第三章圆锥曲线单元测试B卷-2024-2025学年上学期高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）（全国通用）

第三章 圆锥曲线单元测试B卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若是直角三角形，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（　　） A． B．t C．2t D．4t 5．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 6．已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 7．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（    ）    A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为 B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为 C．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大 D．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大 10．已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则（    ） A．直线AB的斜率为 B． C． D．为钝角 11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D．为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点，右焦点分别为A，F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为 ． 13．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论： ①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点； ②若球心距O1O2=4，球的半径为，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 . 14．已知A，B分别为抛物线与圆上的动点，抛物线的焦点为F，P，Q为平面内两点，且当取得最小值时，点A与点P重合；当取得最大值时，点A与点Q重合，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于，（不重合）两点，坐标原点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段的中点的横坐标为，求直线的方程； (3)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程. 16．已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 17．已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标． 18．已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19．已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线单元测试B卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若是直角三角形，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意和直角三角形的射影定理可得之间的关系，进而求出离心率． 【详解】解：在直角三角形AFB中，AO⊥BF， 由射影定理可得OA2＝OFOB， 即b2＝ac， 所以 a2﹣c2＝ac， 整理可得e2+e﹣1＝0，解得e＝， 因为e∈（0，1）， 所以e＝， 故选：D． 【点睛】考查椭圆的性质及直角三角形的射影定理的应用，属于基础题． 2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义结合抛物线过焦点的弦长公式即可求得p值，则抛物线方程可求. 【详解】设，，则，即． 又，即，抛物线方程为． 故选：. 3．已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可. 【详解】如图所示 由题意知，解得 记的右焦点为，即， 由双曲线的定义，得，即 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立, 所以的最小值为. 故选：C. 4．若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（　　） A． B．t C．2t D．4t 【答案】B 【分析】设，，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得，可得是直角三角形，再根据可得面积. 【详解】设，，不妨设交点P在第一象限，分别为左右焦点， 则①，②，， 可得①②2：， ∴是直角三角形， ①②：，． 故选：B 5．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立，解得 故 联立，解得 故 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当取等号 的焦距的最小值： 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 6．已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先求，，，再根据，结合余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，不妨设点在上，焦点到直线的距离， ，，，则，， ，所以, 即，得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 7．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值. 【详解】 由双曲线可知： 的周长为. 当轴时,的周长最小值为 故选：C 8．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题. 【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：， 将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为 ，解得，因为，所以 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（    ）    A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为 B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为 C．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大 D．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大 【答案】AC 【分析】根据图中几何关系列方程组求出a，c，然后可得b，可判断AB；分离常数，利用反比例函数的性质可判断CD. 【详解】在椭圆中，由图可知，解得， 所以，所以，A正确，B错误； ，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递增，C正确； ，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递减，D错误. 故选：AC 10．已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则（    ） A．直线AB的斜率为 B． C． D．为钝角 【答案】CD 【分析】由，以及抛物线方程求得,，再由斜率公式判断A；表示出直线的方程，联立抛物线求得，，即可求出判断B；由抛物线的定义求出，即可判断C；由，求得为钝角，可判断D． 