第一章 特殊的平行四边形（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 特殊的平行四边形（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求菱形的面积，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：菱形的面积为； 故选C． 2．已知是的对角线，要判定为矩形，可添加的一个条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据对角线相等的平行四边形是矩形，判定即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 故选：A． 3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查了菱形和四边形，熟练掌握菱形的性质和四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：菱形的四条边都相等，而矩形的邻边不一定相等， 故选：A． 4．下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定定理，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的定义是解题的关键． 根据正方形的判定定理得出答案． 【详解】正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此可知选． 故选：． 5．下列命题中是真命题的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 D．一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查命题的真假判断．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，此项不符合题意； B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，此项符合题意； C.有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，此项不符合题意； D.一个角为且一组邻边相等的四边形不一定是正方形，此项不符合题意． 故选：B． 6．如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理．先求出得出是等边三角形，再求，最后求用勾股定理求即可． 【详解】解：四边形是菱形， 故是等边三角形 是其对角线 是边的中点, ， , 由 ． 故选：D． 7．如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（    ） A．12 B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接，     四边形是菱形， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：C． 8．如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接、．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③的最小值为2；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】利用正方形的性质，得到，进而证明是等腰直角三角，四边形为矩形，最后用勾股定理得到，故①正确；利用等量代换，把四边形的周长转化为，代入即可得到四边形的周长为8，故②正确；当 时的值最小，求出 ．再由矩形的对角线相等可知，则的最小值为，故③错误；证明，得到，故④正确；先证明，再利用角的等量代换证明两锐角的和为 ，最后得到两条线的夹角为直角，故⑤正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ，， ∵，， ∴ 是等腰直角三角形，四边形为矩形， ∵ ，， ∴，故①正确； ∵ 是等腰直角三角形， ∴， 同理， 四边形的周长，故②正确； 连接，则：， ∵当 时的值最小，， ∴的最小值为；故③错误； ∵， ∴， ∴；故④正确； 如图：过点P作 ，点G为垂足，则，延长 交 于点H，      ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故⑤正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，过作于，由矩形的性质结合折叠的性质得出，推出，由勾股定理得出，再证明四边形是矩形，求出、的长，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：过作于，如图： ∵将矩形折叠，使点和点重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．如图，是菱形的对角线，，点是边上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．连接交于，以为邻边作平行四边形，则，故，即可得到答案． 【详解】解：连接交于，以为邻边作平行四边形， ， ， 故的最小值为， 菱形，，， ， ， ，， 菱形， ， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 11．在矩形中，，对角线与相交于点 O，若，则边 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，先根据矩形性质结合题意证明为等边三角形，求出对角线的长，再利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图： 四边形为矩形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，平面直角坐标系中，长方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，，，，，分别交，于点，，且，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点作，过点作，并延长交延长线于点，设，根据三角形全等得到，则，求出直线解析式，代入点求出，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，并延长交延长线于点，如下图： 则，∴， ∴ 在矩形中，， ∴ ∴四边形为矩形 ∴，， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则， 设直线解析式为 由题意可知，代入得，，解得， 又∵点在直线上，∴ 解得，即 ∴ ∴点坐标为 故答案为 13．如图，已知边长为6的正方形的对角线，交于点O，M，N分别是，边上的点，且，连接，．若，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查正方形性质及应用，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 连接，过作于，由，根据正方形的对称性可知，，，设，则，，根据，得，即可解得，从而由求解 【详解】解：连接，过作于，如图： 由，根据正方形的对称性可知，，， ， ， 设，则， ， ，，， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ； 故答案为：4． 三、解答题（本大题共12小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，且求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定．根据，可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ， ∴， ∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 15．（本题5分）如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)当时，四边形是矩形，详见解析 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，即可得出结论； （2）当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形 16．（本题5分）如图，在等腰中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】题目主要考查线段垂直平分线的作法及等边对等角的性质，理解题意，掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的作法是解题关键． 【详解】解：根据题意作线段的垂直平分线交于点P即为所求． 17．（本题5分）如图，点E与F分别在正方形的边与上，，以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到．已知，，求的长．    【答案】 【分析】先根据正方形的性质得到，，再根据旋转的性质得到，，，于是可判定点在的延长线上，然后证明得到．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ∵将按顺时针方向旋转得到． ，，， 点在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ． 18．（本题5分）如图，菱形的对角线、相交于点，，，过点作于．求的长． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，再根据的面积求出 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 19．（本题6分）如图，在和中，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，连接、、，交于点，且，，，. (1)求证：四边形是菱形； (2)点是的中点，连接，若，，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、、菱形的判定与性质以及直角三角形的斜边中线性质．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，可得，从而得到，然后再证明即可； （2）根据菱形的性质得到，然后根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形. ， ， 四边形是菱形. （2）解：，， ， ， 四边形是菱形， ，即， ， . 20．（本题6分）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，将沿着折叠得到，延长恰好经过点D． (1)求证： ． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，矩形的性质． （1）由已知得，，，得，即可得． （2）由，，先求得，即可得的周长的周长． 【详解】（1）证明：矩形，折叠得到，延长恰好经过点D， ，，， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， 的周长的周长． 21．