精品解析：广东省惠州市惠东县2024-2025学年高三上学期第一次质量检测数学试题

惠东县2024-2025学年第一学期高三年级第一次质量检测 数学 2024.08 试卷共4页，卷面满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的补集、并集运算法则进行混合运算即可求得结果. 【详解】根据题意由补集运算可知， 又，所以. 故选：C 2. 下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，故A错误； 对于B，设，所以 故在定义域上不是单调递增，故B错误； 对于C，，故函数的单调增区间为和， 所以在定义域上不是单调递增，故C错误； 对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确. 故选：D 3. 集合 ，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案. 【详解】因为且，所以且，解得. 故选：B. 4. 已知在R上奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可. 【详解】由题意，所以. 故选：D 5. 命题“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用恒成立求出参数范围，然后利用必要不充分性的定义求解即可. 【详解】，即， 故任意，即， 故“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是. 故选：B 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性，对比出、、三者与特殊值0、1的大小关系，运用中间值法解决问题. 【详解】解：因为函数为单调递增函数， 所以，即； 因为为单调递增函数， 所以，即； 因为单调递减， 所以， 即， 故， 故选：A. 7. 函数，若有，则（ ） A. 8 B. 5 C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用图象变换求得函数的图象关于对称，进而得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以为奇函数，其图象关于原点对称， 根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称， 因为，所以且，解得. 故选：A. 8. 已知函数，且满足时，实数的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性再判断函数的单调性，最后运用函数的奇偶性和单调性进行求解即可. 【详解】该函数的定义域为全体实数， 因为 ， 所以函数是奇函数， 又因为， 函数是实数集上的增函数，且， 所以函数是实数集上的减函数， 所以函数是实数集上的减函数， 而函数也是实数集上的减函数， 所以由函数单调性性质可知函数是实数集上的减函数， 由 ， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性、复合函数的单调性. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的图像恒过定点 B. “”的必要不充分条件是“” C. 函数的最小正周期为2 D. 函数的最小值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】由指数函数的性质可判断A；由充分条件和必要条件的定义可判断B；求出函数的最小正周期可判C；由双勾函数的性质可判断D. 【详解】对于A，令，则，即， 所以函数的图像恒过定点，故A正确； 对于B，不能推出，而能推出， 所以“”的必要不充分条件是“”，故B正确； 对于C，因为，令等价于， 所以①，令等价于， 所以②，由①②可得：， 所以函数的最小正周期为4，故C错误； 对于D，函数，令， 则，由双勾函数的性质知在上单调递增， 故，故函数的最小值为2错误，故D错误. 故选：AB. 10. 狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，其函数表达式为（其中为有理数集，为无理数集），则关于狄利克雷函数说法正确的是（ ） A. B. 它是偶函数 C. 它是周期函数，但不存在最小正周期 D. 它的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由狄利克雷函数的性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因，则，故A正确； 若，则，则；若，则，则，所以为偶函数，故B正确； 设任意，则， 当时，则，当时，或， 则，即任意非零有理数均是的周期，任何无理数都不是的周期，故C正确； 函数的值域为，故D错误； 故选：ABC 11. 已知定义域为的函数满足，在解析式为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 若函数在内恒成立，则 C. 对任意实数，图象与直线最多有6个交点 D. 方程有4个解，分别为，，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据定义域为的函数满足可得到函数为奇函数，由在上的解析式，作出函数在上的图象，运用数形结合法求解本题. 【详解】解：因为定义域为的函数满足， 即， 所以函数为奇函数， 因为在解析式为， 故作出函数的图象，如图所示. 选项A：由图可知，当时，函数单调递减，当时，函数单调递减， 但当，并不是随着增加而减少， 故选项A错误； 选项B：因为函数在内恒成立， 所以由图象可知， 由解得，， 所以， 故选项B正确； 选项C：取时，如图所示， 当时，联立方程组， 化简得， 设函数， 因为且对称轴为， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 设，， 因为函数在上单调递增， 且，， 所以在在只有一个零点， 所以直线与函数图象在有1个交点， 所以当时，直线与函数图象有3个交点， 因为函数与函数均为奇函数， 所以当时，直线与函数图象有3个交点， 又当时，直线与函数图象有1个交点， 所以此时直线与函数图象有7个交点， 故选项C错误； 选项D：当时， 则根据图象可得的4个解所在大致范围为，，，， 因为有4个解， 所以， 所以，解得， 所以， 由二次函数的对称性可知，的解、满足， 因为函数为奇函数，且当时解析式为， 所以当时解析式为， 所以， 所以有，即， 所以， 设，， 又因为函数在单调递增， 所以， 所以， 所以选项D正确， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若函数定义域为，则实数_______实数b的取值范围_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用函数的定义域求解即可. 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； 13. 命题“”为假命题，则实数a的范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为在上有解，设，利用函数的单调性求得其最小值，即可求解. 【详解】命题“”为假命题，可命题“”为真命题， 即不等式在上有解， 设函数，可得函数在为单调递增函数， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由可知函数的周期为4，再数形结合得出结果. 【详解】由得， 所以函数的周期为4， 先作出在区间上图像： 又，， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若二次函数对任意都满足且最小值为-1，． （1）求的解析式； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：可设，由得到，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案； 法二：可设，由得到图象对称轴，求出，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案； （2）转化为在上恒成立，求出的最小值大于即可，求出的单调性，进而求出的最小值，从而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 法一：由为二次函数，可设， ∵，则代入得， 化简：， 因为其对任意都成立，所以， 即． 