专题03 线段中的双（多）中点模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 4 6 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，点M，N分别是线段的中点．若．求线段的长． 例2．（2024七年级·广东·培优）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ． 例3．（23-24七年级下·河北唐山·开学考试）现有，两根木条，，分别是，的中点，将两根木条叠放在一起．按如图所示叠放，，，则 ． 例4．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知线段，点C是直线上一点，，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是( ) A． B． C．或 D．或 例5．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，C是的中点，D是的中点，下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 例6．（23-24七年级·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米． 例7．（2023·广东·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 例3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·上海闵行·期末）已知是线段上一点（与端点不重合），是线段的中点，是线段的中点，厘米，那么的长等于（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 3．（2023·广东河源·七年级月考）已知线段，是的中点，是的中点，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广东七年级期中）如图，是的中点，是的中点，若，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江·七年级专题练习）如图所示，B，C是线段上任意两点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度是（　　） A． B． C． D．以上都不对 6．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023·内蒙古·七年级校考期末）A、、三点在同一条直线上，分别为的中点，且，则的长为（　　） A．30 B．30或10 C．50 D．50或10 8．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）点A、B、C在直线l上，，，点E是中点，点F是的中点， cm． 9．（23-24七年级·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 10．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为 ． 11．（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知线段，点C是直线上一点，，点是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是 . 12．（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）如图，点在线段上，分别是的中点，若，则 ． 13．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）点C在直线上，，点M、N分别是的中点，则线段的长为 ． 14．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离 ．    15．（23-24七年级上·广东佛山·期末）已知线段 m、n（其中）． (1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，点M是的中点，点N是的中点，当时，求线段的长． 16．（2023·广东·七年级假期作业）如图，线段，C是线段上一点，，D、E分别是、的中点．(1)求线段的长；(2)求线段的长． 15．（2022秋·广东·七年级专题练习）如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长；（2）若，求的长；（3）若，求的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 16．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知点、、分别为线段上的点（在点左边），且满足．(1)如图1，若，，为中点时，求的长； (2)若点为的中点，，试探究线段与之间的数量关系． 18．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，已知线段，点O在线段AB上，点C，D分别是，的中点． (1)______；______；(2)求线段的长度； (3)小南在反思过程中突发奇想：若点O在线段的延长线上，点C，D分别是，的中点，请帮小南画出图形分析，并求线段的长度． 19．（2023·福建泉州·七年级期末）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点． (1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度；(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由． 20.（2022·山东菏泽·七年级期末）如图，已知点C在线段上，M是的中点，点N在线段上，且． (1)若，求线段的长；(2)若，则________（直接写出结果）； (3)若已点知C在线段的延长线上，M是的中点，点N在线段上，，求的长． 21．（2023春·七年级期中）如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 22．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，当时， ； (2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值； (3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 23．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知：(1)如图1，点在线段上，若，则_______；若，则_________； (2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.线段的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 6 10 模型1.线段的双中点模型 线段双中点模型： 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型。 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1．（23-24七年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，点M，N分别是线段的中点．若．求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段中点的定义得到，；进而得到，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：，N分别是的中点，，． ，，， ，即，， ，． 例2．（2024七年级·广东·培优）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，明确各线段间的关系是解题的关键． 由中点的定义可得：，再根据数轴上表示的数确定，然后再根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵点为的中点，点为的中点，∴， ∵点表示的数分别为，∴ ∴．故答案为：． 例3．（23-24七年级下·河北唐山·开学考试）现有，两根木条，，分别是，的中点，将两根木条叠放在一起．按如图所示叠放，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是由线段中点得到．根据线段中点求出的长，即可求出的长． 【详解】解：，分别是，的中点，，， ，．故答案为：． 例4．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知线段，点C是直线上一点，，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题需要分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可． 本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论． 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点，∴， ， ①当点C在线段上时，∴；    ②当点在线段的延长线上时，∴．    综上所述，线段的长度是或．故选：D． 例5．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，C是的中点，D是的中点，下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段中点性质得到，进而逐项判断即可． 【详解】解：∵C是的中点，D是的中点，∴，， ∴，， 故选项A、B、C正确，选项D错误，故选：D． 