第三章圆锥曲线单元测试A卷-2024-2025学年上学期高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）（全国通用）

第三章 圆锥曲线单元测试A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的渐近线过点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 8．已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线的方程为，则（　　） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线为双曲线，其焦距为 10．已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 11．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 14．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 16．双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 17．已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围. 18．已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，． ①求证：为定值； ②求证：直线恒过定点． 19．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为. (1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程； (2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围； (3)当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线单元测试A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【答案】C 【分析】根据题意先求出c的值，根据椭圆方程的标准形式，求出m的值． 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，求出双曲线的渐近线方程. 【详解】根据题意，. 故选：A. 3．已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点的坐标代入方程求出，从而可求出抛物线的方程，进而可求出其准线方程. 【详解】由于抛物线：过点，所以，， 所以抛物线方程为，，， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B. 4．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 5．已知双曲线的渐近线过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出双曲线的渐近线方程，把点代入，即可求出的值. 【详解】由双曲线，可得渐近线为：， 把点代入渐近线方程：，得，解得. 故选：D. 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可. 【详解】    如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误. 故选：D. 7．若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，进而求出直线的斜率，再与渐近线的斜率比较即可得解. 【详解】由双曲线的离心率为，得，则，， 因此点E的坐标为，双曲线C的渐近线斜率为，而直线的斜率， 所以直线OE与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 8．已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据基本不等式求的最小值. 【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F， 所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明）， 所以， 当且仅当时取“=”. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线的方程为，则（　　） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线为双曲线，其焦距为 【答案】AB 【分析】利用的值，判断曲线方程的形状，再判断选项的正误即可． 【详解】对于A：当时，曲线的方程为，表示圆心为坐标原点，半径为的圆，故A正确； 对于B：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故B正确； 对于C：当时满足，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，故C不正确； 对于D：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，故D不正确． 故选：AB 10．已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 【答案】BC 【分析】根据焦距得出判断A，B选项，根据渐近线公式计算判断C选项，联立方程求出点的坐标结合两点间距离公式计算判断D选项. 【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确； 可得，所以的离心率为，所以B正确； 的渐近线为，所以C正确； 联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为， 所以弦长为,D选项错误 故选：BC. 11．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BC 【分析】由题意设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，得，再表示出，则可表示出，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零， 设直线为，， 由，得， 因为， 所以， 所以， 所以， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，所以A错误， 对于B，因为线段的中点为，，则 到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为， 所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C正确， 对于D，因为 ，所以D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 【答案】 【分析】由椭圆的性质，结合两点的距离公式求解． 【详解】已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为， 则， 不妨设，， 则. 故答案为：． 13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为． 故答案为： 14．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆和双曲线方程可得出的表达式，再结合并利用对勾函数性质可求得的最大值为. 【详解】由椭圆可得， 由双曲线可得， 所以， 又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最大值为，当且仅当时，等号成立； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程； （2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 16．双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线的倾斜角可求得点坐标，再利用等边三角形性质可得； （2）求出双曲线方程和直线方程，联立后利用韦达定理即可得两点的横坐标之和为. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得，又； 解得； 由是等边三角形可得，即， 联立解得或（舍）； 所以可得； （2）当时，双曲线方程为，此时 又直线的斜率等于2，所以直线方程为， 不妨设，联立直线和双曲线方程， 整理可得， 显然，由韦达定理可得， 即两点的横坐标之和为. 17．已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点. (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知，将双曲线上的点代入计算即可求得； （2）设，则有，然后利用数量积的坐标运算化简整理为二次函数，利用函数性质求解范围即可. 【详解】（1）由双曲线过点且，故， 故，故的标准方程为； （2）设，则， 因为点在第一象限，所以，且，， 所以， 所以的取值范围是. 18．已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，． ①求证：为定值； ②求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而得到，可得，从而求解； （2）①设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，结合可得，进而求证； ②设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，，再结合即可得证. 【详解】（1）易知直线与x轴交于， 即焦点坐标为， 所以，， 则抛物线方程为． （2）①设直线方程为，，， 联立方程组，得， 所以，又， 所以，即， 则． ②设直线方程为，， 联立方程组，得， 所以，， ． 整理得，，所以直线过定点． 19．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为. (1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程； (2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围； (3)当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“伴随点”的定义，结合点在椭圆上求解即可； （2）根据题意，结合（1）得，进而得，再根据数量积的坐标表示，结合二次函数求解即可； （3）设，，则，，进而根据得，再联立椭圆和直线的方程并结合韦达定理得，最后求弦长与点到直线的距离并求面积即可. 【详解】（1）解：设. 所以，根据“伴随点”的定义，有，则， 又因为， 所以，即. 所以，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为， 因为椭圆上的点的“伴随点”为， 所以，根据“伴随点”的定义与（1）中结论，有，解得， 因为点在椭圆上，所以， 所以，，且， 所以. 因为，，所以， 所以的取值范围是. （3）解：由题意，得椭圆的方程为. 设，，则，. 联立椭圆和直线的方程，得 所以. 由题意，得， 所以，.① 因为为直径的圆经过坐标原点， 所以，即， 所以.② 将①代入②，化简，得. 所以，， 所以. 又因为点到直线的距离， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$