专题03 圆的方程（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（重庆专用）

专题03 圆的方程 圆的方程基础题 1．（23-24高二上·重庆·期中）若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（    ） A．0或2 B．0或 C．0或 D．或2 2．（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为1；丁：该圆经过点.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（23-24高二上·重庆·期中）直线平分圆C：，则（    ） A． B．1 C．-1 D．-3 5．（23-24高二上·重庆万州·期中多选题）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 6．（23-24高二上·重庆·期中）已知方程表示圆，则整数可以是 （答案不唯一，写一个即可）． 7．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切. (1)求定点P的坐标； (2)求圆C的方程. 8．（23-24高二上·重庆南岸·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程； 直线与圆的位置关系及弦长问题 1．（23-24高二上·重庆永川·期中）直线被曲线截得的弦长的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线与相离，则点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）直线与圆相交于M、N两点，若，则等于（    ） A．0 B．-2 C．2或0 D．-2或0 4．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）“直线与圆相切”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．（23-24高二上·重庆万州·期中）直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（23-24高二上·重庆·期中多选题）直线：，圆：，P是圆M上的动点，则（    ） A．过且与直线垂直的直线方程为 B．直线与圆相交 C．点P到直线的距离最大值是5 D．点P到直线的距离最小值是1 7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若为圆的弦的中点，则直线的方程为 ． 8．（23-24高二上·重庆永川·期中）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般方程为 ． 9．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是 ． 10．（23-24高二上·重庆永川·期中）在平面直角坐标系中，圆，四点． (1)若三点的都在圆上，求圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)过点的直线被圆截得的弦长为4，判断这样的直线有几条，并求出直线的方程． 11．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程． 12．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆． (1)求实数的取值范围； (2)若直线被圆C所截得的弦长为，求实数m的值． 13．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆经过点和点，且圆心落在直线上，点是圆上的动点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得的弦长为8，求的最小值； (3)若，，当最大或最小时，求的长. 圆与圆的位置关系及公共弦问题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 2．（23-24高二上·重庆·期中多选题）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的为（    ） A．两圆外切 B．两圆有两条公切线 C．直线的方程为 D．线段的长为 3．（23-24高二上·重庆永川·期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ． 4．（23-24高二上·重庆·期中）圆：与圆：的公共弦长是 圆中的切线相关问题 1．（23-24高二上·重庆·期中多选题）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．过点作直线与圆O交于A，B两点，则范围为 B．过直线上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点 C．圆O与圆有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为 D．圆O上有2个点到直线的距离等于1 2．（23-24高二上·重庆北碚·期中多选题）已知的顶点P在圆C：上，顶点A、B在圆O：上．若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线PA被圆C截得的弦长的最小值为 C．有且仅有一个点P，使得为 D．有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线 3．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中多选题）已知圆，．则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有4条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 4．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中多选题）已知的顶点P在圆C：上，顶点A，B在圆O：上.若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线被圆C截得的弦长的最大值为 C．过P作圆O的切线，则切线长的最小值为 D．不存在这样的点P，使得为等边三角形 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标. 6．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知，，过A，B两点作圆，且圆心在直线l：上． (1)求圆的标准方程； (2)过作圆的切线，求切线所在的直线方程． 圆中的最值范围问题 1．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知点，，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 4．