第十三章 轴对称易错训练（单元复习 6类易错）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十三章 轴对称易错训练 01 易错总结 目录 易错题型一　线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错 1 易错题型二　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 9 易错题型三　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 13 易错题型四　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 15 易错题型五　等腰三角形中与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 22 易错题型六　等腰三角形中与新定义型问题结合没有分类讨论产生易错 25 02 易错题型 易错题型一　线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错 例题：（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先证明，可得，再根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】证明：连接，    ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴点D在的平分线上． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】 此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】证明：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （2）∵， ∴， ∵， ∴ 3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)直接写出的度数 ； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到,然后根据即可解答； （2）如图：过点分别作于，与，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图：过点分别作于，与，      ∵平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：∵， ∴， 即，解得， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 4．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【发现】如图1，，为的中点，平分，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：垂直平分线段； 【拓展】如图2，，和的平分线和相交于点，过点的直线与，分别相交于点，（点，在的同侧）． （3）判断是否为线段的中点，并说明理由； （4）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）E为线段的中点，理由见解析；（4）6 【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质； （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）根据题意证得，得，根据线段垂直平分线的性质即可判定； （3）过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，有．作于点P，由角平分线的性质可得，证得，即可求证；（4）因为和，有，根据，得到即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴． 又∵，平分， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是的平分线； （2）∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A，E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段； （3）E为线段的中点； 理由：过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，如图， ∵， ∴． 作于点P，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ∴， ∴， ∴E为线段的中点； （4）在和中， ， ∴， 则 同理可证，则 ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴． 易错题型二　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 例题：（23-24八年级上·安徽·单元测试）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（   ） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，熟练掌握等边三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义得到三边长，再根据三角形的三边关系判断是否成立即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：当为腰长时， 三角形的三边长为， ，不能构成三角形，故舍去， 当为腰长时， 三角形的三边长为，符合三角形的三边关系， 故周长为：， 故选C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东泰安·期末）若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．6或12 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 先求方程组的解，再分腰长为2，底边长为4时，腰长为4，底边长为2时，两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当腰长为2，底边长为4时，则三角形三边为2，2，4，不能组成三角形，不符合题意； 当腰长为4，底边长为2时，则三角形三边为4，4，2，能组成三角形，符合题意， ∴三角形的周长为， 故选B． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则它的周长是 ． 【答案】24 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键． 分①腰长为和②腰长为两种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系即可得． 【详解】解：①当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以满足三角形的三边关系， 所以此时它的周长为； ②当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以不满足三角形的三边关系，不能构成三角形； 综上所述，这个等腰三角形的周长为， 故答案为：24． 3．（23-24八年级下·江西九江·期中）已知一等腰三角形的两边x，y满足，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】20 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 先根据非负数的性质列式求出、的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 4是腰长时，三角形的三边分别为、、， ∵， ∴不能组成三角形； 4是底边时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形， 周长． 所以，三角形的周长为20． 故答案为：20． 4．（22-23八年级上·河南商丘·期中）一个等腰三角形的周长是，且底边、腰长相差，求这个三角形的各边长． 【答案】，， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设腰长为，则底边长，根据“底边、腰长相差”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设腰长为，则底边长， 根据题意得：或， 解得：或， 当时，这个三角形的各边长分别为； 当时，这个三角形的各边长分别为，此时，不能够成三角形，舍去； 综上所述，这个三角形的各边长分别为． 5．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若关于x，y的两个方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)若m，n是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值. （1）联立两方程组中不含，的方程组成方程组，求出方程组的解即可； （2）把与的值代入含, 的方程求出, 的值，即可求出周长. 【详解】（1）解：联立得: 解得： ； （2）把 代入得： 解得： 若为腰，为底，则三角形三边长为，周长为， 若为底，为腰，则三角形三边长为，，, 由于,故不能构成三角形， 综上，等腰三角形的周长为. 6．（22-23七年级下·四川眉山·期末）已知关于x、y的方程组与的解相同． (1)求a、b的值； (2)如果a、b是等腰三角形的两边，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件、同解方程组 【分析】（1）由题意与的解相同，可得方程组，解出x和y，即可求出a，b的值； （2）根据等腰三角形的性质以及构成三角形的条件即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与的解相同， ∴方程组与、的解相同， 解方程组，得：， 将代入，得：， 解得：． 将代入，得：， 解得：． ∴，． （2）当a、b分别是等腰三角形的底和腰时，，， 此时等腰三角形的周长为：， 当a、b分别是等腰三角形的腰和底时，，， ∵， 此时无法构成三角形，此种情况舍去， 即等腰三角形的周长为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、等腰三角形的性质以及构成三角形的条件等知识，掌握二元一次方程组解相同的含义构成新的二元一次方程组是解答本题的关键． 易错题型三　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 例题：（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】①当和是两个底角时， ， 解得， 则底角为， 顶角为：； ②当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为； ③当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为． 综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或， 故答案为：或或 巩固训练 1．等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键． 2．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】或或 【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，顶角是； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，顶角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，顶角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 易错题型四　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 巩固训练 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、，在坐标轴上找一点，使为等腰三角形，则这样的点有 个． 【答案】7 【知识点】等腰三角形的定义、坐标与图形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质．根据等腰三角形两腰相等，分别以、为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形． 【详解】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点可以找到7个． 故答案为：7． 2．