2.2 基本不等式（八个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

2.2基本不等式 一、理解基本不等式 五、求最值（题干含等式） 二、比较大小 六、恒成立问题 三、证明不等式 七、有解问题 四、求最值（题干无等式） 八、求解实际问题 知识点1两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 重难点一 理解基本不等式 【例1】要使不等式成立，，取值条件为（    ）． A．同为正数 B．同为负数 C．同号 D．异号 【例2】不等式成立的前提条件为 ． 【变式1-1】给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1-2】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【变式1-3】下列条件中能使成立的条件是 ①；   ②    ③，    ④， 重难点二 比较大小 【例3】数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【例4】如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（    ） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 【变式2-1】设 (其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（    ） A．P<N<M B．N<P<M C．P<M<N D．M<N<P 【变式2-2】若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【变式2-3】当时，比较，，，，，的大小（运用基本不等式及比较法） 重难点三 证明不等式 【例5】已知，，且，求证：． 【例6】已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【变式3-1】若x，y为正实数，求证：． 【变式3-2】设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【变式3-3】（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 知识点2基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 重难点四 求最值（题干无等式） 【例7】（1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 【例8】当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【变式4-1】设，则 （    ） A． B． C． D． 【变式4-2】当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式4-3】（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 重难点五 求最值（题干含等式） 【例9】若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例10】（多选）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 【变式5-1】已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【变式5-2】已知，，且，则xy的最大值为 ． 【变式5-3】已知且，则的最小值为 . 重难点六 恒成立问题 【例11】设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例12】若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【变式6-1】当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【变式6-3】设，且恒成立，求的取值范围． 重难点七 有解问题 【例13】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知正实数，满足，且有解，则的取值范围 ． 【变式7-1】若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式有解，则实数m的取值范围是错误的是（　　） A．m<－3或m> B．－3<m< C．m≤－3或m≥ D．－3≤m≤ 【变式7-3】（多选）实数、满足 ，若有解，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 重难点八 求解实际问题 【例15】（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，小刚上山和下山的速度都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（） A．小刚上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 【例16】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023年举行促销活动．经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．求该厂家2023年的年促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少? 【变式8-1】如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    【变式8-2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. (1)试用表示，并求的取值范围； (2)用表示广告牌的面积； (3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 【变式8-3】经观测，某公路在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？ 一、单选题 1．已知函数，则取最小值时x的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 3．且是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．下列命题中错误的数量是（ ） ①当时，一定成立                 ②若实数x，y满足，则 ③对任意，都有 ④对任意，都有 A．0 B．1 C．2 D．4 5．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，且则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，，且，则（） A． B． C． D． 8．已知正数a，b满足，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知， 且， 则的最大值为 ． 10．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 11．设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 四、解答题 12．解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 13．已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 14．已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. (1)若命题p真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式 一、理解基本不等式 五、求最值（题干含等式） 二、比较大小 六、恒成立问题 三、证明不等式 七、有解问题 四、求最值（题干无等式） 八、求解实际问题 知识点1两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 重难点一 理解基本不等式 【例1】要使不等式成立，，取值条件为（    ）． A．同为正数 B．同为负数 C．同号 D．异号 【答案】D 【详解】当时，即同号时，可得，此时， 当且仅当时，等号成立，不符合题意； 当时，即异号时，可得，此时， 当且仅当时，等号成立，符合题意， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，正确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 【例2】不等式成立的前提条件为 ． 【答案】 【详解】由基本不等式可得，当时，不等式成立 故答案为： 【变式1-1】给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】①，根据基本不等式的知识可知①正确. ②，当时，，所以②错误. ③，根据基本不等式的知识可知③正确. 所以正确的为①③. 故选：B 【变式1-2】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 【变式1-3】下列条件中能使成立的条件是 ①；   ②    ③，    ④， 【答案】①③④ 【详解】要使成立，只需即可，此时，当且仅当等号成立，若，则不等式不成立，即只需同号即可，故选项①③④满足. 故答案为：①③④. 重难点二 比较大小 【例3】数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为等腰直角三角形,且，， ， ,四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 【例4】如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（    ） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 【答案】B 【详解】依题意， 根据基本不等式可知， ， ， 所以. 所以，即. 故选：B 【变式2-1】设 (其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（    ） A．P<N<M B．N<P<M C．P<M<N D．M<N<P 【答案】A 【详解】 又， ∴. 故选：A 【变式2-2】若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【答案】≤ 【详解】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 【变式2-3】当时，比较，，，，，的大小（运用基本不等式及比较法） 【答案】. 【详解】解：∵， ∴，∴ ∵，∴ ∴ 基本不等式容易得， ∵， ∴， ∵， ∴ 故. 【点睛】本题考查作差法比较大小和基本不等式比较大小，是基础题. 重难点三 证明不等式 【例5】已知，，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：，故 ， 即不等式成立. 【例6】已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 【变式3-1】若x，y为正实数，求证：． 【答案】证明见解析． 【详解】 ， 当且仅当，且， 即时等号成立． 【变式3-2】设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），，，． 要证，即证． ， ，即，当且仅当时等号成立． （2）因为，，且， 所以，且，则，， 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立． 