小升初典型奥数：最佳策略（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

最佳策略问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 在日常生活中，竞赛或争斗性质的现象随处可见，小到下棋、做游戏，大到体育比赛、军事较量等，人们在竞赛或争斗中总是希望自己或自己的一方能够获取胜利或获得最好的结果，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，即分析对方可能采取的计划，有针对性地制定自己的克敌计划．哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最后的胜利．这种现象我们称之为“对策现象”． 重点•难点 如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析．一般来说，“对策现象”有三个基本要素： （1）局中人，即在一场竞赛或争斗中的加者，他们为了在对策中取得最后的胜利，必须制定观对付对方的行动计划． 局中人并不特指某一个人，而是指参加竞赛的各个阵营． （2）策略，是指某一个局中人的一个“自始至终贯彻”的可执行方案，在一局对策中，各具局中人可以有一个策略，也可以有多种策略． （3）得失，在局对策中，肯定会有胜利者和失败者，竞赛的成绩也会有好有差，我们称之为得失．每个局中人在一局对策中 的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加．如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜．请问：谁有必胜策略？ 【答案】甲. 【详解】试题分析：根据游戏规则得出谁报数后使和为最小的三位数100，谁第一个报大于或等于100，谁就获胜，进而分析得出，谁先报2，谁就获胜．于是得出先报者的取胜对策为：甲首先报数，甲有必胜策略，甲要抢占到92，首先报2，之后与乙配对和为5或10即可． 解：甲有必胜策略，甲要抢占到92，甲首先报2，之后与乙配对和为5或10即可，即乙选7，则跟着选3，若乙选5，则甲跟着选5，若乙选2，则甲选3…一定甲首先报92，乙即使报最大的数7，加上92，只是99，甲然后报四个中任意一个都可获胜；则甲必胜． 点评：此题主要考查了数字变化规律，根据游戏规则得出数字变化规律是解题关键． 例题2：两个人轮流在国际象棋盘的空格内放入“相”棋（国际象棋盘为8×8的方格棋盘，共有64个格，“相”是国际象棋中的一种棋子，它的走法是沿斜线方向，格数不限，并且在它的行走路线上可攻击其他棋）．一方持黑棋，另一方持白棋．当任何一方放入“相”棋时，要保证不被对方已放入的“相”棋的攻击．谁先无法放入棋子者为输．请问：先放入棋子者是赢是输？ 【答案】先放入棋子的人会输 【分析】由“相”棋的特点，每一“相”棋在棋盘上可以控制两条斜路，如图1所示，凡落入这两条斜路上的棋都要受到攻击．双方在放“相”棋时必须避开对方盘的“轴对称性”，我们可以判断，只要后放入者有合适的策略，必定能够取胜． 【详解】如下图所示，在棋盘上建立一条对称轴（黑粗实线），无论先放棋子的人将棋子放在什么位置，后放棋子的人都可以将棋子放在其对称的位置上，并且不被攻击，这样就能保证： （1）只要先放棋子的人能够在棋盘上放入棋子，后放入棋子的人就一定可以在棋盘上放入棋子． （2）后放入的棋子与先放入的棋子在一条水平线上，所以不会受到先放入的棋子的攻击． 如此摆放下去，必定是先放入棋子的人找不到放棋的位置，从而认输． 例题3：桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜? 例题4：如图中每个小正方形的边长都是1米，现在要从某一点出发，沿着小正方形的边前进．如果每条线只能走一次，最多能走多少米？ 【答案】12个 【详解】若想给对手留下一个小方块，必使对手上一次留给自己一行或一列才行． 这样上一次留给对手的行数必为2．因为行或列大于2，对手就不一定会留下一行或一列，要留给对手2行或2列，必须使对手上一次留下两行或两列且又不能是两列两行的情况． …… 依次类推，每次留给对手行列数相等的巧克力是必胜策略．由此可知先取者有必胜策略，只要他第一次取走3行4列的一块即12个小方块，之后按上述策略即可获胜． 【答案】21米． 【详解】解：图中有8个奇点，去掉3条线段就可以只剩2个奇点，就可以一笔画出了，这样走的距离最远． 根据上图，通过线段的平移可得最多能走的米数： 3×7=21（米） 答：最多走21米． 点评：本题考查的是多笔画问题，需要转化为一笔画问题，对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答． 第三部分 高频真题 1．1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 2．甲、乙、丙、丁四个人在晚上过一座桥，桥每次最多容纳两个人一起通过．过桥需要手电筒，而四人只有1支手电筒，甲、乙、丙、丁单独过桥需要的时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、10分钟．请问：怎样安排过桥顺序，才能使四个人过桥的总时间最短？