精品解析：贵州省贵阳市南明区 永乐第一中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

贵阳市南明区永乐第一中学2023-2024学年度第二学期6月质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】A．化简后不能与合并，不合题意； B．化简后不能与合并，不合题意； C．化简后不能与合并，不合题意； D．化简后能与合并，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的性质是解题的关键． 2. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：由勾股定理的变形公式可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题. 本题比较简单，解答此类题的关键是灵活运用勾股定理． 3. 某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是米，其方差分别是，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 同样整齐 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的定义，即方差越小波动越小，数据越平稳，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴乙班参赛学生身高比较整齐， 故选：． 【点睛】本题主要考查方差的定义，掌握方差比较两组数据的波动情况是解题的关键． 4. 如图是正比例函数的图象，则k的值可能是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：根据题意得，正比例函数的图象过第二、四象限， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的性质． 5. 在中，如果，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，再由可得，从而得到，进行计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边平行，对角相等是解题的关键． 6. 如图，爷爷家有一块等边三角形的空地，已知点E，F分别是边，的中点，量得米，爷爷想把四边形用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据点E，F分别是边，的中点得，，是的中位线，根据米得，根据是等边三角形得，则，即可得． 【详解】解：∵点E，F分别是边，的中点， ∴，，是的中位线， ∵米， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴篱笆的长为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 7. 小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，小明取完包裹后随即原路原速度返回，哥哥花了8分钟寄出一个包裹后原路原速度返回，下面的图象表示小明和哥哥之间的距离与时间之间的关系，其中较合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分段判断小明和哥哥之间的距离与时间的关系即可． 【详解】解：当两人同时去菜鸟驿站时，小明和哥哥之间的距离为0； 当哥哥寄包裹，小明取完包裹原路返回时，小明和哥哥之间的距离逐渐增加； 当哥哥寄出包裹后原路返回时且小明到家之前，小明和哥哥之间的距离保持不变； 当哥哥原路返回时且小明到家之后，小明和哥哥之间的距离逐渐变小，直到为零， 所以符合这一过程的函数图象为： 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，读懂题意，分析得出每个时间段函数的大致图象是解题的关键． 8. 已知点，在一次函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据题意得出一次函数中，比例系数大于0，然后得出不等式求解即可． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且， ∴y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D 9. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数轴判断出a、b和与a+b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，，，a-b>0， ∴ 故选：C． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键． 10. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，连接，根据作图可得四边形是菱形，进而勾股定理求解即可． 【详解】设交于点，连接， 由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴AB=BE， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ,，， ， ， 在中，， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线作图，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，理解题意证明四边形是菱形是解题的关键． 11. 在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AE＝DE，则DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出BE即可． 【详解】解：由折叠的性质可得AE＝DE， ∵，，，点是边的中点， ∴DE＝AE＝8－BE，BD＝， 在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即， 解得：BE＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理得出关于BE的方程是解题的关键． 12. 线段，当的值由增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】将a值，及和代入一次函数解析式，得到四点坐标，在坐标系中找出各点，作出图形，可知线段运动经过的平面区域是个平行四边形的区域，根据平行四边形的面积公式求出即可. 【详解】根据，的值由增加到2， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在坐标系中找出各点，作出图形，可知：运动经过的平面区域是个平行四边形的区域， 高， 底， 则所求面积． 故选A． 二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分） 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是根据“二次根式有意义的条件即被开方数不小于零”列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 14. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积等于_________cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】利用勾股定理，可得：a2+b2＝c2＝100，即（a+b）2﹣2ab＝100，可得ab＝48，即可得出面积． 【详解】解：∵∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2＝100， ∴（a+b）2﹣2ab＝100， ∴196﹣2ab＝100， ∴ab＝48， ∴S△ABC＝＝24cm2； 故答案为：24． 【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式的变形求值、三角形面积计算的运用，熟知勾股定理是解题的关键． 15. 如图，一次函数与的图象交于点，则________．（填＞，＜） 【答案】> 【解析】 【分析】根据两个一次函数图象的交点及图象即可确定两个值的大小． 【详解】解：根据函数图象可得当x=2时，y1=y2， 当x>2时，y1>y2， ∴当x=3时，y1>y2， 即3k1+b1>3k2+b2， 故答案为：>． 【点睛】本题考查了两条直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；利用函数图象确定函数值的大小是解题关键． 16. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，且，连接与相交于点，过点作于点．