【变式3-3】（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）证明：由，得， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以； （2）证明：由题意知，，且， 所以， 即. 同理可得， 所以， 即证. 知识点2基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 重难点四 求最值（题干无等式） 【例7】（1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， ， ， 当且仅当，即时取等号. 当时，的最小值为. （2）， ， ， ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，的最大值为. 【例8】当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】因为，所以,, 因为， 所以， ， 当且仅当时，即时，取得最小值. 故选：B. 【变式4-1】设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 【变式4-2】当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】当时 , 即，故. 故选:A. 【变式4-3】（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）3. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 重难点五 求最值（题干含等式） 【例9】若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 【例10】（多选）已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 【答案】AD 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 【变式5-1】已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 【变式5-2】已知，，且，则xy的最大值为 ． 【答案】8 【详解】因为，，且， 可得，当且仅当，即，时，等号成立， 所以xy的最大值为8． 故答案为：8. 【变式5-3】已知且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 重难点六 恒成立问题 【例11】设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 【例12】若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 【变式6-1】当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 【变式6-2】若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 【变式6-3】设，且恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【详解】由知，，，． 要使不等式恒成立， 只需的最小值不小于即可． ∵ ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴，即． 重难点七 有解问题 【例13】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 【例14】已知正实数，满足，且有解，则的取值范围 ． 【答案】 【详解】由题知，因为， 所以，， 若有解，则即可， 因为，都是正数， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 【变式7-1】若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当时取等号，即当时，取等号， 因此要想有解， 只需， 故选：B 【变式7-2】（多选）若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式有解，则实数m的取值范围是错误的是（　　） A．m<－3或m> B．－3<m< C．m≤－3或m≥ D．－3≤m≤ 【答案】BCD 【详解】因为正实数x，y满足，所以， 则=， 当且仅当，即时等号成立. 因为不等式有解，所以， 即，， 解得或. 故选：BCD. 【变式7-3】（多选）实数、满足 ，若有解，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为实数、满足，则，由可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 所以，，即，解得或. 故选：AD. 重难点八 求解实际问题 【例15】（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，小刚上山和下山的速度都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（） A．小刚上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 【答案】ABD 【详解】对于A,小刚上山和下山所用时间之和为,故A正确; 对于B,小明上山和下山所用时间之和为,故B正确. 对于C、D,因为，所以而， 所以，小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少.故C错误，D正确. 故选：ABD. 【例16】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023年举行促销活动．经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．求该厂家2023年的年促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少? 【答案】该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5万元 【详解】由题意将该厂家2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数为： . 所以， 当且仅当时“=”成立. 所以，该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5万元. 【变式8-1】如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    【答案】 【详解】由题得，周长，当且仅当，即，时，等号成立，所以． 故答案为：；. 【变式8-2】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. (1)试用表示，并求的取值范围； (2)用表示广告牌的面积； (3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 【答案】(1) (2) (3)140cm 【详解】（1）每栏的高和宽分别为，其中两栏面积之和为：， 整理得，. （2）； （3）令， 则； 当时，取最小值为24500，此时； 答：当广告牌的高取140cm时，可使广告的面积S最小. 【变式8-3】经观测，某公路在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？ 【答案】千米每小时，车流量最大 【详解】因为， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以当汽车的平均速度千米/小时时，车流量y最大． 一、单选题 1．已知函数，则取最小值时x的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】根据题意由可知，所以； 利用基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立，此时取最小值2； 因此取最小值时x的取值为. 故选：B 2．已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 3．且是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】因为，， 所以，当且仅当时取等号， 若，则满足， 所以当时，且不一定成立， 所以且是的充分不必要条件. 故选：A 4．下列命题中错误的数量是（ ） ①当时，一定成立                 ②若实数x，y满足，则 ③对任意，都有 ④对任意，都有 A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】对于 A 项，由时， , 当且仅当等号成立时,   而 , 则 成立,所以 一定成立故 A 项对； 对于 B 项,因为实数 满足 , 取 , 则 , 故 B 错误; 对于 C 项, 因为 等号成立时, , 故 C 项正确; 对于 D 项, 因为 , 故 D 项正确. 故选：B. 5．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 6．已知，且则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，（当且仅当时等号成立） 又，，上式去分母化简得：， 即，则的取值范围是．所以ab的取值范围是， 当且仅当或时等号成立． 故选：D 二、多选题 7．已知，，且，则（） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于,因为,且, 所以，即, 当且仅当时等号成立，故错误； 对于,根据选项中可知, 当且仅当时等号成立，故正确; 对于C，, 当且仅当时等号成立,故C错误; 对于D，， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 8．已知正数a，b满足，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，故，当且仅当,即时等号成立，故A正确; 对于B，当时,，显然错误; 对于C，因为，当且仅当时等号成立，故C正确; 对于D，由可得,即, 所以 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．已知， 且， 则的最大值为 ． 【答案】144 【详解】因为，由基本不等式得， 故，当且仅当时，等号成立． 故的最大值为 故答案为：144 10．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为 年． 【答案】7 【详解】依题意，年平均利润为, 由于，当且仅当，即时取等号，此时， 所以当每条生产线运行的时间时，年平均利润最大. 故答案为：7. 11．设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 四、解答题 12．解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时取等号. 故的最大值为. （2），且， 所以， 即的最小值为， 当且仅当，即，时取等号 13．已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 14．已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. (1)若命题p真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）∵p为真命题，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. （2）若q为真，则， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. ①若p为真，q为假，则且，即； ②若p为假，q为真，则且，即. 综上，或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$