例6．（23-24七年级·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，与线段中点有关的计算等知识．熟练掌握线段的和与差，与线段中点有关的计算是解题的关键． 由题意知，，，，由点E在线段上，可得，由，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，∵点C是线段的中点，∴， ∵点D是线段的中点，∴， ∵点E在线段上，∴， 又∵，∴，∴，故答案为：． 例7．（2023·广东·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)(2)，详见解析 【分析】（1）利用线段的和差，线段的中点的性质计算； （2）先画出图形，再利用线段的和差，线段的中点的性质计算． 【详解】（1）解：点在线段上，，，点、分别是、的中点， ，， ； （2）解：如图所示， 点在线段的延长线上，且满足， 又点、分别是、的中点，，， ，的长度． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的性质． 模型2.线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的规律，数轴上两点间的距离，根据题意，找出数字规律后与2计算距离即可． 【详解】∵A表示的数是2，原点表示的数是0， ∴表示的数是，表示的数是，表示的数是，由此得到表示的数是， 故第12次跳动后，该点到A点的距离为，故选C． 例2．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∵线段   和 的中点 ，∴， 同理：，∴，…… 依次类推， ，∴，故答案为：4． 例3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义得出是解题关键．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵线段，线段和的中点，， ∴， ∵线段和的中点，； ∴ 发现规律：，∴．故答案为：． 例4．（23-24七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，用特殊值法设点A为，C为，根据题意求出，设D为x，则为，为，表示出，从而得出结论． 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，，为，， 设D为x，则为，为， ，,故选：C． 2．（23-24七年级·上海闵行·期末）已知是线段上一点（与端点不重合），是线段的中点，是线段的中点，厘米，那么的长等于（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，根据是线段的中点，是线段的中点，求出，，得出（厘米）即可． 【详解】解：∵是线段上一点，∴厘米， ∵是线段的中点，是线段的中点，∴，， ∴（厘米），故选：B． 3．（2023·广东河源·七年级月考）已知线段，是的中点，是的中点，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点的定义可得，，即可求解． 【详解】解：线段，是的中点，是的中点， ，，，故选：C． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，熟练掌握中点的定义是解题的关键． 4．（2023·广东七年级期中）如图，是的中点，是的中点，若，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中点，是的中点，分别求得，，，再根据线段的和与差，计算即可判断． 【详解】解：∵是的中点，是的中点，且，， ∴，，， ∴，故选项A不符合题意；，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意；，故选项D不符合题意；故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题． 5．（2023·浙江·七年级专题练习）如图所示，B，C是线段上任意两点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据M是的中点，N是的中点，得出，，根据，，得出，求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，故选：C． 【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 6．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算即可. 【详解】① ∵H是的中点，∵分别是的中点，.     ∴①正确. ② 由①知∴②错误. ③ ∴③正确. ④      ∴④正确.综上，①③④正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的关键. 7．（2023·内蒙古·七年级校考期末）A、、三点在同一条直线上，分别为的中点，且，则的长为（　　） A．30 B．30或10 C．50 D．50或10 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，再根据图形求解即可． 【详解】（1）当C在线段延长线上时，如图1， ∵分别为的中点，∴，∴； （2）当C在上时，如图2， 同理可知，∴，所以或50，故选D． 【点睛】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况． 8．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）点A、B、C在直线l上，，，点E是中点，点F是的中点， cm． 【答案】7或3 【分析】因为A、B、C三点位置不明确，分点B在A、C之间和点A在B、C之间两种情况讨论，①根据中点定义先求出、的长，；②根据中点定义先求出、的长，． 【详解】解：如图，∵，，点E是中点，点F是的中点， ∴，， ①点B在A、C之间时，； ②点A在B、C之间时，． ∴的长等于7或3．故答案为：7或3． 【点睛】此题考查的知识点是两点间的距离，难点在正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念． 9．（23-24七年级·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 10．（22-23七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设，，可得，，然后根据，求得，故求出，，再根据中点的定义计算即可． 【详解】解：设，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 又∵点分别是线段和线段的中点， ∴，， ∴， 故答案为． 11．（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知线段，点C是直线上一点，，点是线段的中点，点N是线段的中点，则线段的长度是 . 【答案】4或8 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差关系．分两种情况：点C在线段上或点C在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点， ， 当点C在线段上时，如图， ； 当点C在线段的延长线上时，如图， 故答案为：4或8． 12．（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）如图，点在线段上，分别是的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了线段中点与线段和差，利用线段中点和线段和差即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】解：因为是的中点，， 所以， 所以， 所以， 因为是的中点， 所以, 所以， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）点C在直线上，，点M、N分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】3或10/10或3 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算．分两种情况讨论：当点C在线段上时，当点C在线段延长上时，再由线段的和差关系得到即可得到答案． 【详解】解：如图，当点C在线段上时， ∵，点M、N分别是的中点， ∴， ∴； 如图，当点C在线段延长上时， ∵，点M、N分别是的中点， ∴， ∴； 终上所述，线段的长为或． 故答案为：3或10 14．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离 ．    【答案】2.5或11.5 【分析】本题主要考查了线段的中点问题，注意两端重合有2种情况，如图，设短的木条为，长的木条为，然后分B、C两点重合与A、C两点重合两种情况进一步分析求解即可. 【详解】如图，设短的木条为，长的木条为， 则：，，    ①当B、C两点重合时，    此时； ②当A、C两点重合时，    此时； 综上所述，的长度为或， 故答案为：2.5或11.5． 15．（23-24七年级上·广东佛山·期末）已知线段 m、n（其中）． (1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，点M是的中点，点N是的中点，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算： （1）作射线，以A为圆心，以线段m的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段n的长为半径画弧交射线于C，则线段即为所求； （2）根据线段中点的定义求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，作射线，以A为圆心，以线段m的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段n的长为半径画弧交射线于C，则线段即为所求； （2）解：∵点M是的中点，点N是的中点 ∴， ∴． 