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： 秒； 当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， 秒； 综上所述：当点在边上运动时，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是 s．    【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】分点P在O点左边及右边两类讨论，根据等腰列式求解即可得到答案； 【详解】解：①当点P在O点左边时，设时间为t，    ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，解得， 当点P在O点右边时，设时间为t，    ∵，是等腰三角形， ∴， ∴，解得： 故答案为：或； 【点睛】本题考查动点围城等腰三角形问题，解题的关键是注意分类讨论列等式求解． 4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，直线，交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，且始终位于直线的上方，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则 ．    【答案】或或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用 【分析】根据题意，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，要使为等腰三角形需分三种情况讨论：    ①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上，的度数是或或． 故答案为：40或70或100． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，分类讨论是解题的关键． 5．在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 【答案】或9或3 【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可． 【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°， ∴， ∴， 当点P在线段AB上时，如图， ∵， ∴∠BPC=90°，即PC⊥AB， ∴； 当点P在AB的延长线上时， ∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB， ∴∠CPB=30°， ∴∠CPB=∠PCB， ∴PB=BC=3， ∴AP=AB+PB=9； 当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图， ∴， ∵， ∴∠APC=60°， ∴∠ACP=60°， ∴∠APC=∠PAC=∠ACP， ∴△APC为等边三角形， ∴PA=AC=3． 综上所述，的长为或9或3． 故答案为：或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键． 易错题型五　等腰三角形中与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 例题：（22-23八年级上·山东济宁·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角性质，当等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况分析即可，熟练掌握等腰三角形的性质及理解分类讨论思想的应用是解题的关键． 【详解】当等腰三角形的顶角为锐角时，过作于点，如图所示， ∴， ∵， ∴； 当等腰三角形的顶角为钝角时，过作，交延长线于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等，理解图形的基本性质是解题关键． 根据等腰三角形的性质以及中垂线的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：①如图1所示，当顶角为锐角时， 由题意，， ； ②如图2所示，当顶角为钝角时， 由题意，， ； 故答案为：或． 2．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则顶角的大小为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查线段垂直平分线的定义、直角三角形的两锐角互余，分为锐角和为钝角两种情况，根据题意画出图形，利用直角三角形的两锐角互余分别求解即可． 【详解】解：若为锐角，的垂直平分线交于M，交于N，如图， 则，， ∴； 若为钝角，的垂直平分线交于M，交延长线于N，如图， 则，， ∴， ∴， 综上，顶角的大小为或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】分情况讨论： 如图，，， ∵，， ∴， ∴，即顶角为， 如图，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即顶角为， 如图， 同理可得， ∴，即顶角为， 综上可知：顶角度数为或或． 易错题型六　等腰三角形中与新定义型问题结合没有分类讨论产生易错 例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 巩固训练 1．定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设等腰三角形的顶角为，则底角为，分两种情况：当顶角为底角的2倍时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可． 【详解】解：设等腰三角形的顶角为，则底角为， 当顶角为底角的2倍时，， 解得：； 当底角为顶角的2倍时，， 解得：； 综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是或，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论． 2．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【知识点】等腰三角形的定义、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为，底长为，分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为． （1）当时，分两种情况： ①若，解得． 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． （2）当时，分两种情况： ①若，解得， 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． 综上所述，的周长为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称易错训练 01 易错总结 目录 易错题型一　线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错 1 易错题型二　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 9 易错题型三　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 13 易错题型四　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 15 易错题型五　等腰三角形中与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 22 易错题型六　等腰三角形中与新定义型问题结合没有分类讨论产生易错 25 02 易错题型 易错题型一　线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错 例题：（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．    巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分． 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)直接写出的度数 ； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． 4．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【发现】如图1，，为的中点，平分，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：垂直平分线段； 【拓展】如图2，，和的平分线和相交于点，过点的直线与，分别相交于点，（点，在的同侧）． （3）判断是否为线段的中点，并说明理由； （4）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是___________． 易错题型二　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 例题：（23-24八年级上·安徽·单元测试）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（   ） A．15 B．20 C．25 D．20或25 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东泰安·期末）若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．6或12 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则它的周长是 ． 3．（23-24八年级下·江西九江·期中）已知一等腰三角形的两边x，y满足，则该等腰三角形的周长为 ． 4．（22-23八年级上·河南商丘·期中）一个等腰三角形的周长是，且底边、腰长相差，求这个三角形的各边长． 5．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若关于x，y的两个方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)若m，n是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 6．（22-23七年级下·四川眉山·期末）已知关于x、y的方程组与的解相同． (1)求a、b的值； (2)如果a、b是等腰三角形的两边，求该等腰三角形的周长． 易错题型三　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 例题：（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 巩固训练 1．等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 2．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 易错题型四　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、，在坐标轴上找一点，使为等腰三角形，则这样的点有 个． 2．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 3．（23-24八年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，，A是BO的延长线上一点，，动点P从点A出发，沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，若点P、Q同时出发，当是等腰三角形时，移动的时间是 s．    4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，直线，交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，且始终位于直线的上方，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则 ．    5．在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 易错题型五　等腰三角形中与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 例题：（22-23八年级上·山东济宁·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 2．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则顶角的大小为 ． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为 ． 易错题型六　等腰三角形中与新定义型问题结合没有分类讨论产生易错 例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 巩固训练 1．定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$