【详解】对于A，易得，，由， 则的横坐标为， 代入抛物线可得，即，，则直线的斜率为，故A错误； 对于B：由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，，则，则，代入抛物线得， 解得，则，， 故，故B错误； 对于C,，故C正确； ，，，则为钝角，故D正确． 故选：CD．    11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D．为定值 【答案】ABC 【分析】求得双曲线的渐近线方程判断选项A；求得双曲线的离心率判断选项B；求得的内切圆的圆心与直线的位置关系判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】对于选项A：双曲线的渐近线方程是， 圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去）， 由，，可得双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：由，则离心率，故B正确； 对于选项C：设的内切圆与轴， 分别相切于点，    由圆的切线性质知 ， 即，所以， 因此内心在直线，即直线上，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 又渐近线方程是， 则，， ，则，故D错误. 故选:ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点，右焦点分别为A，F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】＋1 【详解】由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－， 即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1. 13．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论： ①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点； ②若球心距O1O2=4，球的半径为，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【分析】数形结合，利用切线长定理得空间推过可得①正确，结合图形，利用勾股定理可得②正确，根据图形特征可得③错误． 【详解】对于①，设点P为曲线上任一点，连接PF1，PF2，则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点分别为F1，F2，过点P作母线，与两球面分别相交于点K1，K2，则PK1，PK2分别是两球面的切点，切点为K1，K2， 根据切线长定理的空间推广，可知PF1＝PK1，PF2＝PK2，所以PF1+PF2＝PK1+PK2＝K1K2是定值， 故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，故①对； 对于②，OF2＝＝＝1，所以F1F2＝2OF2＝2，故②正确； 对于③，当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，由大变小，b不变，，故离心率由大变小，故③错． 故答案为：①②. 14．已知A，B分别为抛物线与圆上的动点，抛物线的焦点为F，P，Q为平面内两点，且当取得最小值时，点A与点P重合；当取得最大值时，点A与点Q重合，则 . 【答案】 【分析】如图，利用抛物线和圆的几何性质可知，当时取得最小值；当且仅当A为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得最大值.直线、的方程分别联立抛物线方程，求出点、的坐标，结合两点距离公式计算即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 过点A作抛物线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得，则， 当时，取最小值，此时取最小值； 直线的方程为，联立，解得，即， 点到圆上任意一点的距离， 当且仅当为射线与圆的交点，且为线段上的点. 所以， 当且仅当A为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得最大值. 直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于，（不重合）两点，坐标原点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段的中点的横坐标为，求直线的方程； (3)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据椭圆的定义以及之间的关系求出，可得椭圆方程； （2）假设直线方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出直线斜率，进而求出直线方程； （3）利用圆的直径对应的圆周角为，利用向量运算求出直线斜率，进而求出直线方程. 【详解】（1）由已知得，所以. 因为，所以. 所以. 所以椭圆的标准方程为 （2）因为直线过， 当斜率不存在时，直线的方程为，与无交点.    当斜率存在时，设，即. 联立直线的方程与椭圆的方程得方程组， 消去，整理得， 由已知，即， 设，，由韦达定理可知，， 因为线段的中点横坐标为，所以，得. 于是，方程为或者. （3）因为，， 所以. 将，代入上式可得 ，    由题意可知，所以， 即， 解得，即. 方程为或者. 16．已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点坐标，即可得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合韦达定理探讨点的纵坐标的关系即可得解. 【详解】（1）直线与坐标轴的两个交点为，而，则，， 所以椭圆的方程为. （2）设过点的直线为，由题意直线斜率存在， 设方程为，即， 由，消去y得， 整理得， 由 ，得， 设，则， ， 将代入得，直线的方程为， 令得， 则 因此点是线段的中点，所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 17．已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上不同的两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的几何性质，转化为关于的方程，即可求解； （2）首先设点的坐标，由条件转化为关于坐标的关系式，再设直线方程与椭圆方程联立， 【详解】（1）由题意可知，，，则，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设，， 直线的方程为，， 直线的方程为，， 则，，，，， ① ，则， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， ，，② ， ， ，③ 将②③代入①得，， 整理为，即或， 若，则直线为，过点，不符合题意，舍去， 若，则直线为，过原点，此时， 又因为，所以，，代入椭圆方程得，， 则，又， 所以， 所以点的坐标为. 18．已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为椭圆离心率为，则， 点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以，    因为直线和直线关于对称，轴， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， 则， 由题意可知同号，不妨设， 所以， 所以 令 则，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合建立有关参变量的等量关系应用基本不等式求三角形的面积最值即可． 19．已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解； （2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 又，所以. 将点的坐标代入C的方程得，解得， 所以，所以C的方程为. （2）依题意可设PQ：， 由，得,    设，，，则. ，， 则， 而， 所以， 所以是定值，定值为. 【点睛】关键点点睛： （1）本题的关键是根据题目条件得到等式，解方程组； （2）本题的关键是把目标转化成两根之和以及两根之积的形式，然后代入韦达定理化简. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$