（23-24高二上·重庆北碚·期中）如图，已知直线l：与圆O：相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M、N，直线MN与x轴、y轴分别交于R、T两点，且面积的最小值为，则m的值为（    ）    A．－5 B．－6 C． D． 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 6．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线C，若曲线C与x轴的交点为M，N两点，Q为直线l：上的动点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，直线EF与x轴交点为K，求的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆的方程 圆的方程基础题 1．（23-24高二上·重庆·期中）若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（    ） A．0或2 B．0或 C．0或 D．或2 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离列出关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径. 又圆心到直线的距离为， 所以，即， 所以，所以或. 故选：A. 2．（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为1；丁：该圆经过点.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】假设乙、丙同学结论正确得出圆的方程，利用圆的方程检验甲、丁结论可得解. 【详解】假设乙、丙同学的结论正确， 则该圆的方程为， 代入点，方程不成立，此时甲结论错误， 代入点，方程成立，此时丁的结论正确. 故选：A 4．（23-24高二上·重庆·期中）直线平分圆C：，则（    ） A． B．1 C．-1 D．-3 【答案】D 【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可. 【详解】变形为，故圆心为， 由题意得圆心在上，故，解得. 故选：D 5．（23-24高二上·重庆万州·期中多选题）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AD 【分析】依题意设出圆的一般方程，代入坐标可得圆方程为，由点在圆上即可解得或. 【详解】根据题意可设圆方程为， 将点，，代入可得，解得； 即圆方程为， 又点在圆上，所以，整理得， 解得或. 故选：AD 6．（23-24高二上·重庆·期中）已知方程表示圆，则整数可以是 （答案不唯一，写一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，小于2的整数都可以） 【分析】根据圆的一般式方程即可列不等式求解. 【详解】表示圆，则，解得， 故答案为：1（答案不唯一，小于2的整数都可以） 7．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切. (1)求定点P的坐标； (2)求圆C的方程. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）将分离参数，可得，解方程组，即可求得答案. （2）设出圆的标准方程，由题意列出方程，求得参数，即可得答案. 【详解】（1）直线，即， 由于，故， 即直线过定点. （2）设圆C的方程为， 由题意得圆C经过P点且与x轴正半轴和y轴正半轴都相切， 则且，即， 解得或， 故圆C的方程为或. 8．（23-24高二上·重庆南岸·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程； 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求的垂直平分线方程为，与的交点即圆心，圆心到点的距离即为半径，即可得圆的标准方程. （2）由为线段的中点得到坐标与坐标的关系，代入圆方程可得轨迹方程. 【详解】（1），的中点坐标为，直线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为，即， 联立得，即圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为 （2）设，，因为线段的中点， 所以，则， 因点在圆上运动，所以， 则， 即的轨迹方程为. 直线与圆的位置关系及弦长问题 1．（23-24高二上·重庆永川·期中）直线被曲线截得的弦长的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据圆的性质，结合勾股定理进行求解即可. 【详解】， 所以直线过定点， 又可化为， 因此当圆心与连线垂直于直线时， 直线被曲线截得的弦长最小， 此时最小值为． 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用直线所过的定点以及圆的几何性质. 2．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线与相离，则点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】由题设及点线距离公式有，进而可得即可判断位置关系. 【详解】由题设与直线的距离，即， 所以点在圆内. 故选：A 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）直线与圆相交于M、N两点，若，则等于（    ） A．0 B．-2 C．2或0 D．-2或0 【答案】A 【分析】根据圆的方程及弦长，可以求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，又因为弦长，所以， 即，解得. 故选：A 4．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）“直线与圆相切”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切求的值，进而结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为圆，即，可知圆心为，半径为1， 若直线圆相切， 则，解得或， 又因为是的真子集， 所以“直线与圆相切”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（23-24高二上·重庆万州·期中）直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意可知直线恒过定点，即可求得过该点的最短弦长为，最长弦长为，再利用对称性即可求得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 易知当过点的弦与垂直时，弦长最小，如下图所示：    此时，弦长为； 当弦过圆心时，此时弦长最长为直径，即； 所以长度为整数的弦的取值可以为； 由对称性可知，长度为的弦仅有一条，长度为的弦长各有两条， 即可知长度为整数的弦的条数共条. 