专题01 空间向量与立体几何（三大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（重庆专用）

专题01 空间向量与立体几何 空间向量线性运算 1．（23-24高二上·重庆大渡口·期中）如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期中多选题）下列说法正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．已知，则在上的投影向量为 C．若，则四点共面 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（    ） A．直线直线 B．若，则平面 C． D．若，则 空间向量坐标运算 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）若，，三点共线，则（    ） A．4 B．-2 C．1 D．3 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知空间向量，若，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 3．（23-24高二上·重庆·期中多选题）在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．异面直线、的夹角余弦值为 4．（23-24高二上·重庆江津·期中多选题）已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·重庆南岸·期中多选题）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若直线l的方向向量，平面α的法向量，则∥； B．若平面α，β的法向量分别为，则； C．若平面α经过三点，向量是平面α的法向量，则； D．若点，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为 空间向量的综合运用 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 3．（23-24高二上·重庆·期中）正方体中，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆永川·期中多选题）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（    ） A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．点到直线的距离为 5．（23-24高二上·重庆·期中多选题）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 6．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中多选题）如图，已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，则（    ）    A．与是异面直线 B．与EF所成角的大小为 C．与平面所成角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 空间向量解答题 1．（23-24高二上·重庆·期中）如图所示，在三棱锥中，． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值． 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知，如图（1）在五边形中，，，，，，现将沿折起得到图（2），且使得平面平面，在线段上.      图（1）                图（2） (1)若，求证：平面； (2)若，当为何值时，平面和平面夹角的余弦值为. 3．（23-24高二上·重庆永川·期中）如图，在多面体中，平面平面，平面和均为正三角形，为线段的中点． (1)求证：面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 4．（23-24高二上·重庆·期中）如图，A，C在以为直径的球上，，M是的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 5．（23-24高二上·重庆·期中）如图正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点F.    (1)求证：F是的中点； (2)求点D到平面的距离. 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，.点E，F，G分别为线段，，的中点.    (1)求证：. (2)若，为线段上一点（不含端点），求二面角正弦值的取值范围. 7．（23-24高二上·重庆南岸·期中）直三棱柱中，，D为线段AB上一动点．    (1)当D为线段AB的中点时．证明：平面 (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值 8．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图1，四边形ABCD是梯形，，，点M在AB上，，将沿DM折起至，如图2，点N在线段上．    (1)若，求证：平面平面； (2)若，平面DNM与平面CDM夹角的正弦值为，求值． 9．（23-24高二上·重庆·期中）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)当为钝角时，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 空间向量线性运算 1．（23-24高二上·重庆大渡口·期中）如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以，又点为的中点，所以， 所以 . 故选：A 2．（23-24高二上·重庆·期中多选题）下列说法正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．已知，则在上的投影向量为 C．若，则四点共面 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】AD 【分析】由向量加法法则判断A；由投影向量的定义求在上的投影向量判断B；根据向量共面的推论判断C；设在基底下的坐标为，应用向量的坐标表示及已知求对应坐标判断D. 【详解】A：，对； B：在上的投影向量为，错； C：由，而，故四点不共面，错； D：设在基底下的坐标为，则， 而在单位正交基底下的坐标为， 所以，即在基底下的坐标为，D对. 故选：AD 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（    ）    A．直线直线 B．若，则平面 C． D．若，则 【答案】C 【分析】A选项，根据空间向量计算出，得到，A正确；B选项，作出辅助线，证明出平面，得到，根据得到为直角三角形，即，结合，证明出线面垂直；C选项，根据空间向量基本定理得到；D选项，利用空间向量计算出，从而得到. 【详解】对于A，因为，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，所以，A正确， 对于B，连接，    由选项A知， 因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，由于， 所以， 所以为直角三角形，即，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 所以B正确， 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以，所以，所以C错误， 对于D，设，，因为在菱形中，， 所以， 因为， 所以 ， 所以，所以D正确， 故选：C 空间向量坐标运算 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）若，，三点共线，则（    ） A．4 B．