条线段，点分别是的中点，且，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解．设，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长． 【详解】解：，可设， 点，分别是，的中点， ， ， 又， ，解得， （）， 即线段的长为． 18．（23-24七年级上·甘肃陇南·期末）七（1）班的数学兴趣小组在活动中，对“线段中点”问题进行以下探究．已知线段，点E，F分别是的中点． (1)如图1，若点C在线段上，且，求的长度（写出解题过程）； (2)若点C在线段的延长线上，其余条件不变，借助图2探究的长度为__________（不写探究过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，根据点E，F分别是的中点，，即可得到； （2）根据点E，F分别是的中点得到，由，得到； 此题考查了线段的和差、线段中点的相关计算，弄清各线段之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 点E，F分别是的中点． ， ， 的长度为； （2）点E，F分别是的中点， ， ， ， 故答案为：． 19．（2023秋·陕西榆林·七年级统考期末）如图，已知，两点在线段上，点是线段的中点，点是线段的中点，若，，求线段的长． 【答案】 【分析】根据题意得出，然后根据线段中点的定义可得出的值，从而得出线段的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，熟练掌握线段之间的和差倍分以及有关线段中点的计算是解本题的关键． 20．（2022秋·福建福州·七年级统考期末）如图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，． (1)若．求； (2)若为上一点，满足，请说明：点是线段的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质得出，进而根据即可求解； （2）根据线段中点的性质，分别表示出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵为中点，， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴． （2）法一：∵为中点，， ∴， ∵， ∴， ∵为中点， ∴． ∴， ∴， ∴为中点． 法二：设，则， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴为中点． 【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 21．（2023·广东·七年级假期作业）如图，C是线段上一点，M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)12cm (2) 【分析】（1）先根据中点定义求出，，再根据得出答案； （2）根据中点的定义得出，，再根据得出答案． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点， ∴，. ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，M，N分别是，的中点， ∴，. ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，确定各线段之间的数量关系是解题的关键． 22．（2023秋·湖北黄石·七年级统考期末）如图，已知点、在数轴上对应的数分别为和14，点、在线段上，且，点、分别是、的中点． (1)若，求线段的长． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)的长度不发生变化， 【分析】（1）由题意可知，结合，可得，再根据点、分别是、的中点，即可得到，，进而得出线段的长； （2）依据点、分别是、的中点，可得，，再根据进行计算，即可得到线段的长． 【详解】（1）解：∵点、在数轴上对应的数分别为和14， ∴， 又∵，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴； （2）EF的长度不变． ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离、线段的中点的定义及线段的和差关系的运用，解题关键在于正确的识别图形，认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理． 23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 【答案】(1)， (2)①；②1或8 【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案； （2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）①设运动时间为，则，， 根据“点值”的定义得：，， 的值是个定值， 的值是个定值，； ②当点从点向点方向运动时， ，，； 当点从点向点方向运动时， ，，， 的值为1或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 2 模型2.线段的多中点模型 4 6 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点是线段上的一点，点、分别是线段、的中点．(1)如图1，若点是线段的中点，且，则线段的长______，线段的长______；(2)如图2，若点是线段上的任一点，且，求线段的长． 例2．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）线段上，M为的中点，N为的中点，，，（    ）． A． B． C． D． 例3．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，M、N分别为的中点，若、，则 ． 例4．（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知线段，点C在直线上，，点M、N分别是、的中点，则的长度为（    ） A． B．或 C． D．或 例5．（23-24七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，点A，B，C在同一条直线上，H为的中点，M为的中点．N为的中点．则下列说法：①；②；③；④；其中正确的是 ． 例6．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 例7．（2023·广东·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ． 例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 例3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 1．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图，已知线段，C为线段上一点，且，M，N分别是，的中点，则等于（    ）． A． B． C． D． 2．（2023秋·重庆铜梁·七年级统考期末）如图，点B在线段上，点P是线段的中点，点Q是线段的中点，若，，则的长度是（    ） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，是直线上的顺次四点，分别是的中点，且，则的长等于（    ）．    A． B． C． D． 4．（2023春·甘肃武威·七年级统考期末）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A．7cm B．3cm C．7cm或5cm D．5cm 5．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24七年级·上海·阶段练习）如图，是线段上任意一点，是线段的中点，是线段的中点，下列说法中错误的是（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·吉林长春·期末）点A、B、C在同一条直线上，，，P、Q分别是中点，则长可能是（    ） A．5 B．9 C．10 D．13 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知C为的中点，E为线段上的一点，D为线段的中点． （1）如图①，若，，则 ； （2）如图②，若，，则 ． 9．（23-24七年级上·广西崇左·期末）已知点是直线上的一点，是的中点，若，，则的长为 ． 10．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知线段，是直线上一点，是的中点，是中点，若，则的长为 ． 11．（2023秋·山东济宁·七年级校考期末）点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ． 12．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，已知线段，是的中点，是的中点，是的中点，则的长为 ．（用含的式子表示）    13．（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知点在直线上，，，、分别是、中点，则线段长为 ． 14．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，，是线段上的两点，是的中点，是的中点．（1）若，，则 ；（2）若，，则 ． 15．（2023秋·江苏泰州·七年级统考期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D为的中点，点P为延长线上一动点，点E为的中点，则的值是 ． 16．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市实验学校校考期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点…以此类推，点是线段 的中点． (1)线段的长为 ；(2)线段的长为 ；(3)求的值． 17．（23-24七年级上·广西梧州·期末）如图，一条线段，点分别是的中点，且，求线段的长． 18．（23-24七年级上·甘肃陇南·期末）七（1）班的数学兴趣小组在活动中，对“线段中点”问题进行以下探究．已知线段，点E，F分别是的中点． (1)如图1，若点C在线段上，且，求的长度（写出解题过程）； (2)若点C在线段的延长线上，其余条件不变，借助图2探究的长度为__________（不写探究过程）． 19．（2023秋·陕西榆林·七年级统考期末）如图，已知，两点在线段上，点是线段的中点，点是线段的中点，若，，求线段的长． 20．（2022秋·福建福州·七年级统考期末）如图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，． (1)若．求；(2)若为上一点，满足，请说明：点是线段的中点． 21．（2023·广东·七年级假期作业）如图，C是线段上一点，M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长；(2)若，求线段的长． 22．（2023秋·湖北黄石·七年级统考期末）如图，已知点、在数轴上对应的数分别为和14，点、在线段上，且，点、分别是、的中点． (1)若，求线段的长．(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出的长；如果变化，请说明理由． 23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$