又因为最小值为-1，且， ∴，解得， ∴； 法二：由为二次函数，可设， ∵函数满足， ∴图象的对称轴为，即， 最小值为-1，且， ∴，∴ ∴； 【小问2详解】 ∵，即在上恒成立， 即满足函数的最小值大于． 又∵当时，对称轴为， 故在单调递减，单调递增． ∴在的最小值在取得， 即 ∴， 故的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，设，则，借助奇函数性质可求得解析式； （2）根据函数的解析式，分，，三种情况讨论，解出. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，当时，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 则. 【小问2详解】 当时，，， ，，，即， 当时，，满足不等式． 当时，，恒成立， 满足不等式，即， 综上所述，不等式的解集为：． 17. 已知函数． （1）先判断函数单调性并用定义法证明； （2）是否存在实数a使函数为奇函数，并说明理由． 【答案】（1）函数在上单调递增；证明见解析 （2）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）假设函数为奇函数，可得，列出方程求得，结合函数奇偶性的定义与判定方法，即可求解. 【小问1详解】 解：函数在上单调递增； 证明如下：因为函数的定义域为，任取，且， 则， 因为函数在上为单调递增函数，且， 所以，且，所以， 所以，函数在上单调递增. 【小问2详解】 解：假设函数为奇函数，可得，即， 即，所以， 经验证：当时，，其定义域为， 其满足， 所以，存在时，函数是奇函数. 18. 疫情过后，惠州市某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金（奖金和销售额单位都为十万元），奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%（即奖金大于等于）．经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案． （1）若，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由． （2）若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）不满足条件；理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先代入分析出在上单调递增，再得到，解出范围即可判断； （2）代入分析出满足条件①，再由条件②得在时恒成立，再利用分离参数法即可得到答案. 【小问1详解】 ，因为在上单调递增． 在上单调递增， 则在上单调递增，所以①满足． 对于②，，即 整理可得 ，则不满足②的条件． 故不满足条件． 【小问2详解】 当时，函数，因为 由（1）中知在上单调递增，奖金发放方案满足条件①． 由条件②可知，即在时恒成立， 所以，在时恒成立． ，在单调递增． 当时，取得最小值 ∴ 所以要使奖金发放方案满足条件，的取值范围为． 19. 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． （1）求； （2）①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知定义求出集合，然后结合集合交集运算即可解题； （2）结合所选条件，先求出，在适当放缩后，用等差等比数列，以及求和计算，然后结合单调性以及二项式定理即可判断. 【小问1详解】 当成立时，则能被整除，得， 即， 当成立时，则能被整除，得， 即，则， 显然集合为全体正偶数组成的集合，集合中所有的元素都是奇数， 所以. 【小问2详解】 若选择①， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等差数列，其通项公式为： 设，， 由二项式定理得： ； ； 显然， 所以数列为单调递增数列， 同时， 当时， ， 则， 且， 所以数列有界； 若选择②， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等比数列，其通项公式为 设， 显然， 所以数列单调递增， 其中， ， 所以， 所以数列有界. 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，主要考查集合交集运算，二项式定理，等差等比数列通项应用和求和方法，还考查了数列与函数单调性综合应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠东县2024-2025学年第一学期高三年级第一次质量检测 数学 2024.08 试卷共4页，卷面满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ） A. B. C. D. 3. 集合 ，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 命题“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若有，则（ ） A. 8 B. 5 C. 0 D. 4 8. 已知函数，且满足时，实数的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的图像恒过定点 B. “”的必要不充分条件是“” C. 函数的最小正周期为2 D. 函数的最小值为2 10. 狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，其函数表达式为（其中为有理数集，为无理数集），则关于狄利克雷函数说法正确的是（ ） A. B. 它是偶函数 C. 它是周期函数，但不存在最小正周期 D. 它的值域为 11. 已知定义域为函数满足，在解析式为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 若函数在内恒成立，则 C. 对任意实数，的图象与直线最多有6个交点 D. 方程有4个解，分别为，，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若函数定义域为，则实数_______实数b的取值范围_______． 13. 命题“”为假命题，则实数a的范围为_______． 14. 已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若二次函数对任意都满足且最小值为-1，． （1）求解析式； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义在上奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）解关于的不等式． 17. 已知函数． （1）先判断函数单调性并用定义法证明； （2）否存在实数a使函数为奇函数，并说明理由． 18. 疫情过后，惠州市某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金（奖金和销售额单位都为十万元），奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%（即奖金大于等于）．经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案． （1）若，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由． （2）若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围． 19. 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． （1）求； （2）①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$