-2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标运算，求出即可. 【详解】若，，三点共线， 由，，则有，得， 解得，所以. 故选：D 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知空间向量，若，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】直接由数量积的坐标公式进行运算即可. 【详解】由题意， 所以由数量积的坐标公式有， 解得，即的值为. 故选：B. 3．（23-24高二上·重庆·期中多选题）在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．异面直线、的夹角余弦值为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；利用线线角的向量求法计算判断D. 【详解】由，，得不共线，因此直线与平面不垂直，A错误； 由，，得，即，直线，B正确； 由，，得，即，则，C错误； 由，，得， 因此异面直线、的夹角余弦值为，D正确. 故选：BD 4．（23-24高二上·重庆江津·期中多选题）已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答. 【详解】向量，，则，A正确； 显然，B正确； 由数量积的定义得，C错误； 显然，则，即有，D错误. 故选：AB. 5．（23-24高二上·重庆南岸·期中多选题）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若直线l的方向向量，平面α的法向量，则∥； B．若平面α，β的法向量分别为，则； C．若平面α经过三点，向量是平面α的法向量，则； D．若点，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为 【答案】BC 【分析】对于A：通过计算以及线面平行的判定来判断；对于B：通过计算来判断；对于C：通过计算以及来得答案；对于D：求出对称点，然后利用距离公式计算． 【详解】对于A：，则， 又直线l可能在平面α外，也可能在平面α内，故∥或，A错误； 对于B：，则，B正确； 对于C：，向量是平面α的法向量， 则，解得，，C正确； 对于D：点C是A关于平面yOz的对称点，且，得, 则，D错误． 故选：BC． 空间向量的综合运用 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长交于点P，根据平面基本定理，即可作出过E，F，G三点的平面与的交点H，作，推出，再作，即可推出，即可求得答案. 【详解】由题意，即G为靠近C的四等分点，F为CD的中点， 如图，延长交于点P，则平面，平面， 又平面，连接EP，则平面，而平面， 显然不平行，则二者相交，交点即为过E，F，G三点的平面与的交点H， 作，交于M，F为CD的中点， 则≌，则，结合，则， 由于，故， 作，交于N，则， 而E为AB的中点，即，故， 又，故，即， 故选：C 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为, 设外接球球心为，则， 则 , 由于点在正方体表面上运动， 故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为， 所以的最小值为， 故选：B. 3．（23-24高二上·重庆·期中）正方体中，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为2， 则， 则， ， 则异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A. 4．（23-24高二上·重庆永川·期中多选题）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（    ） A．四面体是鳖臑 B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式和距离公式，准确运算，逐项判定，即可求解. 【详解】以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 对于A中，， 因为， 所以， 即， 所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确； 对于B中，， 则与所成角的余弦值为， 所以B正确； 对于C中，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则点到平面的距离为，所以C错误； 对于D中，由，直线方 向上的单位向量是， 则到的距离为，所以D正确. 故选：ABD. 5．（23-24高二上·重庆·期中多选题）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：，故A为真命题； 对于选项B：根据向量的定义可知，，但向量的方向无法确定， 所以不一定成立，故B为假命题； 对于选项C：根据向量相等的定义可知：若，，则，故C真命题； 对于选项D：在正方体中，，且方向相同， 所以，故D为真命题. 故选：ACD. 6．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中多选题）如图，已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，则（    ）    A．与是异面直线 B．与EF所成角的大小为 C．与平面所成角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】AD 【分析】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线”可知A正确；作出异面直线所成的角判断B，建立空间直角坐标系，向量法判断CD. 【详解】对A，因为在平面外，在平面内，在平面内，所以与是异面直线，故A正确； 对B，由中点知，,又，所以，即为与EF所成的角，在等边中，，故B错误； 以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，， ，，， ， 由题意可知，平面的法向量可取，， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为，故C错误； 又， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 设平面的法向量， 则，令，可得， 则，又因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：AD． 空间向量解答题 1．（23-24高二上·重庆·期中）如图所示，在三棱锥中，． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)8；(2) 【分析】（1）先根据已知以及线面垂直的判定定理得出平面.进而根据已知得出.然后即可根据等体积法以及锥体的体积公式得出答案； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面以及平面的法向量，根据向量法即可得出答案. 【详解】（1）由题有，则. 同理，有. 因为，平面，平面，， 所以平面. ，是AC的中点． 又，则. 又， 所以，，. 则，所以. . （2）由（1）知， 故以P为原点，为x轴，为y轴，PC为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则． 易知，平面PBC，故平面PBC的一个法向量为． 又，， 设平面ABC的一个法向量为， 则，取，则为平面ABC的一个法向量. 则. 设所求二面角的平面角为，由图象可知，为锐角， 则， 所以，. 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知，如图（1）在五边形中，，，，，，现将沿折起得到图（2），且使得平面平面，在线段上.      