故选：D 6．（23-24高二上·重庆·期中多选题）直线：，圆：，P是圆M上的动点，则（    ） A．过且与直线垂直的直线方程为 B．直线与圆相交 C．点P到直线的距离最大值是5 D．点P到直线的距离最小值是1 【答案】BC 【分析】根据直线的位置关系及点斜式方程判断A；由圆心到直线的距离与半径的关系判断B；由点P到直线的距离最大值是判断C；由直线与圆相交可判断D. 【详解】直线：的斜率为， 圆：的圆心，半径， 过且与直线垂直的直线方程为，即，故A错误； 圆心直线：的距离，故直线与圆相交，故B正确； 点P到直线的距离最大值是，故C正确； 直线与圆相交，则点P到直线的距离最小值是0，故D错误. 故选：BC. 7．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若为圆的弦的中点，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质知：，由两条直线垂直，若斜率都存在，则斜率乘积为，求出直线的斜率，根据直线的点斜式写出直线方程即可. 【详解】因为圆，所以圆心坐标为，半径为， 因为是弦的中点，由圆的性质知：， 因为，且，所以 ， 因为在直线上， 所以直线的方程为，即：. 故答案为： 8．（23-24高二上·重庆永川·期中）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般方程为 ． 【答案】 【分析】先求出圆心坐标，再利用过切点的半径与切线垂直求出斜率，最后写出一般方程即可. 【详解】由，可得， 则圆心坐标为，且点在直线上，所以， 则切线的斜率为， 所以切线方程为，即 故答案为： 9．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可得曲线C是以为圆心，1为半径的右半圆，结合图象分析求解. 【详解】由，可得且， 所以曲线是以为圆心，半径为的右半圆， 直线过定点，斜率为，如图，    当直线过时，可得， 当直线与曲线相切时，则， 解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为： 10．（23-24高二上·重庆永川·期中）在平面直角坐标系中，圆，四点． (1)若三点的都在圆上，求圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)过点的直线被圆截得的弦长为4，判断这样的直线有几条，并求出直线的方程． 【答案】(1)在圆上； (2)有两条，或 【分析】（1）设所求圆方程为，将点的坐标代入方程，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，分当的斜率不存在和斜率存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设所求圆方程为， 把三点坐标代入，可得，解得， 所以圆方程是， 把点坐标代入上式，可得，所以点在圆上. （2）解：有两条． 由（1）可知圆，则圆心， 半径，设圆心到该直线的距离为，则，可得， ①当的斜率不存在时，，满足题意 ②当的斜率存在时，设为，则，即， 可得，解得，即 综上：所求直线方程为或. 11．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； （2）讨论直线l斜率存在性，设直线方程，结合点线距离公式及直线与圆的交点个数列方程求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）令，由M为线段的中点，，则， 而A是圆C上一动点，故， 整理得，即， 所以动点M的轨迹方程为.    （2）由（1）知：曲线E的圆心为，半径，且点N在曲线E外， 若直线l斜率不存在，即，显然与曲线E相切，满足； 若直线l斜率存在，设，则到直线l的距离， 所以，此时； 综上，直线l的方程为或. 12．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆． (1)求实数的取值范围； (2)若直线被圆C所截得的弦长为，求实数m的值． 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得. （2）借助直线被圆所截的弦长公式，列式计算即得. 【详解】（1）圆，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，，圆的圆心，半径， 则点到直线的距离， 依题意，，即，解得， 所以实数m的值为4. 13．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆经过点和点，且圆心落在直线上，点是圆上的动点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得的弦长为8，求的最小值； (3)若，，当最大或最小时，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆的标准方程，结合题意，得出圆心和半径，进而得解； （2）由弦长为8，得圆心在直线上，代入得，再结合基本不等式的乘1法即可求； （3）由最大或最小，判断出此时直线与圆相切，即求切线长. 【详解】（1）因为圆心落在直线上，所以设圆心为，半径为， 又圆经过点和点， 则，半径， 解得，所以圆的标准方程为： （2）弦长为，即直线过圆心， 则， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. （3）如图最大或最小时，此时过点的直线与圆相切，    ， 则. 圆与圆的位置关系及公共弦问题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出并验证即得. 【详解】把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线垂直，得，解得， 当时，圆：，即的圆心，半径， 而圆：的圆心，半径， 于是，则圆与圆相交，符合题意， 所以的值为2. 故选：A 2．（23-24高二上·重庆·期中多选题）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的为（    ） A．两圆外切 B．两圆有两条公切线 C．直线的方程为 D．线段的长为 【答案】BD 【分析】对于A：根据题意可得两圆的圆心和半径，进而判断两圆的位置关系为相交；对于B：根据两圆相交分析判断；对于C：根据两圆方程之差即为公共弦所在直线方程，运算求解即可；对于D：利用点到直线的距离公式结合垂径定理求公共弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 圆，即，可知圆心，半径， 对于选项A：因为，则， 所以两圆相交，故A错误； 对于选项B：因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故B正确； 对于选项C：因为两圆相交，则两圆方程之差即为公共弦所在直线方程， 可得直线的方程为，故C错误； 对于选项D：因为到直线的距离， 所以线段的长为，故D正确； 故选：BD. 3．