专题05 全等三角形单元过关（基础版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题05 全等三角形单元过关（基础版） 考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，△ABC≌△DCB，若∠A＝80°，∠ACB＝40°，则∠BCD等于（   ） A．80° B．60° C．40° D．20° 2．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 3．如图，已知，，添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°， AD=2，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若点P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的，在下列给定的条件下，再增加一个“”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，在△ABF和△CDE中，BE=DF，AB∥DC， 要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（   ） A．AB=DC B．AF=CE C．∠ABD=∠CDB D．BF=DE 8．如图，点D是△ABC外的一点，BD，CD分别平分外角 ，， 连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（　　） A．DB＝DC B．OA＝OD C．∠BDA＝∠CDA D．∠BAD＝∠CAD 9．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹是（   ）    A．以点B为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DC为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DC为半径的弧 10．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长(       ) A．7 B．6 C．5 D．4 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，，要使，可添加的条件为 ． 12．如图，是的平分线，为上的一点，于点，，则点到边的距离为 ．    13．如图，△ABC ≌ △ADC，∠B＝130°，∠BAC= 35°，则∠ACD＝ °． 14．如图，点A、C都在直线l上，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，点E、B、D到直线l的距离分别是6,3,4，计算图中由线段AB、BC、CD、DE、EA所围成的图形的面积是 . 15．如图，已知，根据“”只需补充条件 就可以判定． 16．如图，等腰中，，，点D为的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，如果在某一时刻与全等，那么 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：BE＝DE． 18．如图，已知，，请用尺规作．（不写作法，保留作图痕迹） 19．如图，为测量河宽，小军站在河岸的O处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后沿所在直线后退到B处（保持之前的姿势），这时他的视点恰好落在O处，同时他让小华测量他此时所站的B处与O处之间的距离为．你能帮忙算出河宽吗？请说明理由． AI 20．如图，在ABC 中，已知 AD 是BAC 的角平分线，B 64 ，C 36 （1）求DAC的度数； （2）若 DE 平分ADC交AC于E，求CDE 的度数. 21．如图所示，，，，交于点E，． (1)求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 22．如图，在ABC中，点D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接CE．求证：ABD≌ECD； 23．如图所示，，，．求证：．    24．八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 25．如图，在平面直角坐标系中，，已知，，，点在第一象限内，，的延长线与的延长线交于点，与交于点． （1）的度数为________． （2）求点的坐标． （3）求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形单元过关（基础版） 考试范围：第十二章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，△ABC≌△DCB，若∠A＝80°，∠ACB＝40°，则∠BCD等于（   ） A．80° B．60° C．40° D．20° 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可求∠ABC=60°，根据全等三角形的性质可证∠BCD =∠ABC，即可求∠BCD． 【详解】解：∵△ABC≌△DCB， ∴∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠BCD， △ABC中，∠A=80°，∠ACB=40°， ∴∠ABC=180°-80°-40°=60°， ∴∠BCD=∠ABC=60°， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及内角之间的关系联系起来． 2．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 3．如图，已知，，添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 根据，，不能推出，故本选项符合题意； B．∵，，， ∴，故本选项不符合题意； C．∵，，， ∴，故本选项不符合题意； D．∵， ∴， 又∵，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 4．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°， AD=2，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C，若点P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD=∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=AD． 【详解】∵BD⊥CD，∠A=90°， ∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CBD+∠C=90°， ∴∠ABD=∠CBD， 由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小， 此时，DP=AD=2． 故本题选A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短的性质．理解点到直线的距离垂线段最短是解题关键． 5．如图，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边以及对应角相等进而得出答案． 【详解】解：∵△ABC≌△CDA， ∴∠1=∠2，∠B=∠D，AC=CA， 故AC=BC错误，符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出等应边和对应角是解题关键． 6．给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的，在下列给定的条件下，再增加一个“”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法即可解答. 【详解】解：A．，，增加“”后，类似，不能判定两三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定，故选项A符合题意. B．，，增加“”后，属于用来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项B不符合题意. C．，，增加“”后，属于用来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项C不符合题意. D．，，增加“”后，属于用SSS 来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键是不能用来判定三角形全等. 7．如图，在△ABF和△CDE中，BE=DF，AB∥DC， 要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（   ） A．AB=DC B．AF=CE C．∠ABD=∠CDB D．BF=DE 【答案】A 【分析】根据等式的性质可得BF=DE，添加AB=CD可利用SAS定理判定△ABF≌△CDE． 【详解】解：∵BE=DF， ∴BE-EF=DF-EF， ∴BF=DE， ∵AB∥DC ∴ 添加AB=CD， 在△ABF和△CDE中 ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 8．如图，点D是△ABC外的一点，BD，CD分别平分外角 ，， 连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（　　） A．DB＝DC B．OA＝OD C．∠BDA＝∠CDA D．∠BAD＝∠CAD 【答案】D 【分析】过D点作DM⊥AE于M，DN⊥AF于点N， DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DM，DH=DN，则DM=DV，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到AD平分∠BAC，从而得到正确答案． 【详解】解：如图，过D点作DM⊥AE于M，DN⊥AF于点N， DH⊥BC于H， ∵BD，CD分别平分外角∠CBE与∠BCF， ∴DH=DM，DH=DN， ∴DM=DN， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质定理和逆定理是解题的关键． 9．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹是（   ）    A．以点B为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DC为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DC为半径的弧 【答案】D 【详解】分析：根据题意，所作出的是∠OBF=∠AOB，， 根据作一个角等于已知角的作法，是以点E为圆心，DC为半径的弧． 故选D． 10．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长(       ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】求出∠ADC=∠BDF，∠DBF=∠DAC，AD=BD，根据ASA推出△ADC≌△BDF，根据全等三角形的性质推出AC=BF即可． 【详解】∵AD、BE是高， ∴∠ADC=∠BDF=90°，∠BEC=90°， ∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°， ∴∠DBF=∠DAC， ∵∠ABC=45°，∠ADB=90°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD， 在△ADC和△BDF中 ， ∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF=AC， ∵AC=5， ∴BF=5， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ADC≌△BDF，注意：全等三角形的对应边相等． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，，要使，可添加的条件为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 由题意知，添加的条件为，可证．解题的关键是掌握在于确定判定三角形全等的条件． 【详解】解：由题意知，添加的条件为， ∵，， ∴， 故答案为：(答案不唯一)． 12．如图，是的平分线，为上的一点，于点，，则点到边的距离为 ．    【答案】 【分析】过点P作于点F，再根据角平分线的性质即可得到点P到的距离． 【详解】解：过点P作于点F，    ∵是的平分线，， ∴， ∴点到边的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 13．如图，△ABC ≌ △ADC，∠B＝130°，∠BAC= 35°，则∠ACD＝ °． 【答案】 【分析】由△ABC ≌ △ADC，∠B＝130°，∠BAC= 35°，可得 再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解： △ABC ≌ △ADC，∠B＝130°，∠BAC= 35°， 故答案为：15 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 14．如图，点A、C都在直线l上，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，点E、B、D到直线l的距离分别是6,3,4，计算图中由线段AB、BC、CD、DE、EA所围成的图形的面积是 . 【答案】50 【详解】解：∵AE⊥AB，BC⊥CD ∴∠EFA=∠AGB=90°， ∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°， ∴∠BAG=∠AEF， ∵在△AEF和△BAG中， ∴△AEF≌△BAG，（AAS） 同理△BCG≌△CDH， ∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH， ∵梯形DEFH的面积= ∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50， 故答案为：50． 15．如图，已知，根据“”只需补充条件 就可以判定． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．对应的三边相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ． 故答案为：． 16．如图，等腰中，，，点D为的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，如果在某一时刻与全等，那么 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．根据等边对等角可得，然后表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，，点D为的中点， ∴， 设点P、Q的运动时间为，则， ， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； 当时，， ∵， ∴， ∴． 故点Q的运动速度为． 即或3， 故答案为：2或3． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：BE＝DE． 【答案】详见解析 【分析】根据HL证明Rt△ABC与Rt△ADC全等，利用全等三角形的性质得出∠BAE＝∠DAE，进而利用SAS证明，进而解答即可． 【详解】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴在与中 ， ∴（HL）， ∴∠BAE＝∠DAE， 在与中 ， ∴（SAS）， ∴BE＝DE． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 18．如图，已知，，请用尺规作．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是作三角形，熟练的利用三边分别相等的两个三角形全等是解本题的关键．分别以E、F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点． 【详解】解：如图，即为所求．（作法不唯一，合理即可） 19．如图，为测量河宽，小军站在河岸的O处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后沿所在直线后退到B处（保持之前的姿势），这时他的视点恰好落在O处，同时他让小华测量他此时所站的B处与O处之间的距离为．你能帮忙算出河宽吗？请说明理由． AI 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用，证明即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵B处与O处之间的距离为， ∴河宽． 20．如图，在ABC 中，已知 AD 是BAC 的角平分线，B 64 ，C 36 （1）求DAC的度数； （2）若 DE 平分ADC交AC于E，求CDE 的度数. 【答案】（1）DAC40；（2）CDE 52. 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，根据角平分线的性质可得DAC 的度数；（2）由三角形内角和定理求出，根据角平分线的性质可得CDE 的度数； 【详解】解：（1）∵∠B 64，C 36， AD 是BAC 的角平分线 （2）∵∠DAC 40，C 36， DE平分ADC交AC于E， 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，灵活利用这两点求角度是解题的关键. 21．如图所示，，，，交于点E，． (1)求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质与判定： （1）由全等三角形的性质得到，进而可证明； （2）先由平行线的性质得到，由全等三角形的性质得到，则，即可证明． 【详解】（1）解：， ． ． ． （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ． ． 22．如图，在ABC中，点D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接CE．求证：ABD≌ECD； 【答案】见解析 【分析】由题意易得BD=CD，然后根据“SAS”可判定三角形全等． 【详解】证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD， 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 23．如图所示，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先证，再证，然后由全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】解：证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 24．八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【答案】(1)B (2)C (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理去选择即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可； （3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分． 【详解】（1）解：延长到点，使， ， 在和中， ， ， 故选：B． （2）解：， ， ，，， ， ， 故选：C； （3）证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 25．如图，在平面直角坐标系中，，已知，，，点在第一象限内，，的延长线与的延长线交于点，与交于点． （1）的度数为________． （2）求点的坐标． （3）求证：． 【答案】（1）45°；（2）；（3）见解析. 【分析】(1)根据点A,点B的坐标,得OA=OB,从而得到等腰直角三角形OAB依此计算即可； (2) 过点作轴，垂足为，证明即可； (3)通过证明，实现的目标，问题得证. 【详解】（1）∵，， ∴OA=OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠OBA=45°， 故填45°． （2）∵，∴． 如图，过点作轴，垂足为， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，一线三直角全等模型，坐标与线段的关系，三角形的全等，解答时，能准确找到合适的全等三角形是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$