2.3二次函数与一元二次方程，不等式（八个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

2.3二次函数与一元二次方程，不等式 一、解不含参的一元二次不等式 五、解含参的一元二次不等式 二、解简单的分式不等式 六、一元二次不等式恒成立问题 三、三个“二次”的关系 七、一元二次不等式有解问题 四、二次函数的含参问题 八、一元二次不等式的实际应用 知识点1一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点2二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标； (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 重难点一 解不含参的一元二次不等式 【例1】已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式1-1】不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-2】已知则的取值范围是 . 【变式1-3】求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 重难点二 解简单的分式不等式 【例3】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【例4】不等式：的解为 ． 【变式2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】集合的子集个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-3】解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 重难点三 三个“二次”的关系 【例5】已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例6】（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【变式3-1】（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）关于的不等式，下列说法不正确的是（    ） A．若关于的不等式解集为或，则二次函数的零点为， B．若关于的不等式解集为或，则的解集为 C．若关于的一元二次不等式解集为，则且 D．若关于的不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同都是，则 【变式3-3】已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 重难点四 二次函数的含参问题 【例7】抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8】已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）． (1)若该二次函数图象的顶点，求a，m的值； (2)设该函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．当的面积与的面积相等时，求m的值． 【变式4-1】，当时，，求的取值范围 ． 【变式4-2】抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则 ． 【变式4-3】设二次函数，是常数，． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由． (2)若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． (3)若，点在该二次函数图象上，求证：． 重难点五 解含参的一元二次不等式 【例9】设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【例10】解关于变量的不等式：． 【变式5-1】解关于x的不等式：（）； 【变式5-2】已知命题：，： (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【变式5-3】已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 知识点4一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 重难点六 一元二次不等式恒成立问题 【例11】若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例12】若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式6-1】若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是 ． 【变式6-2】已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 重难点七 一元二次不等式有解问题 【例13】若存在，使得成立，则实数的取值范围 . 【例14】若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【变式7-1】设命题，写出一个实数 ，使得是真命题． 【变式7-2】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【变式7-3】若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 知识点5利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 重难点八 一元二次不等式的实际应用 【例15】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 【例16】某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【变式8-1】某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 【变式8-2】如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形EFGH）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且，为使绿地面积不小于空地面积的一半，AE的长的最小值为 ． 【变式8-3】2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 一、单选题 1．设，则是的什么条件（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．关于的一元二次不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 6．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 8．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 9．不等式的解集是 ． 10．甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 11．关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 . 四、解答题 12．解下列不等式； (1)； (2)： 13．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 14．已知三个不等式：①，②，③.要使同时满足①②的所有的值满足③，求的取值范围. 15．已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3二次函数与一元二次方程，不等式 一、解不含参的一元二次不等式 五、解含参的一元二次不等式 二、解简单的分式不等式 六、一元二次不等式恒成立问题 三、三个“二次”的关系 七、一元二次不等式有解问题 四、二次函数的含参问题 八、一元二次不等式的实际应用 知识点1一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点2二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标； (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 重难点一 解不含参的一元二次不等式 【例1】已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得， 则A项是命题p的充要条件，故A错误； 由， 则B项是命题p的充分条件，故B错误； 由，且， 则C项是命题p的一个必要不充分条件，故C正确； 由，且， 则D项是命题p的既不充分也不必要条件，故D错误； 故选：C. 