2.1 等式性质与不等式性质（六个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

2.1等式性质与不等式性质 一、用不等式（组）表示不等关系 四、利用不等式的性质判断不等式 二、作差法比较大小 五、利用不等式的性质证明不等式 三、作商法比较大小 六、利用不等式的性质求取值范围 知识点1不等关系 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 重难点一 用不等式（组）表示不等关系 【例1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【例2】一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【变式1-1】已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 【变式1-2】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【变式1-3】用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系． 知识点2两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 重难点二 作差法比较大小 【例3】设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【例4】设，比较与的值的大小． 【变式2-1】若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【变式2-2】设a、b为实数，比较与的值的大小. 【变式2-3】已知，求证：. 重难点三 作商法比较大小 【例5】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【例6】若，则、、、中最小的是 . 【变式3-1】设，比较与的大小 【变式3-2】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【变式3-3】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 知识点3等式及不等式的基本性质 1．等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 重难点四 利用不等式的性质判断不等式 【例7】若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例8】（多选）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式4-3】若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 重难点五 利用不等式的性质证明不等式 【例9】已知，．求证：． 【例10】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【变式5-1】设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【变式5-2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【变式5-3】（1）若，证明：. （2）已知，，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1. 重难点六 利用不等式的性质求取值范围 【例11】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】已知，则的取值范围为 ． 【变式6-1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知，，求下列各式的取值范围. (1)；(2)；(3)；(4). 一、单选题 1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．若则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 4．已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列不等式： ①； ②； ③； ④ 其中恒成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．已知三个不等式：①；②③则以其中两个命题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题 7．已知，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 8．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 三、填空题 9．比较大小： ． 10．已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 11．若已知，，则实数的取值范围为 . 四、解答题 12．已知，，求及的取值范围． 13．（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a元、b元、c元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是哪位老师？请写出理由的关键不等式． 15．比较下列各组中两数的大小： (1)已知为正数，且，比较与的大小； (2)已知，比较与的大小； (3)已知均为正数，设，，比较和的大小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1等式性质与不等式性质 一、用不等式（组）表示不等关系 四、利用不等式的性质判断不等式 二、作差法比较大小 五、利用不等式的性质证明不等式 三、作商法比较大小 六、利用不等式的性质求取值范围 知识点1不等关系 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 重难点一 用不等式（组）表示不等关系 【例1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【例2】一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【答案】 【详解】由题意黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的 ，所以， 又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以， 而注意到球的个数应为自然数， 故满足题意的不等关系为. 【变式1-1】已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 【答案】 且 【详解】由已知得 , 又， 则 , 由 及 , 整理化简, 得 , 于是得 x，y所满足的不等关系为且 故答案为：；且 【变式1-2】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 【变式1-3】用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【详解】解：因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，所以， 则菜园的另一条边长为． 所以菜园面积， 根据题意有，即， 故不等关系可用不等式表示为. 知识点2两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 重难点二 作差法比较大小 【例3】设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】由题意可知：， 则， 因为，则， 可得，即. 故选：B. 【例4】设，比较与的值的大小． 【答案】 【详解】 ， 因为，所以， 所以，所以. 【变式2-1】若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 【变式2-2】设a、b为实数，比较与的值的大小. 【答案】 【详解】由， 又a、b为实数，，，则， 所以. 【变式2-3】已知，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】， 因为，所以，又，所以， 所以. 