（23-24高二上·重庆永川·期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ． 【答案】 【分析】根据两圆的方程可求公共弦的方程，根据公式可求公共弦长. 【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为， 化简得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为， 其圆心，半径， 圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为． 故答案为：；. 4．（23-24高二上·重庆·期中）圆：与圆：的公共弦长是 【答案】2 【分析】设两圆的交点为，由两圆方程相减可得直线的方程，得直线过，即可得公共弦长． 【详解】设两圆的交点为， 圆：即，圆：， 两圆方程相减可得直线的方程为， 圆：的圆心为，半径， 则直线过，则公共弦长． 故答案为：2． 圆中的切线相关问题 1．（23-24高二上·重庆·期中多选题）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．过点作直线与圆O交于A，B两点，则范围为 B．过直线上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点 C．圆O与圆有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为 D．圆O上有2个点到直线的距离等于1 【答案】AB 【分析】对于A：可知点在圆O内，根据圆心O到过点的直线的距离结合弦长公式分析求解；对于B：作以为圆心，为半径的圆，由题意可知：直线CD为圆与圆的公共弦所在的直线，结合两圆方程分析求解；对于D：根据点到直线的距离公式结合圆的性质分析判断. 【详解】因为圆O的圆心为，半径， 对于选项A：因为，可知点在圆O内， 可得圆心O到过点的直线的距离， 所以，故A正确； 对于选项B：设，则， 可得， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 整理得， 由题意可知：直线CD为圆与圆的公共弦所在的直线， 可得，整理得， 令，解得，所以直线CD必过定点，故B正确； 对于选项C：圆的圆心，半径为， 则， 若圆O与圆有且仅有两条公切线，则， 即，解得， 所以实数r的取值范围为，故C错误； 对于选项D：因为圆心O到直线的距离， 所以圆O上有4个点到直线的距离等于1，故D错误. 故选：AB. 2．（23-24高二上·重庆北碚·期中多选题）已知的顶点P在圆C：上，顶点A、B在圆O：上．若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线PA被圆C截得的弦长的最小值为 C．有且仅有一个点P，使得为 D．有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线 【答案】AD 【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，若，分析的外接圆与圆C的交点个数，判断C，利用射影定理可得进而判断D. 【详解】由题意可知：圆C：的圆心，半径为9， 圆O：的圆心，半径为2， 因为，可知圆O在圆C内， 设线段的中点为， 因为，则，且，      对于选项A：设点到直线的距离为， 则， 所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15， 所以的面积的最大值为，故A正确； 对于选项B：点到直线的距离小于等于，当时，等号成立， 且的最大值为7， 所以点到直线的距离的最大值为7， 此时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误； 对于选项C：设的外接圆的圆心为，半径为， 若，则，， 可知， 因为P在圆C上，，当且仅当四点共线时成立， 且，可知此时圆与圆C相交， 此时有2个点，使得，故C错误； 对于选项D，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得， 当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确； 故选：AD. 3．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中多选题）已知圆，．则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有4条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ABD 【分析】根据圆心距与半径间的关系判断各项圆与圆的位置关系，结合点线距离与半径大小判断直线与圆的关系，相交情况下两圆作差求公共弦方程. 【详解】由题设且半径，且半径，故， 当时，，即两圆相离，故有4条公切线，A对； 当时，是圆切线，又到的距离为，即是圆的切线，B对； 当时，，即两圆相离，C错； 当时，，即两圆相交，故有公共弦， 将两圆方程作差得，整理得，即为，D对. 故选：ABD 4．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中多选题）已知的顶点P在圆C：上，顶点A，B在圆O：上.若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线被圆C截得的弦长的最大值为 C．过P作圆O的切线，则切线长的最小值为 D．不存在这样的点P，使得为等边三角形 【答案】AC 【分析】首先设点到直线的距离为，利用几何图形得到不等关系，即可求解点到距离的最大值，即可判断A； 利用直线与圆的位置关系，结合弦长和切线长公式，即可判断BC； 利用为等边三角形，转化为判断是否存在点，满足，利用与圆有关的最值问题，即可判断D. 【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，， 所以，且， A.设点到直线的距离为，则， 所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确； B.点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为，所以点到直线的距离的最大值为7，这是直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误； C.如图，过点作圆的切线，连结，，，的最小值为， 所以的最小值为，故C正确； D.若为等边三角形，则需，， 因为,所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以， 又的最小值为4，所以，当且仅当四点共线时成立， 因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故D错误. 