图（1）                图（2） (1)若，求证：平面； (2)若，当为何值时，平面和平面夹角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）连接，连接，利用线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面角的求解方法，求出值即可. 【详解】（1）连接，连接，由，，得， 由，得，则，而平面，平面， 所以平面.    （2）由平面平面，平面平面，，得平面， 在平面内过作，显然射线两两垂直， 以点为原点，射线分别为轴的非负半轴，建立空间直角坐标系， 由，，， 得， 由，得，，， 令平面的一个法向量为，则，取，得， 令平面的一个法向量为，则，取，得， 由平面和平面夹角的余弦值为，得， 于是，解得， 所以当时，平面和平面夹角的余弦值为. 3．（23-24高二上·重庆永川·期中）如图，在多面体中，平面平面，平面和均为正三角形，为线段的中点． (1)求证：面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）先利用面面垂直推出线面垂直，再由线面垂直的性质推出线线平行，继而推得线面平行； （2）通过构建空间直角坐标系，求得相关点的坐标，相关平面的法向量坐标，最后利用空间向量夹角公式求得两平面所成的锐二面角余弦值. 【详解】（1） 如图，取中点，连接，在正和正中，， 则，而平面平面， 平面平面平面，平面， 于是平面,平面，又平面，故有， 而．因此四边形是平行四边形，则， 又面面，从而面. （2）由（1）知，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则, 因，设平面的一个法向量为， 则，令，得. 因,设平面的一个法向量为， 则令，得. 于是， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 4．（23-24高二上·重庆·期中）如图，A，C在以为直径的球上，，M是的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）取的中点，可知为外接圆的圆心，由题意得M是球心，则面，进而得结论； （2）以为原点，以所在直线分别为轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）取的中点，又，则为外接圆的圆心， ∵A，C在以为直径的球上，M是的中点，则M是球心，三角形的外接圆为球的截面小圆， ∴面，又面， ∴平面平面. （2）以为原点，以所在直线分别为轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， ∵，，，∴，则， ∵，∴， 则， ∴, 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， ∴， 则平面与平面夹角的余弦值. 5．（23-24高二上·重庆·期中）如图正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点F.    (1)求证：F是的中点； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)证明过程见解析；(2) 【分析】（1）作出辅助线，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到，结合E是棱的中点，得到结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间向量求解出点到平面的距离. 【详解】（1）连接， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 又， 所以四边形为平行四边形， 故， 故， 又E是棱的中点， 所以F是的中点.    （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，得，故，    点D到平面的距离为. 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，.点E，F，G分别为线段，，的中点.    (1)求证：. (2)若，为线段上一点（不含端点），求二面角正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用勾股定理的逆定理，线面垂直的判定、性质推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角余弦的函数关系并求出其范围，再利用同角公式求出正弦值的范围即可. 【详解】（1）在中，由，，，得，则， 在中，由，，，得，则， 而平面，于是平面，又平面，则， 而G，F分别为，中点，即有，又，则. 又平面，因此平面，而平面， 所以. （2）由（1）知，直线两两垂直，以原点，分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，    则， ，由，得，令，而，则， 设平面法向量，， 则，取，得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，得， 设二面角为，则， 令，则， 因此，， 所以二面角的正弦值的取值范围为. 7．（23-24高二上·重庆南岸·期中）直三棱柱中，，D为线段AB上一动点．    (1)当D为线段AB的中点时．证明：平面 (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理可得，从而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即可得解. 【详解】（1）连接，交于点，连接，如图， 四边形为平行四边形，为的中点， 又为的中点，， 平面，平面，平面. （2）因为， 所以，故， 又在直三棱柱中，平面， 则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 设，由得：，即， 解得，，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 又，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.   . 8．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图1，四边形ABCD是梯形，，，点M在AB上，，将沿DM折起至，如图2，点N在线段上．    (1)若，求证：平面平面； (2)若，平面DNM与平面CDM夹角的正弦值为，求值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）取中点，得，再根据线面垂直可得平面，根据面面垂直的判定定理分析证明； （2）建立空间直角坐标系，设，求两个平面的法向量，根据向量夹角公式运算求解. 【详解】（1）取中点，连接， 因为为等边三角形，则， 且，平面，平面， 由平面，所以， 又因为，所以， 且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）由题意可得：， 且， 所以， 可得，而， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 设， 则，可得， 得， 所以， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则，可得， 由题意可知：平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则 则，即， 解得，或（舍去）. 所以. 9．（23-24高二上·重庆·期中）如图，设为正方体，动点在对角线上，记．    (1)证明：； (2)当为钝角时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明； （2）显然不是平角，则为钝角时有，解得不等式即可． 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    设正方体的棱长为1，则； ， 因为，所以， 所以， 所以，所以． （2），， 与是异面直线，显然不是平角， 则为钝角，有，解得． 所以的取值范围为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$