重难点三 作商法比较大小 【例5】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【例6】若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 【变式3-1】设，比较与的大小 【答案】 【详解】， ， ， . 【变式3-2】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【答案】aabb>abba 【详解】 ∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴ aabb>abba. 【变式3-3】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 知识点3等式及不等式的基本性质 1．等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 重难点四 利用不等式的性质判断不等式 【例7】若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 【例8】（多选）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，令，所以，故B错误； 对于C，令，所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 可得，所以，故D正确. 故选：AD. 【变式4-1】已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A，因为，则，所以，故A正确； 选项B，当时，由，则，故B错误； 选项C，若，则，所以，故C错误； 选项D，若，则，故，故D错误. 故选：A. 【变式4-2】（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 【变式4-3】若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 【答案】③ 【详解】当，，时，有，但，，，故①，②，④错误； 由于，，故，故③正确. 故答案为：③. 重难点五 利用不等式的性质证明不等式 【例9】已知，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以， 因为，所以， 即， 即 【例10】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【变式5-1】设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【变式5-2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 【变式5-3】（1）若，证明：. （2）已知，，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）要证， 只需证， 只需证,即， 即证. 因为，所以， 即成立， 所以原不等式成立． （2）假设a，b，c均小于1，即，则有， 而， 这与矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1. 重难点六 利用不等式的性质求取值范围 【例11】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 【例12】已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， ，则， 将不等式的两边同时乘以，可得， ， 故答案为：. 【变式6-1】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设, 即, 所以 解得, 所以 因为, 所以, 所以, 即, 故选：D. 【变式6-2】（多选）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A：,故A错误. 对于B：,故B正确. 对于C：,故C错误. 对于D;,故D正确. 故选：BD. 【变式6-3】已知，，求下列各式的取值范围. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）∵，∴.又∵，∴. （2）∵，∴.又∵，∴. （3）∵，，∴. （4）∵，∴.由，可得. 一、单选题 1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得． 故选：B． 2．若则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，取，则，选项A错误； 对于B，由于函数在上单调递增， 又，则，选项B正确； 对于C，取，则，选项C错误； 对于D，取，则，选项D错误． 故选：B． 3．设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 4．已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 因为，， 若，则，可得， 则，所以成立，即甲是乙的充分条件； 若，可知，则，即， 可得，即，即甲是乙的必要条件． 综上可知：甲是乙的充要条件． 故选：C． 5．下列不等式： ①； ②； ③； ④ 其中恒成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立； 对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立； 对于③，，∴，故③恒成立； 对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立； 故恒成立的结论是①③④ 故选：B． 6．已知三个不等式：①；②③则以其中两个命题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：由于，在两边同除以，得，故①③②成立； 由于，在的两边同乘以，得，故①②③成立； 由，移项通分得，结合，得分母，故②③①成立． 综上所述，以其中两个作条件，余下的一个作结论，可组成3个真命题． 故选：D． 二、多选题 7．已知，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，所以，故A项错误，C项正确； ，则B项正确； ，则D项错误， 故选：BC 8．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．为互不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确； 对于B，令，则，， 显然，因此B错误； 对于C，由，又，， 则，即，因此C正确； 对于D，由为互不相等的正数，则，又，， 即，，即，， 又， ，即，因此D正确； 故选：ACD. 三、填空题 9．比较大小： ． 【答案】＞ 【详解】因为， 所以. 故答案为：>. 10．已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【答案】 ①④ ②④ 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 11．若已知，，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得. 因为，所以， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 12．已知，，求及的取值范围． 【答案】，. 【详解】由，得，又，所以； 由，，得，，所以. 13．（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a元、b元、c元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是哪位老师？请写出理由的关键不等式． 【答案】叶老师， 【详解】叶老师的平均价格为， 王老师的平均价格为， 于是有： ， 因为每次打的酱油价格都不相同，所以a、b、c互不相等， 所以， 即 所以叶老师的平均价格更低． 故平均价格较低的是叶老师， 理由的关键不等式为． 15．比较下列各组中两数的大小： (1)已知为正数，且，比较与的大小； (2)已知，比较与的大小； (3)已知均为正数，设，，比较和的大小. 【答案】(1)； (2)； (3)（当时，等号成立）； 【详解】（1）易知 ； 又因为为正数，且，所以； 即可得， 即； （2）易得 ； 又因为，所以，显然； 所以，即； （3）因为； 又均为正数，所以， 所以， 即，当且仅当时，等号成立； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$