若的长为6，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过E作于M，连结，由，由四边形为正方形，可得，可证，可得，在中，，可求，在中， ，可求，由， 可求，由为正方形的对角线，，可得，可推，利用勾股定理可得，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过E作于M，连结， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得：， 在中，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，三角形相似判定与性质，线段的倍分与和差，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，本题难度较大，综合性较强，需要灵活掌握以上知识，特别是用辅助线画出准确图形是解题关键． 三、解答题（共98分） 17. （1） （2） 【答案】（1）；（2）6 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，然后化简为最简二次根式，然后计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法及完全平方式，然后计算加减即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键． 18. 遵义市某中学开展以“共建书香校园 同享读书之乐”为主题的书香校园活动．为有效了解学生课外阅读情况，“善学”兴趣小组随机调查了部分学生每周课外阅读的时间．设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它们分为五个等级：（），（），（），（），（），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次共调查了______名学生；被调查学生每周课外阅读总时间的中位数在______等级；请补全条形统计图； （2）若该校共有名学生，请估算每周课外阅读的总时间不低于小时（，等级）的学生约为多少名？ 【答案】（1），， 补全条形统计图如下： （2） 【解析】 【分析】（1）由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；用总人数减去其他等级的人数，求出等级的人数，从而判断中位数所在的组和补全条形统计图； （2）用总人数乘以每周课外阅读的总时间不低于小时的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次共调查的学生人数有：（名）， 等级的人数有：（名）， 中位数是第，数的平均数，故落在等级 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意得： 答：估算每周课外阅读的总时间不低于小时（，等级）的学生约为名． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及中位数和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． （1）画出； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 是直角三角形， 理由如下：，，， ，． ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理与网格问题： （1）根据网格的特点和勾股定理作图即可； （2）证明，即可利用勾股定理的逆定理得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，连接． （1）求的面积； （2）在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2）（－4，4）或（12，－4） 【解析】 【分析】（1）求出点A、B的坐标，可得OA＝4，OB＝2，求出AC＝5，然后根据三角形面积公式计算； （2）根据可知点P的纵坐标的绝对值为4，然后分别求出y＝4和y＝－4时对应的x的值即可． 【小问1详解】 解：在直线中，当x＝0时，； 当y＝0时，， ∴A（4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， ∵点坐标为， ∴OC＝1， ∴AC＝5， ∴； 【小问2详解】 ∵，△POA和△BOA是同底的三角形，点B的纵坐标为2， ∴点P的纵坐标的绝对值为4， 当y＝4时，即，解得：， 当y＝－4时，即，解得：， ∴点P坐标为（－4，4）或（12，－4）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握求一次函数图象与坐标轴交点坐标的方法是解题的关键． 21. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，点为线段上一点且不与，两点重合．分别以，为边向的同侧作锐角为的菱形，连接．若，作出线段的中点； （2）在图②中，四边形是矩形，边所在的直线上有，两点，且，画出该图形的对称轴． 【答案】（1） 如图①所示，点即为所求． （2） 如图②所示，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图，熟练利用菱形的性质和矩形的性质是解题关键． （1）连接，相交于点O，连接并延长，交于点M，根据两菱形边长相等，角度相等，可证，，得到，通过C为中点可得，根据等腰三角形三线合一，即M是中点； （2）连接，并延长相交于点M，连接相交于点N，根据矩形的性质可得，再由，可得到，从而得到进而得到，继而得到即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 22. 菱形是一个比较有美感的图形，小明学习了菱形后非常喜欢菱形的美，想在下图的中画出一个菱形．已知是的角平分线，他认真思考后在中按以下步骤作图： ①分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点； ②作直线分别交，于点E，F； ③连接，． （1）根据小明的作图步骤，请用直尺和圆规，按以上步骤完成作图；（保留作图痕迹） （2）小明作出的四边形是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） 如图： （2） 四边形是菱形； 证明：如图，与交于点， 由作图得：垂直平分， ∴，，， ∴, ∵是的角平分线，即，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题中步骤进行作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，根据全等三角形的判定及性质证明，可得，则四边形是菱形． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟练掌握基本作图的方法以及基本几何图形的性质是解题的关键． 23. 小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 （1）；（2）；（3）；（4） 小明身边没有计算器而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： …… 观察上述解法，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出的结果，并解决后续的问题. （1）由此得到________； （2）根据上面解题方法解决下面的数学问题： 如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【答案】（1）50 （2）757 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式对变形，然后根据二次根式的性质求解； （2）根据图1和图2的面积相等可得，然后利用（1）中方法求出a即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：50； 【小问2详解】 设大正方形的边长为a， 由图1和图2的面积相等可得：，即， ∴， 即大正方形的边长为757． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，灵活运用完全平方公式对被开方数变形是解题的关键． 24. 周末，甲、乙两学生从学校出发，骑自行车去省图书馆．两人同时从学校出发，以每分钟a的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度追赶乙．甲追上乙后，两人继续以a米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变。