【例2】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）可以转化为 的解集为：. （2）移项可得， 的解集为 （3）化简可得， 的解集为 （4）因式分解可得，的解集为 【变式1-1】不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 【变式1-2】已知则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题， 解得，. 作出函数的图象如图所示：    由图可得不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1-3】求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)R 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知或，因此或， 所以原不等式的解集为． （2）因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知，因此， 所以原不等式的解集为． （3）原不等式可化为，又因为，所以上述不等式可化为． 注意到只要，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为 （4）原不等式可以化为．因为， 所以原不等式可以化为，即， 不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R． 重难点二 解简单的分式不等式 【例3】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 【例4】不等式：的解为 ． 【答案】或 【详解】由，得或，解得或， 所以不等式的解为或. 故答案为：或 【变式2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，， ， 所以. 故选：B. 【变式2-2】集合的子集个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由题意得， 所以集合A的子集个数为. 故选：D 【变式2-3】解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【详解】（1）不等式，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，即， 则或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 重难点三 三个“二次”的关系 【例5】已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】A．，，开口向下，与轴有两个不同交点，不等式的解集不是R，不符合题意； B．，开口向下，与轴没有交点，不等式的解集是R，符合题意； C．，开口向上，与轴没有交点，不等式的解集为空集，不符合题意； D．，开口向上，与轴有两个不同的交点，不等式的解集不是R，不符合题意； 故选：B． 【例6】（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 【变式3-1】（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 【变式3-2】（多选）关于的不等式，下列说法不正确的是（    ） A．若关于的不等式解集为或，则二次函数的零点为， B．若关于的不等式解集为或，则的解集为 C．若关于的一元二次不等式解集为，则且 D．若关于的不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同都是，则 【答案】AD 【详解】A选项：若关于的不等式解集为或，则，且其对应方程有两个解，，所以对应函数的两个零点为和，A选项错误； B选项：若关于的不等式解集为或，则，且其对应方程有两个解，，且，，即，， 所以，即，解得，所以不等式的解集为，B选项正确； C选项：若关于的一元二次不等式解集为，则且其对应方程无解，即，C选项正确； D选项：若关于的不等式的解集为， 则，且， 关于的二次不等式的解集是， 则，且，无法确定其比例关系，D选项错误； 故选：AD. 【变式3-3】已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意得的两个根为，，且， ，，则，， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 重难点四 二次函数的含参问题 【例7】抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由下图可知：，再根据抛物线的性质，越大开口越小， 把点代入得，把点代入得， 则的范围介于两者之间，故 ． 故选：D. 【例8】已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）． (1)若该二次函数图象的顶点，求a，m的值； (2)设该函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．当的面积与的面积相等时，求m的值． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）依题意，二次函数图象的对称轴方程为，顶点为， 于是且，解得， 所以. （2）由（1）知，不妨令，，则，显然 于是的面积， 的面积， 依题意，，又，因此，即或， 所以或 【变式4-1】，当时，，求的取值范围 ． 【答案】 【详解】， 抛物线与 轴的交点为 ， ，当 时，， ，解得 ， 故答案为： . 【变式4-2】抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则 ． 【答案】 【详解】设，， 由于是直角三角形，所以，且直角为, 又，，所以， 故答案为： 【变式4-3】设二次函数，是常数，． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由． (2)若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． (3)若，点在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意， 在二次函数，是常数，中， 当时，， ， 方程有两个不相等实数根或两个相等实根． 二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个. （2）由题意及（1）得， 在二次函数，是常数，中， 图象经过，，三个点中的其中两个点， 当时，， 抛物线不经过点， 把点，分别代入得： 解得 抛物线解析式为：. （3）由题意及（1）（2）证明如下： 在二次函数，是常数，中， 点在该二次函数图象上， ∴当时，①， ， ②， ①②相加得：， . 重难点五 解含参的一元二次不等式 【例9】设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 【例10】解关于变量的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】 根据题意，， 分2种情况讨论： ①当时，不等式为：，解可得，此时不等式的解集为； ②若，的两个根为3和， 当时，不等式的解集为，，； 当时， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为，． 综合可得：当时，不等式的解集为，，； 当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为，． 【变式5-1】解关于x的不等式：（）； 【答案】答案见解析 【详解】 ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； 【变式5-2】已知命题：，： (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件； (2) 【详解】（1）解：实数：，解得：， ：，解得：， 令，， 若，则，可知是A的真子集， 那么是的必要不充分条件； （2）若是的充分条件，则是的充分条件. 即，则解得：， ． 