16．（2023·广东·七年级假期作业）如图，线段，C是线段上一点，，D、E分别是、的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段中点的定义得到，根据线段的和差即可得到结论； （2）根据线段的和差得到，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：是的中点， ， ， ； （2）， ， 是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 15．（2022秋·广东·七年级专题练习）如图，已知点在同一直线上，分别是的中点． （1）若，求的长； （2）若，求的长； （3）若，求的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关. 【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案； （2）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （3）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案； （4）由（1）（2）（3）总结出结论即可. 【详解】解：（1） ，分别是的中点， （2） ，分别是的中点， （3） ，分别是的中点， （4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关. 【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键. 16．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知点、、分别为线段上的点（在点左边），且满足． (1)如图1，若，，为中点时，求的长； (2)若点为的中点，，试探究线段与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，设，根据，可得，得到，，由中点的定义得出，最后将数据代入计算即可； （2）如图，设，，由中点的定义得到，所以，从而得到，最后利用和可得到关于、等量关系式，从而问题得解． 【详解】（1）解：如图，设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴． ∴的长为． （2）如图，设，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴线段与之间的数量关系为． 【点睛】本题考查线段的和差，中点的定义，运用了方程的思想．根据题意得到等量关系式是解题的关键． 18．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，已知线段，点O在线段AB上，点C，D分别是，的中点． (1)______；______； (2)求线段的长度； (3)小南在反思过程中突发奇想：若点O在线段的延长线上，点C，D分别是，的中点，请帮小南画出图形分析，并求线段的长度． 【答案】(1)2；2 (2)6 (3)6 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和差，可得答案； （3）点O在线段的延长线上，点C，D分别是，的中点，因此，，，根据线段的和差，可得答案，根据上面的分析可得出结论是成立的． 【详解】（1）解：∵点C、D分别是、的中点 ∴；； 故答案为：2，2； （2）∵点C、D分别是、的中点， ∴，， ∴； （3）仍然成立， 如图： 理由：∵点C、D分别是、的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用了线段中点的性质，线段的和差得出答案． 19．（2023·福建泉州·七年级期末）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点． (1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度；(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可； （2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系． （1）解：如图1， ∵点C是线段AB的中点，AB=6， ∴BC=AB=3， ∵BD=BC， ∴BD=1， ∴CD=BC-BD=2； （2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下： 当点D在线段AB上，如图2， 设AD=2x，则BD=3x， ∴AB=AD+BD=5x， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=AB=， ∴CD=AC-AD=x， ∵AE=2BE， ∴AE=AB=x， CE=AE-AC=x， ∴=，即5CD=3CE； 当点D在BA延长线上时，如图3， 设AD=2a，则BD=3a， ∴AB=BD-AD=a， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=AB=， ∴CD=AC+AD=a， ∵AE=2BE， ∴AE=AB=a， CE=AE-AC=a， ∴=，即CD=15CE． 综上，5CD=3CE或CD=15CE． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．解第2问注意分类讨论． 20.（2022·山东菏泽·七年级期末）如图，已知点C在线段上，M是的中点，点N在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若，则________（直接写出结果）； (3)若已点知C在线段的延长线上，M是的中点，点N在线段上，，求的长． 【答案】(1)11(2) (3) 【分析】（1）根据M是的中点，可知根据，可知，根据即可求解； （2）根据（1）的方法求解即可； （3）根据题意画出图形，根据即可求解 (1)解： M是的中点，， ， ， ； (2)解： M是的中点，， ， ， ； (3)如图， M是的中点，， ， ， . 【点睛】本题考查了线段和差的计算，线段中点的性质，等分点的计算，数形结合是解题的关键． 21．（2023春·七年级期中）如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 【答案】(1)①10，②见解析(2)不成立，见解析 【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证； （2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴； ②∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不成立； ∵M、N分别为、的中点， ∴， ①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： 或 ； ②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图： 或 ； ③当点在点的左侧时，如图： 或 ； 综上：或；故结论不成立． 【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论． 22．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，当时， ； (2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值； (3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3； (2)或20； (3)，理由见解析． 【分析】（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案； （2）①当点P在线段上，， ②当点P在线段的延长线上，，再建立方程求解即可； （3）先证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴，， ∴， ∵线段， ∴， ∴． （2）①当点P在线段上，，如图， ∵，为的中点， ∴， 解得 ②当点P在线段的延长线上，，如图， 同理：， 解得 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为或20． （3）当点P在线段的反向延长线上时，，理由如下： 如图， ∵，为的中点，为的中点， ∴，， ， ． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键． 23．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知： (1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________； (2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立． 【答案】(1)，(2)，， (3)存在和使等式成立 【分析】（1）根据定义直接得出结果即可求解； （2）根据题意，得出，，相加即可求解； （3）分在点到达点之前，在点到达点返回之后，两种情况分类讨论即可求解． 【详解】（1）根据定义可得：∵，则； ∵，∴,则；故答案为：．，； （2）∵∴ ∵∴ ∴∴ （3）①在点到达点之前 ∵∴ ∵∴∴ ∵∴∴ ②在点到达点返回之后 ∵∴ ∵∴∴ ∵∴∴ ∴存在和使等式成立． 【点睛】本题考查了几何新定义，线段的和差，理解新定义，数形结合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 $$