（本题6分）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形，可得，，由，可得，可证四边形是平行四边形，由，即，可证四边形是矩形； （2）由菱形，，，可得，，，如图，延长到，使，连接，则是的中位线，，由勾股定理得，，，计算求解，进而可求 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形，，， ∴，，， 如图，延长到，使，连接， ∴是的中位线， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， 故答案为：． 22．（本题8分）正方形中，，绕点A旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点N、点M，连接． (1)当绕点A旋转到如图1的位置时，求证：． (2)当绕点A旋转到如图2的位置时，若，，求 的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论； （2）在上截取，连接，证明，得到，进而证明，得到，则． 【详解】（1）证明：如图，在的延长线上，截取，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23．（本题8分）如图①，在四边形中，，，．动点P从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间的函数图象如图②所示． (1)__________； (2)求点P在段上运动时，的面积S与运动时间的函数表达式； (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查了一次函数的应用，矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）由图象利用路程等于速度乘时间即可得到答案； （2）利用矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质求出点F的坐标为，点E的坐标为，利用待定系数法即可求出答案； （3）先求出点G的坐标，利用待定系数法求出点P在段上运动时，的面积S与运动时间的函数表达式，再根据的面积为分别进行求解即可． 【详解】（1）解：从图②看，， 故答案为： （2）过点A作于点H， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ， 由图象可知，当点P运动到点D时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P运动到点D时， ∴由图象可知点F的坐标为， 当点P运动到点A时，， 即点E的坐标为， 点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为，则 ， 解得 ∴点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为 （3）由（2）可知，，， ∴， ∴当点P运动到点C时，，即点G的坐标为， 点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为，则 ， 解得 ∴点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为 当的面积为时，即， 当点P在段上运动时，，解得， 点P在段上运动时，，解得， 即当的面积为时， 或． 24．（本题10分）【问题提出】（1）如图1，在中，，．若，求的长． 【问题解决】（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场．已知，，米，在对角线上有一个凉亭，测得米．按规划要求，需过凉亭修建一条笔直的小路，使得点，分别在边，上，连接，，其中四边形为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在最小面积，四边形的最小面积为平方米． 【分析】（1）由可得，根据，可得，最后根据勾股定理即可求解； （2）先证明，得到，， 米，过点作交于点，过点作交于点，得到，由，可得当，时，和最小，此时最小，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ，即， ； （2）存在最小面积， ，，， ， 又， ，， 米， 过点作交于点，过点作交于点， ，，， ， 当，时，和最小，即，此时最小， 由勾股定理可得：，即， 米， 平方米， 存在最小面积，四边形的最小面积为平方米． 25．（本题12分）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在、的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为________；（填“>”“<”或“=”） （2）如图2，四边形是矩形，点是上一点，连接，过点作交于点，过点作，连接，若，求证：四边形是平行四边形； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图3，，，，．过点作于点，过点作于点，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 【答案】（1）=（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及勾股定理的应用： （1）根据正方形的性质得出，根据证明即可得出结论； （2）由矩形性质得，由可得由可得，故可得四边形是平行四边形； （3）证明四边形是正方形，得出，证明得出再根据勾股定理求出即可 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：=； （2）∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴四边形是平行四边形； （3）∵ ∴ ∴四边形是矩形， 又 ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 过点作于点H， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ 在和中, ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 在中， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊的平行四边形（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为（　　） A． B． C． D． 2．已知是的对角线，要判定为矩形，可添加的一个条件是（   ）． A． B． C． D． 3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 4．下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D．以上都对 5．下列命题中是真命题的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 D．一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 6．如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 7．如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（    ） A．12 B．10 C． D．5 8．如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接、．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③的最小值为2；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为．若，，则的长为 ． 10．如图，是菱形的对角线，，点是边上的动点，且，若，则的最小值为 ． 11．在矩形中，，对角线与相交于点 O，若，则边 的长为 ． 12．如图，平面直角坐标系中，长方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，，，，，分别交，于点，，且，则点坐标为 ． 13．如图，已知边长为6的正方形的对角线，交于点O，M，N分别是，边上的点，且，连接，．若，则线段的长为 ． 三、解答题（本大题共12小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，且求证：四边形是菱形． 15．（本题5分）如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 16．（本题5分）如图，在等腰中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 17．（本题5分）如图，点E与F分别在正方形的边与上，，以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到．已知，，求的长．    18．（本题5分）如图，菱形的对角线、相交于点，，，过点作于．求的长． 19．（本题6分）如图，在和中，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，连接、、，交于点，且，，，. (1)求证：四边形是菱形； (2)点是的中点，连接，若，，求的度数. 20．（本题6分）如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，将沿着折叠得到，延长恰好经过点D． (1)求证： ． (2)若，求的周长． 21．（本题6分）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，则的长为________． 22．（本题8分）正方形中，，绕点A旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点N、点M，连接． (1)当绕点A旋转到如图1的位置时，求证：． (2)当绕点A旋转到如图2的位置时，若，，求 的面积． 23．（本题8分）如图①，在四边形中，，，．动点P从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间的函数图象如图②所示． (1)__________； (2)求点P在段上运动时，的面积S与运动时间的函数表达式； (3)当的面积为时，求的值． 24．（本题10分）【问题提出】（1）如图1，在中，，．若，求的长． 【问题解决】（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场．已知，，米，在对角线上有一个凉亭，测得米．按规划要求，需过凉亭修建一条笔直的小路，使得点，分别在边，上，连接，，其中四边形为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由． 25．（本题12分）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点、分别在、的延长线上，，连接、，则线段与长度的大小关系为________；（填“>”“<”或“=”） （2）如图2，四边形是矩形，点是上一点，连接，过点作交于点，过点作，连接，若，求证：四边形是平行四边形； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图3，，，，．过点作于点，过点作于点，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$