专题03 有理数的混合运算的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（湘教版2024）

专题03 有理数的混合运算的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、有理数乘除混合运算 2 类型二、含乘方的有理数的混合运算 3 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 4 类型四、有理数的混合运算的实际应用 7 压轴能力测评（10题） 10 解题知识必备 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 3.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 4.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 压轴题型讲练 类型一、有理数乘除混合运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：. 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查有理数乘除法混合运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解： 【变式训练1】（23-24七年级下·吉林·开学考试）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解，掌握有理数的乘除 运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数加法运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式先计算括号中的加法运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】解： ． 【变式训练3】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： 类型二、含乘方的有理数的混合运算 例题：（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）计算： ． 【答案】8 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，去绝对值，幂的运算，正确运用相关运算法则计算是解题的关键； 根据有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】解： 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0； (2)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算有理数乘方和括号内的，再进行有理数的混合运算即可； （2）先计算有理数乘方和括号内的，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算； （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 理解新定义，正确进行运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（22-23七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)0 【知识点】新定义下的实数运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，准确理解新定义是解题的关键． （1）利用题中的新定义列出计算式计算即可； （2）利用题中的新定义列出计算式计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ， ． 【变式训练2】（23-24七年级上·江西吉安·期中）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如：． (1)试分别计算出和的值； (2)计算的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的混合运算；根据新定义运算法则的含义先列运算式，再计算即可． （1）根据新定义运算的含义，直接代入计算即可． （2）先根据新定义运算算括号里面的，再根据新定义运算算括号外面的即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）∵， ； ∴． ； ∴． 类型四、有理数的混合运算的实际应用 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有20筐萝卜，以每筐24千克为标准，超过或不足的千克数分别用正，负来表示，记录如下： 与标准质量的值（单位：千克） 1 0 2.5 筐数 1 2 3 6 4 4 (1)20筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)20筐萝卜一共重多少千克？ (3)若萝卜每筐进价60元，在运输过程中有的萝卜损耗掉不能出售，剩下的以每千克多少元出售，才能获得的利润？（精确到0.1） 【答案】(1)5.5 (2)480 (3)3.3 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数，有理数的混合运算在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握运算法则是解题的关键． （1）运用有理数的减法法则计算即可； （2）运用有理数的混合运算解决； （3）分别计算获得20%的利润的总售价和可以售出的质量，然后用除法解题即可． 【详解】（1）解：（千克） 答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克 （2）解：（千克） 答：20筐萝卜一共重480千克 （3）解：，，（元） 答：剩下的以每千克3.3元出售． 【变式训练1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ (3)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ 【答案】(1)位于地正东方向，距离地20千米 (2)9升 (3)25千米 【知识点】正负数的实际应用、化简绝对值、有理数大小比较的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据有理数的加法运算法则进行计算，然后根据正数和负数意义进行解答即可； （2）首先计算冲锋舟航行的总路程，结合冲锋舟的耗油量和油箱容量，即可获得答案； （3）分别计算航行路程记录中各点离出发点的距离，比较大小即可获得答案． 【详解】（1）解： ， 答：位于地正东方向，距离地20千米； （2） （千米） （升） （升） 答：至少还需9升油； （3）航行路程记录中各点离出发点的距离分别为： ①（千米）， ②（千米）， ③（千米）， ④（千米）， ⑤（千米）， ⑥（千米）， ⑦（千米）， ⑧（千米）， ∵， ∴离最远处有25千米． 【点睛】本题主要考查了正数和负数的意义、有理数运算的应用、化简绝对值、有理数比较大小等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式训练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）社区超市以每斤8元的价格，新进了200斤菠萝．为了合理定价，在前五天试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录这五天菠萝的售价情况和售出情况： 第几天 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 15 18 22 26 34 (1)这五天里超市售出的菠萝，单价最高的是第_____天，最高单价是______元． (2)这五天超市出售此种菠萝的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)五天后，部分菠萝开始出现变质，超市选取五天中单日销售量最高的那天的售价，卖掉剩余的菠萝，因为变质而扔掉的菠萝占全部菠萝的．这次菠萝生意的总收益是多少元？ 【答案】(1)1，13 (2)盈利299元 (3)370元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键． （1）根据表格中的数据求解即可； （2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）由表格可得，单价最高的是第1天，最高单价是元； （2） （元） ∴这五天超市出售此种菠萝盈利299元； （3）（千克） （元） ∴（元） ∴这次菠萝生意的总收益是370元． 压轴能力测评（10题） 1．（22-23六年级上·山东烟台·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．注意 等于而不是1． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（22-23六年级上·山东威海·期中）比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接 ． ，，，． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是有理数的乘方的运算，有理数的大小比较，先计算各数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ，， 而， ∴； 故答案为： 3．（22-23六年级上·山东威海·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．则 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，先计算，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； ∴ ； 故答案为： 4．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数字的循环规律，分别按照定义求出若干组数的值，从而发现循环规律，是解题的关键．根据差倒数的定义分别求出…，发现每3个数为一个循环组依次循环，用除以3，根据商和余数的情况可以确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ......， ∴每3个数为一个循环组依次循环3， ∵， ∴是第个循环组的第3个数，与相同， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算的值时，令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算： ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子整体进行扩大或缩小，要熟悉这种解题的思路．根据题目所给方法，令，表示出，相加得出的值，然后化简即可． 【详解】解：令 则 因此， 故答案为：． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查的是有理数的运算能力，属于基本题型，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题关键． （1）根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以解答本题； （2）先将带分数化为假分数后再根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以解答本题． 【详解】（1） ； （2） ． 7．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用含乘方的有理数乘除混合运算法则计算即可； （2）直接运用含乘方的有理数乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 第①步 第②步 第③步 第④步， 问题： (1)上述解法中，第几步有错？________（填序号即可） (2)本题的正确解法是？ 【答案】(1)① (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据小明同学的解题步骤分析即可； （2）根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：上述解法中，第①有错． 故答案为：①； （2）原式= = 9．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义新运算“□”：，如． (1)求的值． (2)写出一组的值使，且． (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)和（答案不唯一）； (3)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、含乘方的有理数混合运算 【分析】（）按新定义的含义列式即可； （）按新定义的含义找出与的关系式即可求解； （）按新定义的含义列出一元一次方程即可； 此题考查了新定义运算及解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）由， ∵， ∴，即与互为相反数， ∴与的值可以为和（答案不唯一）； （3）由， ∴， 整理得：， 解得：． 10．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是每周的生产情况(超产为正，减产为负)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知后三天共生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)该厂实行计件工资，每生产一辆车可得元，若当天超额完成，则超过部分每辆奖励元；若当天没有完成生产计划，每少生产一辆则扣元，那么这一周工厂工人的工资总额是多少？ 【答案】(1)辆 (2)辆 (3)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，有理数运算在实际生活中的应用， （1）根据记录可知，后三天共生产了辆自行车； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了辆自行车； （3）先计算2100辆的工资，然后再计算奖罚工资最后相加即可． 【详解】（1）解：辆； 故后三天共生产辆． （2）辆 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆； （3）由题意， 故实际生产自行车数量为：（辆） 元． 答：这一周工厂工人的工资总额是元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数的混合运算的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、有理数乘除混合运算 2 类型二、含乘方的有理数的混合运算 3 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 4 类型四、有理数的混合运算的实际应用 7 压轴能力测评（10题） 10 解题知识必备 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 3.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 4.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 压轴题型讲练 类型一、有理数乘除混合运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：. 【变式训练1】（23-24七年级下·吉林·开学考试）计算：． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 【变式训练3】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 类型二、含乘方的有理数的混合运算 例题：（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）计算： ． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）计算：． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）计算： (1)； (2)． 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【变式训练1】（22-23七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 【变式训练2】（23-24七年级上·江西吉安·期中）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如：． (1)试分别计算出和的值； (2)计算的值． 类型四、有理数的混合运算的实际应用 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有20筐萝卜，以每筐24千克为标准，超过或不足的千克数分别用正，负来表示，记录如下： 与标准质量的值（单位：千克） 1 0 2.5 筐数 1 2 3 6 4 4 (1)20筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)20筐萝卜一共重多少千克？ (3)若萝卜每筐进价60元，在运输过程中有的萝卜损耗掉不能出售，剩下的以每千克多少元出售，才能获得的利润？（精确到0.1） 【变式训练1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ (3)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ 【变式训练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）社区超市以每斤8元的价格，新进了200斤菠萝．为了合理定价，在前五天试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录这五天菠萝的售价情况和售出情况： 第几天 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 15 18 22 26 34 (1)这五天里超市售出的菠萝，单价最高的是第_____天，最高单价是______元． (2)这五天超市出售此种菠萝的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)五天后，部分菠萝开始出现变质，超市选取五天中单日销售量最高的那天的售价，卖掉剩余的菠萝，因为变质而扔掉的菠萝占全部菠萝的．这次菠萝生意的总收益是多少元？ 压轴能力测评（10题） 1．（22-23六年级上·山东烟台·期末）计算： ． 2．（22-23六年级上·山东威海·期中）比较下列a，b，c，d的大小，用“”连接 ． ，，，． 3．（22-23六年级上·山东威海·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．则 ． 4．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算的值时，令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算： ． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 7．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）计算 (1)； (2)． 8．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 第①步 第②步 第③步 第④步， 问题： (1)上述解法中，第几步有错？________（填序号即可） (2)本题的正确解法是？ 9．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义新运算“□”：，如． (1)求的值． (2)写出一组的值使，且． (3)若，求的值． 10．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是每周的生产情况(超产为正，减产为负)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知后三天共生产多少辆？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)该厂实行计件工资，每生产一辆车可得元，若当天超额完成，则超过部分每辆奖励元；若当天没有完成生产计划，每少生产一辆则扣元，那么这一周工厂工人的工资总额是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$