专题03 线段中的双（多）中点模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 4 7 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·广东东莞·期末）已知：如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点，求的长．    例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长；(2)若，求线段的长度． 例3．（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）如图， 已知线段， M是的中点， P是线段上一点，N为的中点，， 则线段 ．   例4．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（　　） A． B． C．或 D．或 例5．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①； ②若，则；③； ④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 例6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 例7．（22-23七年级上·辽宁阜新·期末）点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点： (1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度．(2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 例3．（2023·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 1．（2023秋·湖北武汉·七年级校联考期末）如图，点A，B，C顺次在同一直线上，点M是线段的中点，点N是线段的中点．若想求出的长度，那么只需添加条件（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东聊城·七年级校考期中）如图，已知，，E，F分别为AC，BD的中点，则EF长为（    ）cm． A．7 B．14 C．17 D．34 3．（2023秋·海南·七年级统考期末）如图，已知线段cm，为直线上一点，且cm，，分别是、的中点，则等于（　　）cm． A．13 B．12 C．10或8 D．10 4．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（  ） A． B． C．或 D．或 6．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 7．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 8．（2023秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（　　） 甲：当点B与点O重合时，； 乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则； 丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变 A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙 9．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，线段和线段的公共部分是线段，点、分别是、的中点，若，，，则的长为 ．      10．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）已知、、三点在同一条直线上，、分别为线段、的中点，且，，则 11.（2023·河南驻马店·七年级校考期末）如图，已知线段，是的中点，为的中点，若，则 ． 12．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ． 13．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 14．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ． 15．（2023秋·四川达州·七年级统考期末）若点为线段上一点，，，点为直线上一点，、分别是、的中点，若，则线段的长为 ． 16．（2023春·江苏七年级月考）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 ． 17．（2022秋·辽宁阜新·七年级校考期中）如图，已知，两点把线段分成的三部分，的中点为，的中点为，且，求线段的长． 18．（2023秋·河南周口·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点．(1)若，求的长；(2)若，，求的长；(3)若，求的长． 19．（2022秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知直线l 上有 A、B、C 三点，点 A 在点 B 的左侧，M为的中点，N 为的中点．(1)如图，若点C为的中点，且，求线段的长． (2)若，且，求线段的长．（用含a的代数式表示） 20．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点在线段上，且． (1)比较线段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)如果是的中点，是的中点，求线段的长度． (3)在（2）中，如果，其他条件不变，那么_____．（用含的式子表示） 21．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知点为线段的中点．点为线段上的点，点为线段的中点．(1)如图1，若线段，，求线段的长； (2)如图2，若，，求线段的长． 22．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，点是线段上的一点，其中，，是线段的中点，是线段上一点．    (1)若为线段的中点，求的长度；(2)若为线段的一个三等分点，求的长度． 23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 7 11 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·广东东莞·期末）已知：如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．熟练掌握与线段中点有关的计算，线段的和与差是解题的关键． 由题意知，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，，∴，∴的长为． 例2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长；(2)若，求线段的长度． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和以及线段的差，可得答案； （2）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和以及线段的差，可得答案． 本题考查了线段的长度问题，掌握线段中点的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点分别是线段的中点∴ ∵， ∴∴ （2）∵点分别是线段的中点∴ ∵，∴． 例3．（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）如图， 已知线段， M是的中点， P是线段上一点，N为的中点，， 则线段 ．   【答案】1 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据中点平分线段，利用线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， M是的中点，∴， ∵N为的中点，，∴， ∴；故答案为：1 例4．（23-24七年级·山东淄博·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点C是线段的中点，∴， 当时，，∴； 当时，，∴；故选C． 例5．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①； ②若，则；③； ④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答． 【详解】解：∵E，F分别是线段的中点．，∴， ∴，故①不符合题意； ∵，∴，即， ∴，∴，故②符合题意； ∵，∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴，∴ ∴，故④不符合题意；故选：B． 例6．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，， ①若，如图1所示： ∵，∴，∵，∴∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，，∴； ②若，如图：∴， ∵，∴，∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴；故答案为：40或80． 例7．（22-23七年级上·辽宁阜新·期末）点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点： (1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度． (2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)、两点间的距离是个单位长度 (2)的值为或(3)线段的长度不发生变化， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据数轴上的点向右移动用加法，向左移动用减法求出点表示的数为，即可得解； （2）分两种情况：当点在点左边时；当点在点右边时；分别求解即可得出答案；（3）分三种情况：当在、之间时；当在的左侧时；当在的右侧时；分别画出图形，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为， ∵，∴、两点间的距离是个单位长度； （2）解：∵、两点间的距离是4，∴当点在点左边时，点表示的数为， ∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为，∴此时； 当点在点右边时，点表示的数为， ∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为， ∴此时；综上所述，的值为或； （3）解：线段的长度不发生变化，， 由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点为的中点，点为的中点，∴，， 如图，当在、之间时，此时； 如图，当在的左侧时，此时； 如图，当在的右侧时，此时； 综上所述，点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的规律，数轴上两点间的距离，根据题意，找出数字规律后与2计算距离即可． 【详解】∵A表示的数是2，原点表示的数是0， ∴表示的数是，表示的数是，表示的数是，由此得到表示的数是， 故第12次跳动后，该点到A点的距离为，故选C． 例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∵线段   和 的中点 ，∴， 同理：，∴，…… 依次类推， ，∴，故答案为：4． 例3．（2023·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ． 【答案】 【分析】先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：因为线段，是的中点，所以； 因为是的中点，所以； 因为是的中点，所以；， 所以，所以，答案为：． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 1．（2023秋·湖北武汉·七年级校联考期末）如图，点A，B，C顺次在同一直线上，点M是线段的中点，点N是线段的中点．若想求出的长度，那么只需添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点的定义得，从而可得． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，∴， ∴只要已知，即可求出的长度．故选：B． 【点睛】本题考查了线段的中点，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 2．（2023·山东聊城·七年级校考期中）如图，已知，，E，F分别为AC，BD的中点，则EF长为（    ）cm． A．7 B．14 C．17 D．34 【答案】C 【分析】根据线段中点的性质求出的值，然后根据线段的和可得答案． 【详解】解：∵E，F分别为，的中点， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，故选：C． 【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，根据线段中点的定义及线段的和差得出的值是解题关键． 3．（2023秋·海南·七年级统考期末）如图，已知线段cm，为直线上一点，且cm，，分别是、的中点，则等于（　　）cm． A．13 B．12 C．10或8 D．10 【答案】D 【分析】根据求得，然后由，分别是、的中点知，，，所以，即可得出答案． 【详解】∵，且，∴， 又∵，分别是、的中点，∴，， ∴．故选：D． 【点睛】本题考查了两点间的距离，充分利用两点间中点的定义是解题的关键． 4．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况B，在点A同侧时，B，在点A两侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：①B，在点A同侧时，如图所示： 是的中点，是的中点，，， ． ②B，在点A两侧时，如图， 是的中点，是的中点，，， ． 综上：与之间距离为或，故C正确．故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是分类讨论，画出图形，数形结合． 5．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解． 【详解】解：当点在点右侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ，； 当点在点左侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ． 综上所述：线段MN的长度为5 cm．故选：B． 【点睛】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键． 6．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可． 【详解】解：如图， ∵M、N分别是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴ ，故③符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴ ，故④不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键． 7．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值． 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， …… 由此可得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键． 8．（2023秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（　　） 甲：当点B与点O重合时，； 乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则； 丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变 A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙 【答案】D 【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法； 乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法； 丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解． 【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时， ，故甲的说法错误； 乙：如图2，当点C与点A重合时， 设点P表示的数为x，则， ∴，故乙的说法正确； 丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是， ∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段的中点， ∴点M表示的数是，点N表示的数是， ∴，故丙的说法正确．故选D． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键． 9．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，线段和线段的公共部分是线段，点、分别是、的中点，若，，，则的长为 ．      【答案】26 【分析】由图，可求，由，得，于是，得，进而求得． 【详解】解：，，有一段公共边，， 、分别是、的中点，，， ，，，，， ．故答案为：26． 【点睛】本题考查根据直线上线段间的数量关系计算线段长度，由直线上点之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键． 10．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）已知、、三点在同一条直线上，、分别为线段、的中点，且，，则 【答案】8或2 【分析】首先要考虑、、三点在直线上的不同位置：点在线段上或点在线段的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算． 【详解】解：、分别为、的中点， ，， 如图，点在线段上时， ， 如图，点在线段的延长线上时， ，故答案为：8或2． 【点睛】本题考查两点间的距离，正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念是解题的关键． 11.（2023·河南驻马店·七年级校考期末）如图，已知线段，是的中点，为的中点，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据中点的性质，可得，，即可求得． 【详解】解：为的中点，，， ，是的中点，， ．故答案为：3． 【点睛】本题考查了两点之间的距离，中点的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ． 【答案】或13 【分析】画出图形，分两种情况讨论①；②．设，根据直线l上所有线段的长度之和为91，列方程，先求出x，即可求出的长. 【详解】①当时，如图1 设，则，，， ∵直线l上所有线段的长度之和为91     ②当时，如图2, 故答案为：或13 【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线l上的线段的条数，及要进行分类讨论. 13．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 14．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ． 【答案】1 【分析】先由线段　中点定义得出，，又因为，利用线段和差即可求得，，代入即可求解． 【详解】解∶∵，P，Q分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为∶1． 【点睛】本题考查线段和差倍分，熟练掌握线段和差倍分的运算是解题的关键． 15．（2023秋·四川达州·七年级统考期末）若点为线段上一点，，，点为直线上一点，、分别是、的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】24或16 【分析】分2种情形讨论：①如图，点在的延长线上，②如图，点在线段的延长线上，画出图形根据线段和差定义即可解决． 【详解】解：①如图，点在的延长线上， ，， ． 是的中点， ， ， 又， ， 又点是的中点， ， ． ②如图，点在线段的延长线上 ，， ． 是的中点， ， 又， ， 又点是的中点， ， ． 综上所述，的长为24或16． 故答案是：24或16． 【点睛】本题考查线段中点的定义、线段和差定义，学会分类讨论的思想是解决问题的关键，本题还考查了学生的动手画图能力． 16．（2023春·江苏七年级月考）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①正确；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②正确；由由中点的意义可得代入可判断③正确；由得，代入可得故可判断④错误． 【详解】解：如图 ∵，∴∴，∴， ∴，∴，即，故①正确； ∵，∴，∵M、N分别是线段的中点， ∴，∴，故②正确； ∵M、N分别是线段的中点，∴ ∵，∴，故③正确； ∵，∴， ∵，∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 17．（2022秋·辽宁阜新·七年级校考期中）如图，已知，两点把线段分成的三部分，的中点为，的中点为，且，求线段的长． 【答案】 【分析】根据题意设，则，根据线段中点的性质得出，，进而根据，求得，即可求解． 【详解】解：∵，两点把线段分成的三部分，设，则， ∵的中点为，的中点为，∴，， ∴，∵，∴，解得：， ∴，∴． 【点睛】本题考查了线段的和差计算，中点的定义，数形结合是解题的关键． 18．（2023秋·河南周口·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点． (1)若，求的长；(2)若，，求的长；(3)若，求的长． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据线段中点的定义可得，即可求出结果； （2）根据线段中点的定义可得，，即可求出结果； （2）根据线段中点的定义可得，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵点M是的中点，点N是的中点，，， ，， 又，，． （2）解：∵点M是的中点，点N是的中点，，， ，，，，． （3）解：∵点M是的中点，点N是的中点，，， ，， 又，，． 【点睛】本题考查了线段中点的定义和求两点间的距离，熟练掌握计算两点间距离的方法是解题的关键． 19．（2022秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知直线l 上有 A、B、C 三点，点 A 在点 B 的左侧，M为的中点，N 为的中点． (1)如图，若点C为的中点，且，求线段的长． (2)若，且，求线段的长．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据线段中点的定义求出，再根据线段中点的定义求出的长即可得到答案；（2）分如图1所示，当点C在延长线上时，如图2所示，当点C在线段上时，两种情况根据线段中点的定义进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点C为的中点，且，∴， ∵M为的中点，N 为的中点，∴， ∴； （2）解：如图1所示，当点C在延长线上时， ∵，且，∴， ∵M为的中点，N 为的中点，∴，，∴ 如图2所示，当点C在线段上时， ∵，且，∴， ∵M为的中点，N 为的中点，∴，， ∴；综上所述，． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，熟知线段中点的定义是解题的关键． 20．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点在线段上，且． (1)比较线段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)如果是的中点，是的中点，求线段的长度． (3)在（2）中，如果，其他条件不变，那么_____．（用含的式子表示） 【答案】(1)=； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算．理清线段之间的数量关系，是解题的关键． （1）根据线段的和的关系，进行比较即可； （2）先求出的长，中点，求出的长，再根据，求出的长即可； （3）同法（2），进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即：； 故答案为：； （2）∵ ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知点为线段的中点．点为线段上的点，点为线段的中点． (1)如图1，若线段，，求线段的长； (2)如图2，若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查线段中点有关的计算． （1）由中点，求出和的长，再利用中点的意义即可求解； （2）根据题意求得，，再根据中点的意义计算即可． 【详解】（1）解：因为，点为线段的中点， 所以． 因为， 所以， 因为点为线段的中点， 所以； （2）解：因为点为线段的中点， 所以， 因为，， 所以， 所以，， 因为，点为线段的中点， 所以， 所以， 所以． 22．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，点是线段上的一点，其中，，是线段的中点，是线段上一点．    (1)若为线段的中点，求的长度； (2)若为线段的一个三等分点，求的长度． 【答案】(1)4 (2)3或5 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，数形结合，分类讨论是解题的关键．（1）根据线段中点的性质得出,，结合图形，即可求解；（2）根据线段中点的性质以及三等分点的性质，分类讨论，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，为线段的中点， ∴,， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， ∵为线段的一个三等分点， ∴或， ∴或； ∴的长为或． 23．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 【答案】(1)， (2)①；②1或8 【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案； （2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）①设运动时间为，则，， 根据“点值”的定义得：，， 的值是个定值， 的值是个定值， ； ②当点从点向点方向运动时， ， ， ； 当点从点向点方向运动时， ， ， ， 的值为1或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$