这个最短时间是多少分钟？（不允许过桥后将电筒扔回，只能让人携带回来） 3．有m个减号“－”号排成一行，甲、乙两人轮流将减号“－”改成加号“+”，每次只能改其中的一个或者是相邻的两个，但不能不改，谁将最后剩下的减号“－”改为加号“+”谁就获胜．如果甲先改，请问甲是否有必胜的策略？ 4．有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把( )根香蕉带回家？ 5．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 6．三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗．小李的命中率是30％，小黄比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是100％．由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后．然后这样循环，直到他们只剩下一个人．那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？ 7．有十个村，坐落大县城出发的一条公路上（如下图所示，距离单位是千米），要安装水管，从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村 用水，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最 节约的办法，费用应是多少？ 8．唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度每分钟100米，唐老鸭手中掌握着一种使米老鼠倒退的电子遥控仪，通过这种电子遥控仪发出第几次指令，米老鼠就以原速度的几×10%倒退一分钟，然后按原来的速度前进，如果唐老鸭想获胜，那么他至少应按几次遥控器？ 9．学校有一个长80米、宽64米的长方形大院，同学们计划用31.4米长的木栅栏围一块地作为劳动实践基地，请你设计一个方案，使基地的面积尽可能大些． 10．有2002个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，每次可向前移动3格或6格，由甲乙两人交替走，以先到最后一格者为胜，问先走胜还是后走胜？如何取胜？ 11．有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者．试问：如果甲先取，谁有必胜的策略？ 12．（1）桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ （2）将（1）的条件“每次取走1～3根”改为“每次取走1～4根”，其余不变，情形会怎样？ （3）将（1）的“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？ 13．三年级一班共有49名同学．现在他们要渡过一条河，只有一条可乘7人的橡皮船，每过一次河需要花3分钟．请问：利用这条橡皮艇把全班同学都运到河对岸，最少需要多少分钟？ 14．甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定每次在黑板上写的数要满足以下条件：它的任何倍数都不能是黑板上已写的数．最后不能写的人为失败者．如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略? 15．有3只鹿要过河，它们分别是胖胖、苗苗和芽芽．胖胖体重100千克，苗苗体重60千克，芽芽40千克．河边有一条小船可以用来摆渡，小船每次最多可载重100千克．它们怎样才能顺利地过河呢？ 16．黑板上写有l，2，3，4，5，…，2009这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数．如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜．请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的？ 17．一名农夫带着一条狗、一只兔子和一筐白菜要过河．现在只有一条小船，农夫一次最多带一样东西过河．农夫不在的时候，狗会咬兔子，兔子会吃白菜．请问：农夫用什么办法可以将三样东西安全地带过河呢？ 18．小明与弟弟在玩一种“抢报30”的游戏．从1开始到30，两人轮流报数，每人每次最多报两个数，不能不报，谁先抢到“30”算赢．请问，在他们先报与后报的人中，谁有必胜的策略． 19．2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输．如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略？ 20．桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？如果谁取走最后一根谁输，那么谁将获胜？ 21．6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在如果有甲、乙两个水龙头可用，怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？ 22．4个相同的盒子排成一排，小悦把6个相同的棋子分装在这些盒子中，其中恰有一个盒子没有装棋子，然后她外出了，冬冬从三个有棋子的盒子里各拿1个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下．小悦回来后查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子．请问：开始时这4个盒子中分别有多少颗棋子？ 23．在黑板上写下数1，2，3，4，…，100，101，甲先擦掉其中的一个数，然后乙再擦去一个数．如此轮流下去，直到最后只剩下两个数为止，若最后剩下的两个数互素，则甲胜；若最后剩下的两个数不互素，则乙胜．按此规则，请为甲制定一个必胜策略． 24．甲、乙两个人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数，但不能不报．例如，甲报1，乙就接着报2或2、3；而甲也可以报1、2，乙接着报3或3、4．这样连续报下去，谁报出100，谁就获胜．甲要怎样才能获胜？先报还是后报？ 25．在一个3×3的方格中（下图），甲、乙两人轮流（甲先）往方格中写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数字不能重复．最后甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜．请你为甲找出一种必胜的方法． 26．某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水．小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？ 27．六年级同学组织“六一”庆祝活动，需要给48名同学购买同样大小的矿泉水。 A超市：每10瓶矿泉水售价20元，凡购满50瓶可按总价的90%付款。 B超市：每箱售价27元，凡购满4箱按总价的85%付款。（提示：每箱12瓶）。 如果让你负责购买，你会到哪个超市购买？请用计算方法说明理由。 28．三堆火柴分别有2001根、2002根、2003根．甲、乙两人轮流从中取出火柴．规则是：每人每次只能从其中的一堆中去取，最少要取一根，最多可全部取走，可以任意选择，谁取完最后一堆的最后一根谁就获胜．如果甲先取，要保证获胜，他应该制定怎样的策略？ 29．甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢．如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略? 30．桌子上放着50根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 31．商场举行促销活动，在购买商品时，每消费50元现金就可以得到一张20元的购物券，每消费100元现金就能得到一张50元的购物券．现在小明要买37件10元的商品，他该怎样去买才能让花出去的钱最少？ 32．99张卡片上分别写着1～99．甲先从中抽走一张，然后乙再从中抽走一张，如此轮流下去．若最后的两张上的数是互质数，则甲胜；若最后剩下的两个数不是互质数，则乙胜．问：甲要想获胜应该怎样抽取卡片？ 参考答案： 1．5格 【分析】一开始棋子已占一格，棋子的右面有1110个空格，由于每次移动1~7个格，那么只要甲始终留给乙8的倍数加1格，就可获胜。 【详解】1111－1＝1110（个） 1＋7＝8 所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1.以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。 答：第一步必须移5格。 【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于必胜策略的问题，首先要判断先后手，然后判断如何进行操作。 2．根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送灯会节省时间， 故：（1）1分钟的和2分钟的先过桥（此时耗时2分钟）． （2）1分钟的回来，（此时共耗时3分钟）． （3）5分钟的和10分钟的过桥（共耗时2+1+10=13分钟）． （4）2分钟的回来（共耗时2+1+10+2=15分钟）． （5）1分钟的和2分钟的过桥（共耗时2+1+10+2+2=17分钟）． 此时全部过桥，共耗时17分钟． 【详解】试题分析：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送灯会节省时间，进而分别分析得出即可． 解：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往返送灯会节省时间， 故：（1）1分钟的和2分钟的先过桥（此时耗时2分钟）． （2）1分钟的回来，（此时共耗时3分钟）． （3）5分钟的和10分钟的过桥（共耗时2+1+10=13分钟）． （4）2分钟的回来（共耗时2+1+10+2=15分钟）． （5）1分钟的和2分钟的过桥（共耗时2+1+10+2+2=17分钟）． 此时全部过桥，共耗时17分钟． 答：最短的时间是17分钟． 点评：此题主要考查了应用类问题，结合实际发现用时最少的两人先过桥往返送灯会节省时间是解题关键． 3．甲有必胜的策略 【分析】我们先从简单的情况入手来寻找获胜的策略．若m=1，甲必胜；若m=2时，甲可以改相邻的两个减号“－”，也必胜；若m=3，甲可以改第2个减号“－”为“+”，这时剩下的两上减号“－”不相邻且关于加号“+”对称，无率乙改哪一个，甲可以改最后一个，甲必胜；若m=4，甲可以改2、3个关于中间的两个加号“+”对称，无论乙如何改，甲都必胜．依此类推，甲有必胜的策略． 【详解】甲可以制定下面的策略，从而稳操胜券． 当m是奇数时，甲先将中间的一个“－”改为加号“+”，并以此为对称中心，以后无论乙将哪一侧的一个或相邻的两个减号“－”改为“+”，甲都可以将另一侧与乙所改的一个或相邻的两个对称的减号“－”改为加号“+”，从而甲必定是最后将减号“－”改为加号“+”的人；当m是偶数时，甲先将中间的两个减号“－”改为加号“+”，并以此为对称中心，以后无论乙在哪一侧将一个或相邻的两上减号“－”改为加号“+”，甲都可以选择在另一侧与乙所改的对称的减号“－”改为加号“+”，从而甲必胜． 4．54 【分析】猴子每走10米就要吃掉一根香蕉，如果猴子背着100根香蕉直接回家，总共需要吃掉100根，在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉其他200根香蕉白白浪费了；所以我们考虑让猴子适当地往返，在半路上储存一些香蕉。 【详解】猴子每次最多只能背100根香蕉，300根香蕉猴子必然要折返3次； 我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉； 猴子的路线： 这两个储存点与就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是： （一）当猴子第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉。 （二）当猴子第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好。（即身上还有100个） （三）点同上。 的距离为，路上消耗个香蕉。的距离为，路上消耗个香蕉。 猴子第一次到达点，还有个香蕉，回去又要消耗个，只能留下个香蕉。这个香蕉将为猴子补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是个，则。米，猴子将在留下60个香蕉。 那么当猴子②次到达时，身上又有了100个香蕉，到⑤时还有个，从⑤回③需要个，可在留下个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗个。则：。 至此，猴子到家时所剩的香蕉为：。 因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了，所以还没有吃香蕉，应该还剩下54根香蕉。 【点睛】本题考查的是最优方案的问题，这里可以转化成行程问题来求解。 5．甲必胜 【分析】既然规定谁取得最后一根火柴谁胜，那么可以先假设甲获胜，然后采用逆推法分析，求出每一次取，剩下的火柴可能是多少，最终倒推得到最初甲应该从那一堆里面取，该如何取。 【详解】假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜。 答：甲会获胜。 【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，既然都采取最佳策略，就要从最利于自己的角度来分析问题。 6．小黄活下来的机会最大 【详解】小林在轮到自己且小黄没死的条件下必杀黄，再跟菜鸟李单挑． 所以黄在林没死的情况下必打林，否则自己必死． 小李经过计算比较（过程略），会决定自己先打小林． 于是经计算，小李有873/2600≈33.6%的生机； 小黄有109/260≈41.9%的生机； 小林有24.5%的生机． 哦，这样，那小李的第一枪会朝天开，以后当然是打敌人，谁活着打谁； 小黄一如既往先打林，小林还是先干掉黄，冤家路窄啊！ 最后李，黄，林存活率约38：27：35； 菜鸟活下来抱得美人归的几率大． 李先放一空枪（如果合伙干中林，自己最吃亏）黄会选林打一枪（如不打林，自己肯定先玩完了）林会选黄打一枪（毕竟它命中率高）李黄对决0.3:0.280.4可能性李林对决0.3:0.60.6可能性成功率0.73． 李和黄打林李黄对决0.3:0.40.7*0.4可能性李林对决0.3:0.7*0.6*0.70.7*0.6可能性成功率0.64． 7．工程总费用最少为414000元 【详解】试题分析：设十个村分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10，在A7之后，粗管可以换成3根或更少根细管，费用将减少，在A6和A7之间，不论安粗管还是四条细管，花的钱一样多，在A6以前如果不安粗管安细管，需要5条以上的细管，费用将增加．因此，工程的设计是：从县城到A7（A6）安一条粗管；A7、A8之间安三条细管；A8、A9之间安二条细管；A9、A10之间安一条细管这样做，工程总费用最少． 解：如图，设十个村分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10， 工程的设计是：从县城到A7（A6）安一条粗管；A7、A8之间安三条细管；A8、A9之间安二条细管；A9、A10之间安一条细管这样做，工程总费用最少． （30+5+2+4+2+3+2）×8000+（6+4+5）×2000=414000（元） 答：工程总费用最少为414000元． 点评：粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，4根细管的价格和1根粗管相等，3根以下细管比粗管节约是解决此题的关键． 8．13次 【详解】米老鼠跑完全程用的时间为：10000÷125=80（分）， 唐老鸭跑完全程的时间为：10000÷100=100（分）， 米老鼠早到100-80=20（分），唐老鸭第n次发出指令浪费米老鼠的时间为：1+=1+0.1n． 当n次取数为1、2、3、4、13时，米老鼠浪费时间为1.1+1.2+1.3+1.4+…+2.3=22.1（分）大于20(分）． 所以唐老鸭要想获胜，必须使米老鼠浪费的时间超过20分钟，因此唐老鸭通过遥控器至少要发13次指令才能在比赛中获胜． 答：如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少应是13次． 9．面积为78.5平方米 【详解】试题分析：根据题意，周长相等的平面图形中圆的面积最大，可根据圆的周长公式计算出这个圆的半径，然后再根据这个圆的面积公式进行计算即可得到答案． 解：圆的半径为：31.4÷3.14÷2 =10÷2， =5（米）， 圆的面积为：3.14×52=78.5（平方米）， 答：要使基地的面积最大可围成圆形，围成的面积为78.5平方米． 点评：此题主要考查的知识点是周长一定的图形中，圆的面积最大． 10．先走者胜．如甲先走，他可以把棋子向前移动3格．以后若乙将棋子向前移动3格，则甲将棋子向前移动6格；若乙将棋子向前移动6格，则甲将棋子向前移动3格，总保持每轮甲、乙共移动棋子格数为9格，由于（2002－1－3）÷222，所以经过222轮，先走者将到达第2002格． 【详解】略 11．乙 【详解】试题分析：因为规定每次可以取1根或者2根火柴，所以一定能保证两人所拿火柴数量之和是3，故此，甲先拿，只要乙拿到的火柴与甲拿到的火柴和是3，那么乙又必胜的策略． 解：9÷（1+2） =9÷3 =3 答：因为规定每次可以取1根或者2根火柴，如果甲先取，那么甲拿几根，只要乙保证拿到的火柴与甲拿到的火柴和是3，那么乙有必胜的策略． 点评：本题考查最佳对策问题：只要除尽的，谁先拿后者只要和前者拿的和是一定的，那么后者有必胜的把握． 12．（1）甲必胜 （2）乙必胜 （3）甲必胜 【分析】题目的要求是双方都采用最佳方法，所以要按照最利于自己的方法来取。 【详解】（1）获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有55根火柴，55÷4＝13……3，所以只要甲第一次取走3根，剩下52根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜。 答：甲必胜。 （2）由上面的分析，只要始终留给对方（1＋4＝）5的倍数根火柴，就一定获胜。因为55是5的倍数，甲先取，不可能留给乙5的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可能留给甲5的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。 答：乙必胜。 （3）因为最后留给对方1根火柴者必胜，按照逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取2根，剩下53根（53除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给以，甲必胜。 答：甲必胜。 【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于必胜策略的问题，不仅要考虑先后手，还要考虑如何操作。 13．45分钟． 【详解】试题分析：由于来往过河需要一名舵手，所以前几次只能每次送6人过河，49÷6=8（次）…1（人），当运第7次后，还剩7人，这时正好够一船过河，所以需要运8次；最后1次只走1趟，而其余7次要来回， 因此，共走了15趟，那么过河的总时间是：3×15=45（分钟），据此解答． 解：因为有1人要当舵手把船划过来，也就是前7次均渡过6人，6×7=42（人）， 第8次渡7人刚好49人． 48﹣42=7（人）， 第1次只走1趟，而其余7次要来回，则7×2+1=15趟， 15×3=45（分钟）． 答：全班同学运到河对岸至少需要45分钟． 故答案为45． 点评：解此题关键是理解渡船就要有一个撑船的，实际上除最后一次，每次只能坐6人． 14．甲 【详解】甲一定获胜，甲可以先写6，去掉其能作为倍数的数：1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的一个． 将4，5，7，8，9，10分成三组： (4，5)，(7，8)，(9，10) 乙写任何一组中的某个数，甲就写同一组中的另一个数，从而甲一定获胜． 15．第一次：苗苗(60千克)、芽芽(40千克)同去．第二次：返回其中任1个，另一个留下．第三次：胖胖(100千克)独自去．第四次：原先留下的另一个返回．第五次：苗苗(60千克)、芽芽(40千克)同去． 【详解】解决这类问题要认真分析条件，注意顺序，合理搭配，只要不超过100千克就能找出解决问题的方法．第一次：苗苗(60千克)、芽芽(40千克)同去．第二次：返回其中任1个，另一个留下．第三次：胖胖(100千克)独自去．第四次：原先留下的另一个返回．第五次：苗苗(60千克)、芽芽(40千克)同去． 16．甲将获胜．甲先擦去 1，再将剩下的数分组：（2，3）、（4，5）、（6，7）、…、（2008，2009）组中的两个数都是一奇一偶；接下来不论乙擦去哪个数，甲就擦去和这个数同一组的另一个数，则甲必胜． 【详解】试题分析：从1到2009共2009个数字，2009÷2=1004…1，所以有1004个偶数，1005个奇数，根据条件，要想使甲获胜，甲先擦去1，那么剩下2008个数字恰好是一奇一偶，乙擦去哪个数，甲就擦去与其同组的数即可获胜． 解：甲将获胜．甲先擦去 1，再将剩下的数分组：（2，3）、（4，5）、（6，7）、…、（2008，2009）组中的两个数都是一奇一偶； 接下来不论乙擦去哪个数，甲就擦去和这个数同一组的另一个数，则甲必胜． 答：甲有必胜的策略． 点评：本题考查最佳策略问题：解答本题的关键是甲先擦去奇数即可，剩下的乙擦奇数，甲就擦偶数，乙擦偶数，甲就擦去一个奇数即可． 17．第一次带兔子过河，剩下狗和白菜； 第二次带白菜过河，剩下狗，但回来的时候要把兔子再带回来； 第三次带狗过河，剩下兔子； 最后带兔子过河． 【详解】试题分析：“他不在时，狗会咬兔子，兔子会吃白菜”那么他不在时，不要把狗和兔子安排在一起，以及兔子和白菜安排在一起，据此解答． 解：第一次带兔子过河，剩下狗和白菜； 第二次带白菜过河，剩下狗，但回来的时候要把兔子再带回来； 第三次带狗过河，剩下兔子； 最后带兔子过河． 如此一共要带四次才可以完成． 点评：此题考查设计对策，要抓住只要把兔子与其他两样物品分开就行了这一关键来设计方案． 18．后报的人有必胜策略 【分析】每次能够报1个或2个，当对手报1个时，自己就报2个，对手报2个，自己就报一个，这种方法可以称之为“凑3”．因此可以以3个数为一组（以下简称周期），对手报的是3个数中的前一部分，自己报的是后一部分． 【详解】详解：因为30÷3=10，没有余数，所以应该让对手先报，后报的人有必胜策略，就是“凑3”． 【点睛】谁报最后一个谁赢的情况下，用总数÷周期，如果有余数，则先报的人赢，必胜策略是先报余数，然后与对手凑周期；如果没有余数，则后报的人赢，必胜策略是直接与对手凑周期．谁报最后一个谁输的情况下，先用总数-1，然后用报最后一个赢的方式操作就可以了． 19．乙有必胜的把握． 【分析】因为甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放． 本题考查最佳对策问题：注意结合条件仔细分析才能找出最佳对策． 【详解】根据条件可知： 甲所放的棋子有很大的受限，从左边数的第二个格子，甲不能放，那么乙先空着，所以最后乙可以放在左数第二个格子里，而甲无处可放，故此乙有必胜的把握． 20．甲获胜   甲获胜 【分析】解题的关键首先是要弄清楚是取到最后一根赢还是取到最后一根输，然后是要找到周期，并且注意有没有余数． 【详解】如果取走最后一根获胜，55÷（1+3）=13……3，因为有余数，所以先取的人获胜，即甲获胜，必胜策略为先取三根然后与乙“凑4”．如果取走最后一根输，（55-1） ÷（1+3）=13……2，甲先取走两根， 然后与乙“凑4”，还是甲获胜． 21．安排需3分钟的，然后5分钟的，最后7分钟的在甲水龙头打；安排需4分钟的，然后6分钟的，最后10分钟的在乙水龙头打．    等候的总时间是：60分． 【分析】首先我们来看看如果只有一个水龙头时候的情况．要想等候的时间最短，我们应该把时间短的人尽量安排在前边，例如应该最先安排3分钟那个人，这样后边的5个人外加他自己都等了3分钟，依此类推，以下依次安排4，5，6，7，10，很容易计算出等候的总时间是3×6＋4×5＋5×4＋6×3＋7×2＋10＝100（分）． 现在看看有两个水龙头的情况，由刚才的分析我们可以看出为使总的等待时间尽量短，应让打水所需时间少的人先打．安排需3分钟的，然后5分钟的，最后7分钟的在甲水龙头打；安排需4分钟的，然后6分钟的，最后10分钟的在乙水龙头打；在甲水龙头3分钟的人打时，有2人等待，占用三人的时间和为（3×3）分；然后，需 5分钟的人打水，有1人等待，占用两人的时间和为（5×2）分；最后，需7分钟的人打水，无人等待．甲水龙头打水的三个人，共用（3×3＋5×2＋7）分，乙水龙头的三人，共用（4×3＋6×2＋10）分．总的占用时间为（3×3＋5×2＋7）＋（4×3＋6×2＋10）＝60（分）． 【详解】安排需3分钟的，然后5分钟的，最后7分钟的在甲水龙头打；安排需4分钟的，然后6分钟的，最后10分钟的在乙水龙头打；甲水龙头打水的三个人，共用（3×3＋5×2＋7）分，乙水龙头的三人，共用（4×3＋6×2＋10）分． 总的占用时间为（3×3＋5×2＋7）＋（4×3＋6×2＋10）＝60（分）． 【点睛】这道题的关键在于弄清楚安排的顺序，尽量将时间短的人往前安排，以使后面的人等待的时间短． 22．开始时这4个盒子里分别有0个，1个，2个，3个棋子． 【详解】试题分析：变化后盒子和棋子的数量与原来相同，其中一个盒子仍是空盒，一个盒子里面有3个棋子，得出剩下一个盒子的棋子数量，从而得解． 解：没有发现有人动过这些盒子和棋子，说明变化后盒子和棋子的数量与原来相同，其中一个盒子仍是空盒，所以这个盒子里面原来只有1个棋子； 从三个有棋子的盒子里各拿1个棋子放在空盒内，所以原来有一个盒子是3个棋子； 6﹣1﹣3=2（个） 还剩下2个棋子在第三个盒子里． 答：开始时这4个盒子里分别有0个，1个，2个，3个棋子． 点评：解决本题关键是先逆推出其中一个盒子里面有1个棋子，以及有一个盒子里面有3个棋子． 23．首先，甲可以擦去1，这时还有100个数，我们把它们分成50组：（2，3），（4，5），（6，7），…，（98，99），（100，101）；这样，无论乙擦去哪一个数，甲都可以擦去与此数同一组的另一个数，依此下去，最后剩下的将是相邻的两个自然数．由于相邻的两个自然数是互素的，所以甲必然获胜． 【详解】相邻的两个自然数是互素的，只要利用这一基本知识，甲就能够获胜．首先，甲可以擦去1，这时还有100个数，我们把它们分成50组：（2，3），（4，5），（6，7），…，（98，99），（100，101）；这样，无论乙擦去哪一个数，甲都可以擦去与此数同一组的另一个数，依此下去，最后剩下的将是相邻的两个自然数．由于相邻的两个自然数是互素的，所以甲必然获胜． 24．甲必须先报数，并且先报1；以后乙若报1个数，则甲就报2个数，乙若报2个数，甲就报1个数，依次类推，当甲报数“97”后，无论乙如何报数，甲都可以报到数“100”． 【详解】略 25．先在d或f中填入1． 【详解】把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i．甲的得分为：a＋b＋c＋g＋h+i=（a＋c＋g+i）+（b+h）； 乙的得分为：a＋d＋g＋c＋f＋i=（a＋c＋g＋i）+（d＋f） 要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b＋h＞d+f．要想使b＋h＞d＋f， 甲有两种策略：一是增强自己的实力——使b、h格内填的数尽可能地大；二是削弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小．取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者兼顾．如果优先考虑增强自己，则先在b或h中填10，这时如果对手在b或h中填1，则无论自己在d或f中填什么，都不能保证d+f小于11，所以很可能就输了，因此要优先考虑削弱对方，先在d或f中填入1，这时候就算对手给他自己加一个10还是给一个最小的3，都可以保证b＋h＞d+f． 26．100瓶 【分析】很多人会考虑到用80个空瓶换16瓶汽水，然后用16个空瓶换3瓶汽水，然后就不会往下想了，事实上最后4个空瓶还能发挥点作用． 我们按照实际换汽水过程分析： 喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水； 喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水余1个空瓶； 喝掉3瓶汽水，连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶．此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶汽水，喝完后将空瓶还了． 所以，他们家前后最多能喝到汽水：80+16+3+1=100（瓶）． 以上方法正确运用“5个空瓶可换1瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长．有没有简便的算法呢？ 方法二：每4个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即买4瓶就可以喝到5瓶，喝的瓶数是买的瓶数的倍．买了80瓶，那么可以喝80×=100（瓶） 【详解】方法一： 80+16+3+1=100（瓶）． 方法二：每4个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即买4瓶就可以喝到5瓶，喝的瓶数是买的瓶数的倍． 80×=100（瓶） 答：他们家前后最多能喝到100瓶汽水. 【点睛】对于这种空瓶换汽水的题，主要有两种类型，一种是已知买了多少瓶，求最多能喝多少瓶（以下简称买推喝），另一种是已知喝了多少瓶，求至少要买多少瓶（以下简称喝推买）．无论是那种题，我们首先都要弄清楚喝的瓶数与买的瓶数之间的倍数关系．例如4瓶换1瓶，则倍数为，7瓶换1瓶，倍数为，然后喝推买的时候用喝的瓶数除以这个倍数，买退喝的时候就乘这个倍数，这里要注意，喝的瓶数一定会比买的瓶数多，这个可以用来检验我们是否做对的标准．但是这里又会出现一个问题，万一得数不是一个整数该怎么办呢？这里我们要站在卖汽水的人的角度来看问题，他一定是希望我们买得多，喝得少，也就是说买推喝的时候，如果得数是100.9这样的数，那么我们只能喝到100瓶，而喝推买的时候，如果得数是100.1这样的数，我们必须买101瓶才行，这里一定是买推喝全舍，喝推买全入，而不是四舍五入． 27．A超市 【详解】A超市：购买50瓶，20×5×90%＝90（元） B超市：4箱共12×4＝48（平） 27×4×85%＝91.8（元） 因为在A超市花的总钱数少且多2瓶，所以会去A超市购买。 28．甲先从2001根的那一堆中取走2000根，这样剩下的三堆分别为：1根、2002根、2003根，这是个必输形（两奇一偶并且1+2002=2003）．这样不论后拿人如何拿火柴，必定破坏了必输形的特征，再轮到甲时，甲可以再制造出新的“必输形”，直到出现“1，2，3”情形，从而取得胜利． 【分析】我们首先来看两种特殊的情况： （1）只有两堆火柴 ①若两堆火柴数目相同，那么谁先拿谁就输．因为先拿火柴的人无论选择哪一堆拿走多少根，对方只需要在另一堆拿走相同数量的火柴，总使剩下的两堆火柴的数目一样，最终迫使先拿火柴的人拿光其中的一堆火柴，而他自己就拿光另一堆火柴，即他可以拿到最后一根火柴． ②若两堆火柴的数目不同，那么谁先拿就谁赢．先拿火柴的人只要将较多的一堆火柴中拿走比另一堆多出的火柴，使剩下的两堆火柴数目相同，即将问题转化为①的情形，从而他取胜． （2）假设三堆火柴的数目分别为1根、2根、3根，这种情形下谁先拿谁就输．因为无论先拿的人如何取火柴，对方都可使之变为上面①的情形．这种情形我们称之为“必输形”．必输形的特点是：两堆为奇数，一堆为偶数，并且一堆奇数与一堆偶数的和为另一堆奇数． 现在回到原题上来，先取的甲要想办法使这三堆火柴形成“必输形”，这样形成之后轮到乙取了，从而甲有必胜的把握． 【详解】甲先从2001根的那一堆中取走2000根，这样剩下的三堆分别为：1根、2002根、2003根，这是个必输形（两奇一偶并且1+2002=2003）．这样不论后拿人如何拿火柴，必定破坏了必输形的特征，再轮到甲时，甲可以再制造出新的“必输形”，直到出现“1，2，3”情形，从而取得胜利． 29．甲 【详解】获胜的人必使对方最后留下一个不为0的一位数． 那么前一次留给对方只能是10． 这又要求前一次留给对方的是11～19中的某数．所以前再前一次留给对方的只能是20．…… 依次可以看出每次留给对方末位数为0的必定胜出． 即必胜策略是每次减去黑板上数的个位数字即可． 现在黑板上原始数为1994，则甲开始减去4，留下1990给乙；于是乙留下的数字只能是1981～1989中的某个，甲对应的减去这个数的个位数字，留下1980给乙；…… 30．甲必胜 【分析】获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。 【详解】3＋1＝4（根） 50÷4＝12……2 所以只要甲第一次取走2根，剩下48根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜。 答：甲必胜。 【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于题目给出了先手是甲，所以关键是考虑如何操作。 31．他先买25件商品才能让花出去的钱最少． 【详解】试题分析：小明要买37件10元，总共花费370元钱，他可以先买25件商品，花费250元，每消费100元现金就能得到一张50元的购物，每消费50元现金就可以得到一张20元的购物券，他可以得到两张50元的购物券和一张20元购物券，总共有120元购物券，可以买回12件商品，25+12=37件，这样只花费了250元，据此解答即可． 解：先买25件商品，花费250元； 100+100+50=250元； 他可以得到两张50元的购物券和一张20元购物券共120元购物券； 用120元购物券买回12件商品； 12+25=37件； 这样只花费了250元钱； 答：他先买25件商品才能让花出去的钱最少． 点评：解答本题时分两步：第一，先花费250元钱买回25件商品，可以得到120元购物券；第二，用120元购物券买回12件，这样37件商品就买回了． 32．法一：甲抽1，把剩下的数两两分组为（2，3）（4，5）…（98，99），无论乙抽何数，甲都抽同组中的另一个数．这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻必互质，甲胜． 法二：甲抽99，把剩下的数两两分组为（1，2）（3，4）…（97，98），无论乙抽何数，甲都抽同组中的另一个数．这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻必互质，甲胜． 【详解】我们可以把相邻的数分为一组，多余的那个数就是我们第一次应该取出的数． 法1：甲抽1，把剩下的数两两分组为（2，3）（4，5）…（98，99），无论乙抽何数，甲都抽同组中的另一个数．这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻必互质，甲胜． 法2：甲抽99，把剩下的数两两分组为（1，2）（3，4）…（97，98），无论乙抽何数，甲都抽同组中的另一个数．这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻必互质，甲胜． 学科网（北京）股份有限公司 $$