【变式5-3】已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由，解得，所以， 对于，即， 若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以； 若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以； 若，则为，符合题意， 所以实数的取值范围是. 知识点4一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 重难点六 一元二次不等式恒成立问题 【例11】若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 【例12】若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 【变式6-1】若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得在时恒成立， 令，所以在时恒成立， 因为二次函数图象对称轴为， 所以当时有最小值为， 所以. 故答案为：. 【变式6-2】已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由得， 由不等式的解集为，所以或者，解得， 综上为真时，， 故成立是既不充分也不必要条件， 故选：D 【变式6-3】已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 重难点七 一元二次不等式有解问题 【例13】若存在，使得成立，则实数的取值范围 . 【答案】或 【详解】根据题意即不等式有解， 由 得或 故答案为：或 【例14】若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 【变式7-1】设命题，写出一个实数 ，使得是真命题． 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【详解】若命题为真命题， 则，解得， 故可取，使得是真命题． 故答案为：（答案不唯一，只要满足即可） 【变式7-2】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 【变式7-3】若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 知识点5利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 重难点八 一元二次不等式的实际应用 【例15】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 【答案】 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故答案为： 【例16】某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 【变式8-1】某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 【答案】 【详解】设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 整理得， 解得或（舍去）， 所以这辆汽车刹车前的速度至少为． 故答案为： 【变式8-2】如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形EFGH）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且，为使绿地面积不小于空地面积的一半，AE的长的最小值为 ． 【答案】50米 【详解】设米，则， ，， ， 若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即 解得，故AE的长的最小值为50米. 故答案为：50米. 【变式8-3】2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 一、单选题 1．设，则是的什么条件（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由知或，又， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 2．若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由不等式的解集是，故， 且， 即，. 故选：D. 3．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得． 综上，实数的取值范围是． 故选:B． 4．关于的一元二次不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，不等式的解集不是空集，不符合题意， 当时，要使不等式的解集为空集， 则需，解得. 所以的取值范围是. 故选：B 5．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【答案】D 【详解】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 6．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，即时，，恒成立； 当时，，解之得， 综上可得 故选：D 二、多选题 7．已知关于的不等式.的解集为.则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【详解】因为不等式.的解集为， 所以为方程的两根，且， 所以，， 所以，，， 因为，所以A正确； 因为，，， 所以不等式可化为，B错误； 因为，，， 所以，C正确； 因为，，， 所以不等式可化为， 解得，，所以D错误； 故选：AC. 8．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【详解】不等式的解集为， 根据根与系数的关系，可得且，. 可化为，解得，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，方程的解为，且， 不等式的解集为，A错误； ，而，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．不等式的解集是 ． 【答案】或. 【详解】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 10．甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 【答案】 【详解】依题意，根据韦达定理有，，即，， 因此不等式为：，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为：，. 11．关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 . 【答案】 【详解】关于的不等式 可化为 , 当 时, 解不等式得 , 当 时, 解不等式得 , 因为不等式的解集中至多包含 1 个整数, 所以 或 , 当 时，不等式的解集为 ，也满足题意； 所以 的取值范围是 . 故答案为:. 四、解答题 12．解下列不等式； (1)； (2)： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 即，解得， 故原不等式的解集为． （2）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 13．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 【答案】(1)80； (2)14. 【详解】（1）依题意，，整理得：，即，而，解得， 所以调整后技术人员的人数x最多为80. （2）依题意，，整理得：， ，而当时，，当且仅当时取等号，因此， 所以正整数t的最大值为14. 14．已知三个不等式：①，②，③.要使同时满足①②的所有的值满足③，求的取值范围. 【答案】 【详解】由①得解集：，由②得解集： 同时满足①②的所有的值，即为求①②两个解集的交集：， 要使同时满足①②的所有的值满足③， 即不等式在内恒成立， 即在内恒成立， 令， 则在内恒成立等价于成立， 易知， 所以，所以的取值范围是. 15．已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】由不等式，解得或， 解方程，解得或． ①若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得； ②若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$