故选：AC 【点睛】思路点睛：本题考查点与圆，直线与圆，圆与圆，以及轨迹和最值的综合应用问题，D选项是本题的难点，需转化为判断点与点的轨迹的位置关系问题. 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据圆上的两个已知点求得其对称轴，联立方程求得圆心，利用两点距离公式，可得答案； （2）根据题意，作图，结合切线的性质以及动点与直线的性质，可得答案. 【详解】（1）由与，则直线的斜率，其中点坐标为， 所以的对称轴为直线，易知圆心在直线上， 联立，解得，则，半径， 所以圆的标准方程为. （2）根据题意，作图如下： 由图可知：四边形的面积为，且，， 在中，，因为，所以当最小时，最小， 当时，最小，此时最小，此时，， ，所以四边形面积的最小值为， 由直线，则其斜率， 直线的斜率，则直线的方程为，整理可得， 联立，解得，则. 6．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知，，过A，B两点作圆，且圆心在直线l：上． (1)求圆的标准方程； (2)过作圆的切线，求切线所在的直线方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）分类讨论切线斜率存在与否，再利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可得解. 【详解】（1）依题意，设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，， 若所求直线的斜率不存在，则由直线过点，得直线方程为， 此时圆心到直线的距离，满足题意； 若所求直线的斜率存在，设斜率为， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为，即. 综上，切线方程为或. 圆中的最值范围问题 1．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质可得，求点关于直线对称的点为，结合对称性分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆的圆心，半径， 则， 即， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即，    因为，则， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知曲线为以为圆心，半径的上半圆，，根据圆的性质结合图形分析求解. 【详解】因为整理得， 表示以为圆心，半径的上半圆， 设，则，如图所示：    当三点共线时，取到最小值， 当为半圆的右端点时，取到最大值， 即，则， 所以的取值范围是. 故选：C. 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知点，，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求出点的轨迹，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答. 【详解】令点，则，于是，即点P的轨迹是直线：，圆的圆心，半径，而点Q在圆C上，则，    因此，令点C关于直线对称点，，则有，解得，，即， 因此，当且仅当点P，O，共线，且点O在线段上时取等号， 直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点，所以当点P与重合时，，. 故选：D 4．（23-24高二上·重庆北碚·期中）如图，已知直线l：与圆O：相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M、N，直线MN与x轴、y轴分别交于R、T两点，且面积的最小值为，则m的值为（    ）    A．－5 B．－6 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系得到，设出，得到，作出辅助线，得到四点共圆，由几何关系求出圆的方程，从而求出相交弦方程，得到的面积，配方得到其最值，得到方程，得到答案. 【详解】直线l：与圆O：相离， 故，解得， 设， 点P在直线l上运动且位于第一象限，故， 连接，则⊥，⊥， 则四点共圆，且为直径， 其中圆心为，半径为， 故所在圆的方程为， 化简得， 与相减得到直线MN的方程， 即， 令得，令得， 因为，所以，故，， 故的面积为， 因为，所以当时，的面积取得最大值，最大值为， 故，所以. 故选：A 【点睛】过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设P点坐标为，根据题意结合两点间距离公式运算求解； （2）方法一：根据数量积的运算律分析可得，结合两点间距离公式可得，再根据点的轨迹结合圆的性质分析求解；方法二：分类讨论直线MN的斜率是否存在，设直线MN的方程为，，联立方程，根据向量的坐标运算结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设P点坐标为， 由可得，化简得， 所以C的轨迹方程为. （2）因为表示圆心为，半径为2，的圆， 且，则点A的直线与C必相交， 法一：设MN的中点为， 因为，则点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆， 则 ， 又因为表示点到定点的距离的平方，即， 可知，所以； 法二：当直线MN的斜率不存在时，不妨取， 此时； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为， 联立方程，整理得， 设，则， 因为， 则 ， 因为，则，可得，所以； 综上所述：． 6．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线C，若曲线C与x轴的交点为M，N两点，Q为直线l：上的动点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，直线EF与x轴交点为K，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据列式，再化简即可； （2）设的直线方程，与圆联立方程，列出根与系数关系，再列出直线，的方程，求得Q点纵坐标构建方程，代入韦达定理，求得参数，算出直线必过点，再用几何法求得最短弦即可. 【详解】（1）设动点坐标， 因为动点P满足，且，， 所以， 化简可得，，即， 所以点P的轨迹方程为. （2）曲线C：中，令，可得， 解得或，可知, 当直线为斜率为0时，即为直径，长度为8， 当直线为斜率不为0时， 设的直线方程为， 联立消去可得：， 化简可得； 由韦达定理可得，    因为， 所以，的斜率为， 又点在曲线C上，所以, 可得， 所以， 所以，的方程为，， 令可得， 化简可得；， 又在直线上，可得，， 所以， 化简可得；， 又， 代入可得， 化简可得， ， ，所以或， 当时为，必过，不合题意， 当时为，必过， 又即为圆的弦长， 所以当直径时弦长最小， 此时半径圆心到直线的距离为 综上，的最小值. 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