设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分），s与x之间的函数图象如图①所示；甲大学生距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分），y与x之间的部分函数图象如图②所示． （1）学校与图书馆之间的路程为______米；______； （2）当两人相距1000米时，求x的值； （3）请在图②中补全y与x之间的函数图象． 【答案】（1）5000；200； （2）7.5或15； （3） 如图， 【解析】 【分析】（1）由图②可得学校与净月潭公园之间的路程和a的值； （2）分两种情况：当甲返回学校时和当甲追乙时，分别列式计算即可； （3）计算出甲第20分钟时y的值和第25分钟时y的值，完成图象． 【小问1详解】 由图②可得学校与净月潭公园之间的路程为5000米， （米/分）， 故答案为：5000，200； 【小问2详解】 当甲返回学校时， 当甲追乙时，设甲的速度是m米/分， 则， 解得， 所以此时 ， 答：当两人相距1000米时，x的值是7.5或15； 【小问3详解】 由（2）得，甲追乙的过程中， 当时，甲的速度是400米/分， 当时，， 甲乙两人第25分钟时，到达公园； 25. 在中，，点为边上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点． （1）如图①，当点是边的中点时，求证：； （2）如图②，当点是边上任意点时， ①求证：； ②探究线段和之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 点是边的中点， ， ， ， ， ； （2） ①证明：作交于，令、交于点，    ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，从而得到是等腰直角三角形，由点是边的中点，，最后由同角的余角相等即可得证； （2）①作交于，令、交于点，根据平行四边形的性质得到，从而得到是等腰直角三角形，即，根据同角的余角相等可得，根据等角的余角相等可得，通过证明，即可得证；②由①可得，是等腰直角三角形， ，，从而即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作交于，令、交于点， ， 由①可得，是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质、同角（或等角）的余角相等、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质、同角（或等角）的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市南明区永乐第一中学2023-2024学年度第二学期6月质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 144 3. 某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是米，其方差分别是，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 同样整齐 D. 无法确定 4. 如图是正比例函数的图象，则k的值可能是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 5. 在中，如果，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，爷爷家有一块等边三角形的空地，已知点E，F分别是边，的中点，量得米，爷爷想把四边形用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，小明取完包裹后随即原路原速度返回，哥哥花了8分钟寄出一个包裹后原路原速度返回，下面的图象表示小明和哥哥之间的距离与时间之间的关系，其中较合理的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在一次函数的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 11. 在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 4 12. 线段，当的值由增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分） 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 14. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积等于_________cm2． 15. 如图，一次函数与的图象交于点，则________．（填＞，＜） 16. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，且，连接与相交于点，过点作于点．若的长为6，则的长为______． 三、解答题（共98分） 17. （1） （2） 18. 遵义市某中学开展以“共建书香校园 同享读书之乐”为主题的书香校园活动．为有效了解学生课外阅读情况，“善学”兴趣小组随机调查了部分学生每周课外阅读的时间．设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它们分为五个等级：（），（），（），（），（），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次共调查了______名学生；被调查学生每周课外阅读总时间的中位数在______等级；请补全条形统计图； （2）若该校共有名学生，请估算每周课外阅读的总时间不低于小时（，等级）的学生约为多少名？ 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． （1）画出； （2）判断的形状，并说明理由． 20. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，连接． （1）求的面积； （2）在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 21. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，点为线段上一点且不与，两点重合．分别以，为边向的同侧作锐角为的菱形，连接．若，作出线段的中点； （2）在图②中，四边形是矩形，边所在的直线上有，两点，且，画出该图形的对称轴． 22. 菱形是一个比较有美感的图形，小明学习了菱形后非常喜欢菱形的美，想在下图的中画出一个菱形．已知是的角平分线，他认真思考后在中按以下步骤作图： ①分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点； ②作直线分别交，于点E，F； ③连接，． （1）根据小明的作图步骤，请用直尺和圆规，按以上步骤完成作图；（保留作图痕迹） （2）小明作出的四边形是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 23. 小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 （1）；（2）；（3）；（4） 小明身边没有计算器而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： …… 观察上述解法，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出的结果，并解决后续的问题. （1）由此得到________； （2）根据上面解题方法解决下面的数学问题： 如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 24. 周末，甲、乙两学生从学校出发，骑自行车去省图书馆．两人同时从学校出发，以每分钟a的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度追赶乙．甲追上乙后，两人继续以a米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变。设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分），s与x之间的函数图象如图①所示；甲大学生距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分），y与x之间的部分函数图象如图②所示． （1）学校与图书馆之间的路程为______米；______； （2）当两人相距1000米时，求x的值； （3）请在图②中补全y与x之间的函数图象． 25. 在中，，点为边上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点． （1）如图①，当点是边的中点时，求证：； （2）如图②，当点是边上任意点时， ①求证：； ②探究线段和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $