上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期摸底考试数学试题

交大附中2023-2024学年高二摸底考数学试卷2023.09 一. 填空题 1. 若开区间是不等式解集的子集,则实数a的取值范围是 2. 已知复数,则z的共轭复数 3. 若,,则 4. 设集合,,则 5. 若记,则可用a表示为 6. 若不等式对所有实数x恒成立,则实数a的取值范围是 7. 设平面向量,,若与的夹角为钝角,则实数的取值范围是 8. 在 ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,,则 9. 已知复数z满足,且,则复数 10. 设,若对任意,都有,则的最小值为 11. 已知在 ABC中,,,,点O是 ABC的外心,若, 则 12. 设函数是奇函数,当时,,若对任意的, 不等式都成立,则实数a的取值范围是 二. 选择题 13. 下列结论命题中正确的是( ) A. 对任意, B. 对任意且, C. 函数,的最小值是2 D. 函数,无最大值 14. 设m是正整数,,在数列中,“且”是“是数列的最大项”的( )条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 设,函数在区间内的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知向量与的夹角为120 ,且,向量满足(),且, 记向量在、方向上的数量投影分别为x、y,现有两个命题:① 若,则; ② 的最大值为. 则( ) A. ①成立,②成立 B. ①成立,②不成立 C. ①不成立,②成立 D. ①不成立,②不成立 三. 解答题 17. 设,,求函数的最小正周期、单调增区间、最大值以及 取得最大值时相应x的值,并求方程在区间上的解. 18. 设关于x的不等式(常数b、c为实数)的解集为A.(1)若集合,求实数b、c的值; (2)设,,记关于x的不等式的解集为B. 若“”是“”的充分条件,求实数m的取值范围. 19. 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系 (以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里处,如图,现假设:① 失事船的移动路径可视为抛物线;② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③ 救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为. (1)当时,写出失事船所在位置的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 20. 已知点满足,,且点的坐标为. (1)求过点、的直线l的方程; (2)试用数学归纳法证明:对于任意,点都在(1)中的直线l上;(3)试求数列、的通项公式. 21. 设函数是定义域为闭区间(p、q,)的函数,如果存在正常数M,使得对于闭区间的任意划分:(,),不等式都成立, 则称函数为区间上的“有界变差函数”. (1)设,试判断函数是否为 区间上的“有界变差函数”?若是,求出M的最小值;若不是,说明理由; (2)函数与均为区间上的“有界变差函数”,设,求证:函数 是区间上的“有界变差函数”;(3)设,求证:函数不是区间上的 “有界变差函数”. 交大附中2023-2024学年高二摸底考数学试卷解析 成功不必自我,功力必不唐捐! 第 1 页 共 1 页 学科网(北京)股份有限公司 $$