精品解析：广东省广州市白云中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

广州市白云中学2023学年第一学期期中考试 高二数学 命题人：梁健英 审核人：左佳 注意事项： 1.本试卷分全卷满分150分，120分钟内完成，闭卷. 2.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 3.答题前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡相应的位置. 4.全部答案应在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 5.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可. 【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为. 故选：A. 3. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角得斜率，再由点斜式直线方程可得. 【详解】由直线倾斜角为，则斜率， 又直线过， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 4. 在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. l与斜交 【答案】C 【解析】 【分析】 由可得，所以或，即可得正确选项. 【详解】直线l的方向向量为，平面的法向量为， 因为， 所以， 所以或， 故选：C. 5. 两圆与的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，圆与圆， 可得圆心坐标分别为，半径分别为， 则， 所以，可得圆外离， 所以两圆共有4条切线. 故选：D. 6. 在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可求在方向上的投影数量，进而点到直线的距离为，即求. 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∴在方向上的投影数量为， ∴点到直线的距离为. 故选：C. 7. 设，，直线l过点且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，再结合图像，即可得到的取值范围. 【详解】 由题意可得，， 因为直线与线段相交，则或. 所以斜率k的取值范围是. 故选：D 8. 已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解. 【详解】由题知，， 所以 ， 即线段的长为. 故选：C 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 直线与圆C相交 C. 圆C上到直线的距离为1的点共有2个 D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系可判断. 【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误. 故选：BD 10. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面法向量的定义与二面角的定义即可判断答案 【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补， 二面角的大小可能为或. 故选：BC. 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【详解】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 【答案】C 【解析】 【分析】对A：设点，由两点的距离公式代入化简判断；对B：根据两点间的距离公式求得点到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此分析判断. 【详解】对A：设点， ∵，则，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对B：的圆心，半径为， ∵点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确； 对C：设点， ∵，则，整理得， ∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，没有公共点， ∴在C上不存在点M，使得，C不正确； 对D：∵圆心到直线的距离为， ∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确； 故选：C. 【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知，，分别是平面的一个法向量，则三个平面中互相垂直的有________对． 【答案】0 【解析】 【分析】根据面面垂直的空间向量方法只需判断是否垂直，即判断是否等于. 【详解】因为，，， 所以 中任意两个都不垂直，即中任意两个都不垂直． 故答案为： 14. 直线恒过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，再令解得即可. 【详解】解：直线，即， 令，解得，所以直线恒过定点； 故答案为： 15. 过作圆的切线，则其切线方程为____________. 【答案】或 【解析】 【分析】 当过点的直线斜率不存在时，方程是，通过验证圆心到直线的距离，得到符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于的方程，解之得，进而得到直线的方程，最后综合可得答案． 【详解】圆的圆心为，半径为1， （1）当过点的直线垂直于轴时， 此时直线斜率不存在，方程是， 圆心到直线的距离为， 直线符合题意； （2）当过点的直线不垂直于轴时， 设直线方程为，即． 直线是的切线， 点到直线的距离为，解之得， 此时直线方程为． 切线方程为或． 故答案为：或． 【点睛】借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16. 若直线，平行，则与间的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行得出实数满足的等式与不等式，再利用平行线间距离公式即求. 【详解】由于直线与平行， 则， 解得， 所以， ∴与间的距离为. 故答案为： 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知圆O：与直线相切. （1）求圆O的方程； （2）若过点的直线被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知条件利用点到直线的距离公式求出圆的半径，由此能求出圆的方程. （2）直线l被圆O所截得的弦长为4，圆心到直线的距离，分类讨论，即可求直线l的方程； 【小问1详解】 ∵圆O：与直线相切， ∴， ∴圆O的方程为； 【小问2详解】 ∵直线l被圆O所截得的弦长为4， ∴圆心到直线的距离， 斜率不存在时，，满足题意； 斜率存在时，设方程为，即， 圆心到直线的距离，∴， ∴直线l的方程为， 综上所述，直线l的方程为或； 18. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 19. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 20. 一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁． （1）若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的⊙A方程． （2）科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？ 【答案】（1）（x－20）2＋（y－）2＝100 （2）有触礁的风险 【解析】 【分析】（1）过A作y轴垂线，垂足为B，求出圆心（20，），进而求出圆的标准方程. （2）求出航行的直线方程：，根据直线与圆的位置关系即可求解. 【小问1详解】 如图，过A作y轴垂线，垂足为B， 且OA＝40 ∴AB＝20，，圆心（20，） 设圆方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2 ∴（x－20）2＋（y－）2＝100 【小问2详解】 当船向东行驶50海里进B（50，0） 则北偏西30°，直线的倾斜角 则直线方程： 圆心到直线距离 ，有触礁的风险． 21. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）根据点关于直线对称的特征列方程可得，利用直线点斜式方程即可得出结果. 【小问1详解】 由，得直线AB的斜率为，线段中点 所以，直线CD的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆C的方程为； 【小问2详解】 由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心， 设点M关于直线的对称点， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 则有，解得，所以， 所以直线CN即为直线，且， 直线方程为，即. 22. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，. （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）在中，，，，满足，所以， 又，，所以面，又面，所以， 又四边形是边长为的正方形，所以，又，所以面， 又平面，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，满足，可得，再由已知根据线面垂直的判定定理可证得面，再由面面垂直的判定定理可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，，由向量垂直的坐标表示，可求得的值，可得结论. 【详解】（1）略 （2）在线段上存在点，使得，且， 理由如下：由（1）得，以点C为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设，，所以，解得，，，所以，，要使，则需，即，解得，故. 【点睛】 本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定定理，向量垂直的坐标条件，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市白云中学2023学年第一学期期中考试 高二数学 命题人：梁健英 审核人：左佳 注意事项： 1.本试卷分全卷满分150分，120分钟内完成，闭卷. 2.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 3.答题前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡相应的位置. 4.全部答案应在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 5.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. l与斜交 5. 两圆与的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，直线l过点且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 直线与圆C相交 C. 圆C上到直线的距离为1的点共有2个 D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个 10. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（ ） A. B. C. D. 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知，，分别是平面的一个法向量，则三个平面中互相垂直的有________对． 14. 直线恒过定点___________． 15. 过作圆的切线，则其切线方程为____________. 16. 若直线，平行，则与间的距离为___________. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知圆O：与直线相切. （1）求圆O的方程； （2）若过点的直线被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程. 18. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 19. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 20. 一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁． （1）若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的⊙A方程． （2）科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？ 21. 已知圆C过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程． 22. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，. （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $