小升初典型奥数：逻辑推理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

逻辑推理 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 基本方法简介： ①条件分析﹣假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的．例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数． ②条件分析﹣列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析．列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断． ③条件分析﹣﹣图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态．例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识． ④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件． ⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决． 第二部分 典型例题 例题1：有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A，B，C参加，在每一项目中，第一,第二,第三名分别的X，Y，Z分，其中X,Y,Z为正整数且X>Y>Z．最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一．求M的值，并问在跳高中谁得第二名． 【答案】M=5．跳高第二是C所得． 【详解】因为ABC三人得分共40分,三名得分都为正整数且不等,所以前三名得分最少为6分,40=5*8=4*10=2*20=1*20,不难得出项目数只能是5.即M=5． A得分为22分,共5项,所以每项第一名得分只能是5,故A应得4个一名一个二名.22=5*4+2,第二名得1分,又B百米得第一,所以A只能得这个第二． B的5项共9分,其中百米第一5分,其它4项全是1分,9=5+1=1+1+1．即B除百米第一外全是第三,跳高第二必定是C所得． 例题2：A，B，C，D，E五人在一次满分为100分的考试中，五人得分各不相同，且得分都是整数，已知：A得94分；B是第一名；C得分是A与D的平均分；D得分是五人的平均分；E比C多2分，是第二名．那么B得了多少分？ 【答案】98分 【详解】因为C是A和D的平均分，在A和D之间。若A＝D，则C＝A＝D，而E＝C＋2，根据5×D＝A＋B＋C＋D＋E，有5×94＝94＋B＋94＋94＋（94＋2），解得B＝92，与B是最高分矛盾；若A＞D，则C＞D，D为最低分，与D是5人平均分矛盾。 因此，只能是D＞A，则有A＜C＜D．A＝94最低，另外4人在95到100分之间；因为A＝94为偶数，C是A和D的平均分且为整数，则D得分为偶数，是96或98；若D＝98，则C＝（94＋98）÷2＝96，E＝C＋2＝96＋2＝98．B是第一名，得分可能是99，100。当B＝99时，5人平均分是（94＋99＋96＋98＋98）÷5＝97≠D，矛盾；当B＝100时，5人平均分是（94＋100＋96＋98＋98）÷5＝97.2≠D，矛盾；所以D≠98，只能是D＝96，此时，C＝（94＋96）÷2＝95，E＝95＋2＝97，由5×96＝（94＋B＋95＋96＋97）进而计算得出B＝98。 答：B得了98分。 【点睛】此题较难理解，要认证分析题意，明确几个数的大小，再进行解答。 例题3：甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人 分别回答如下。甲：“丙、丁两人中有人做了好事。” 乙：“丙做了好事，我没做。” 丙：“甲、丁中只有一人做了好事。” 丁：“乙说的是事实。”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事？ 【答案】乙与丁 【分析】题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事，或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时，乙说的话都与事实有出入。 【详解】我们用假设法来解决： 因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错；要么乙与丁错，甲与丙正确。 （1）假设乙与丁说的话正确。这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设错误。 （2）假设甲与丙说的话正确。那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁。若做好事的是甲与丙，或丙与丁，则乙说的话也正确，与题意不符；若做好事的是乙与丁，则乙说的话与事实不符，符合题意。 综上所述，做好事的是乙与丁。 答：乙与丁做好事。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，假设法是求解逻辑推理问题最常用的方法。 例题4：李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门。现知道： （1）顾锋最年轻； （2）李波喜欢与体育老师、数学老师交谈； （3）体育老师和图画老师都比政治老师年龄大； （4）顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳； （5）刘英与语文老师是邻居。问：各人分别教哪两门课程？ 【答案】顾锋教数学和政治，刘英教音乐、体育，李波教图画、语文 【分析】提到顾锋的条件是比较多的，可以从顾锋入手分析，由（4）得到顾锋不教音乐和语文，由（3）得到顾锋不教体育和图画，然后再考虑其余几人的情况。 【详解】由（1）（3）（4）推知顾锋教数学和政治； 由（2）推知刘英教体育； 由（3）（5）推知李波教图画、语文。 答：顾锋教数学和政治，刘英教音乐、体育，李波教图画、语文。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，在求解问题时，首先从条件最多的入手。 第三部分 高频真题 1．个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜．已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜．问：商人共可卖出多少胡萝卜？ 2．甲、乙、丙三位老师担任六(1)班的语文、数学、英语、音乐、美术及体育六门课的教学，每人教两门．现知道： (1)英语老师和数学老师都是邻居； (2)乙年龄最小； (3)甲喜欢与体育老师、数学老师来往； (4)体育老师比语文老师年龄大； (5)乙、语文老师、音乐老师三人经常一起做操． 请判断各人分别教的是哪两门课？ 3．一次篮球比赛共有8支球队参加，赛制为单循环比赛，每胜一场积2分，负一场得0分，平局双方各得1分。已知： ①最后排名没有并列的； ②前两名的队伍都没有输过； ③获得第四的队伍积分与后四名的球队积分之和相等。 请问，从第一名到第四名，每个队的积分分别是多少？ 4．塑料袋里有六个橘子，如何均分给三个小孩，而塑料袋里仍有二个橘子？（不可以分开橘子） 5．小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是大学生．现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小．那么三人各是什么职业? 6．赵、钱、孙、李四位老师分别教数学、语文、自然、体育的一门课．赵只能教数学或体育，钱只能教语文或自然，孙只能教数学、语文或自然，李只能教自然．问：实际哪个人只能教数学？ 7．六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座。如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？ 8．在神话王国内，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的居民小白、小黑、小蓝，小白说：“小蓝是骑士，小黑是骗子。”，小蓝说：“小白和我不同，一个是骑士，一个是骗子。”国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子。你能判断出吗？ 9．甲、乙、丙3个学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服去参加一次争办奥运的活动．已知： ①帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝3种： ②甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子； ③戴红帽子的学生没有穿蓝衣服； ④戴黄帽子的学生穿着红衣服； ⑤乙没有穿黄色衣服． 试问：甲、乙、丙3人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服? 10．九个外表完全相同的小球，重量分别是1，2，…，9．为了加以区分，它们都被贴上了数字标签，可是有一天，不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通．我们用天平做了两次称量，得到如下结果： （1）①②＞③④⑤⑥⑦； （2）③⑧=⑦，请问：⑨号小球的重量是多少？ 11．有2n个人排队进电影院，票价是50美分．在这2n个人当中，其中n个人只有50美分，另外n个人有1美元（纸票子）．愚蠢的电影院开始卖票时1分钱也没有．问：有多少种排队方法使得每当一个拥有1美元买票时，电影院都有50美分找钱 注：1美元=100美分拥有1美元的人，拥有的是纸币，没法破成2个50美分． 12．在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分。问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高？ 13．编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？ 14．甲、乙、丙、丁约定上午10时在公园门口集合．见面后， 甲说：“我提前了6分钟，乙是正点到的．” 乙说：“我提前了4分钟，丙比我晚到2分钟．” 丙说：“我提前了3分钟，丁提前了2分钟．” 丁说：“我还以为我迟到了1分钟呢，其实我到后1分钟才听到收音机报北京时间10时整．” 请根据以上谈话分析，这4个人中，谁的表最快，快多少分钟? 15．桌上放了七叠书．其中只有一叠是卡通书，其余都是故事书和科技书，且故事书是科技书的6倍．这七叠书分别是3本、4本、5本、16本、26本、25本、38本．问：卡通书有几本？ 16．刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问：三个男孩的妹妹分别是谁？ 17．在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分。小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序。那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？ 18．东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同。问另一个人胜了几场？ 19．红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有、、、、五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。 猜：第二包是紫的，第三包是黄的；猜：第二包是蓝的，第四包是红的； 猜：第一包是红的，第五包是白的；猜：第三包是蓝的，第四包是白的； 猜：第二包是黄的，第五包是紫的。 猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对。请你判断他们各猜对了其中的哪一包？ 20．有5只猴子在海边发现 一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到,它左分右分分不开,就朝海里扔了一只,恰好可以分成5份,它拿上自己的一份走了.第 2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是扔掉一只后,恰好可以分成5份.问这堆桃子至少有多少只？ 21．有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，一个罐里放两白球，另一罐放一红一白。然后将写有“两红”、“两白”、“红白”的三个标签贴在三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了。试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定三个罐分别装的是什么彩球？ 22．徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷． （1）电工只与车工下棋，电工也只与车工下棋； （2）王师傅经常与木工下棋； （3）徐师傅与电工下棋，互有胜负； （4）赵师傅不认识木工． 问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工作？ 23．甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友．甲不会英文，乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈．问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？ 24．小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？ 25．甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙第名，我第名。”乙说：“我第名，丁第名。”丙说：“丁第名，我第名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？ 26．甲乙丙丁四位同学在操场上踢足球，打碎了教室的玻璃窗，有人问他们时，他们的回答如下： 甲：玻璃是丙或者是丁打碎的 乙：是丁打碎的 丙：我没有打坏玻璃 丁：我才不干这种事 有三个人没说谎，是谁打碎了玻璃呢？ 27．孔雀、小羊、熊猫、小象和松鼠去旅游，它们住在宾馆的1—5号房间，服务员告诉它们：熊猫住的不是1、3、5号，小象住的号数是熊猫的2倍，小羊住在小象的右边，孔雀住的离熊猫最近，熊猫住在孔雀的右边．猜一猜，这几只动物各住在几号房间． 28．七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为 9 条、11 条、10 条、12 条、21 条、22 条、40 条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的5倍．问：黑色的金鱼有几条？ 29．八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后，八一队赛了场，北京队赛了场，江苏队赛了场，山东队赛了场。那么广东队赛了几场？ 30．一个盒子中装有七枚硬币，两枚1分，两枚5分，两枚1角，一枚5角，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中，如此反复取出和放回，那么记下的和最多有多少种不同的钱数？ 31．甲、乙、丙三人分别是医生、教师、解放军，甲不是教师，他和丙正在听解放军讲军事演习情况。请你猜一猜甲、乙、丙三人的职业。 32．有甲、乙两个容器，其中甲容器装了800克纯酒精，乙容器装了640克纯净水。第一次将甲容器中的纯酒精倒一半给乙容器，混合后，再把乙容器中的溶液倒一半给甲容器。这样视为一次操作。连续三次操作后，甲容器中的溶液有多少克？其中含有纯酒精多少克？ 33．甲、乙、丙三人中有一个是凶案的疑犯，警察审讯三人时。 甲说：“丙是真正的凶手。” 乙说：“我什么都不知道，不关我的事情。” 丙说：“我亲眼看见是乙在行凶。” 他们三人中只有一人说谎话，谁是凶手？ 34．数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌．老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌．”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？ 35．王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：（1）张贝从未上过天；（2）跳伞运动员已得过两块金牌；（3）李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生。请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？ 参考答案： 1．500根 【详解】商人带驴驮1000根胡萝卜，先走250公里，这时，驴已吃250根，放下500根，原地返回，又吃掉250根．商人再带驴驮1000根胡萝卜，走到250公里处，这时，驴已吃250根，再驮上原先放的500根中的250根，继续前行至500公里处，这时，驴又吃250根，放下500根，剩250根返回250公里处，在驮上250公里处剩下的250根返回原地，这时驴又吃250根．商人再带驴驮1000根胡萝卜，走到500公里处，这时，驴已吃500根，再驮上原先放的500根，走出沙漠，驴吃掉500根，还剩500根． 2．甲教语文、英语，乙教数学、美术，丙教音乐、体育 【分析】关系比较复杂的逻辑推理问题，可以用列表的方法解答．在表中用“√”表示肯定，用“×”号表示否定．由“每人教两门”知对应的每一横行有2个“√”；由于每门课只有1人教，知每一竖列只有一个“√”． 【详解】由(3)知，甲不是体育、数学老师；由(5)知，乙不是语文、音乐老师；由(2)(4)知，乙不是体育老师．由此推知丙为体育老师(因为甲、乙不是体育老师)． 由(3)知，体育老师与数学老师不是同一人，故丙不是数学老师．由此推知乙为数学老师． 由(1)知，英语老师与数学老师不是同一人，故乙不是英语老师．由此推知乙为美术老师．于是，甲与丙都不是美术老师． 再由(4)知，体育老师与语文老师不是同一人．故丙不是语文老师．由此推知甲是语文老师． 再由(5)知，语文老师与音乐老师 不是同一人，故甲不是音乐老师．由此推出甲为英语老师．从而，丙不是英语老师，丙为音乐老师． 详见下表： 综上可知，甲教语文、英语，乙教数学、美术，丙教音乐、体育． 3．第一名13分，第二名12分，第三名11分，第四名10分 【分析】已知每支球队都要和其他7支球队比赛一场，也就是每支球队要比赛7场，去除重复的情况，用8×7÷2即可求出比赛的总场数，也就是28场，每场两队的积分和是2分，比赛之后所有球队的总积分是（28×2）分，也就是56分，第一名最多6胜1平，也就是13分，排名没有并列，所以第二名最多12分，第三名最多11分，第四名最多10分，据此可知后4名的总分之和最少是（56－13－12－11－10）分，也就是10分，因为获得第四的队伍积分与后四名的球队积分之和相等，可知第四名最少也是10分，据此可知第四名的积分是10分，以此解答。 【详解】8×7÷＝28（场） 28×2＝56（分） 第一名最多得： 6×2＋1 ＝12＋1 ＝13（分） 第二名最多12分，第三名最多11分，第四名最多10分， 又第四名最少56－13－12－11－10＝10（分） 所以第四名10分，第一名13分，第二名12分，第三名11分。 答：第一名13分，第二名12分，第三名11分，第四名10分。 【点睛】本题主要考查了单循环赛的应用以及推理问题，关键是从条件中推出第四名的积分。 4．解：当然是一个人两个橘子，只是一个连塑料袋一起给他. 【详解】一人一定会分到两个橘子，不要考虑袋子给谁了，最后一个小孩连袋子一起拿走，这时袋子里仍然有2个橘子. 5．小李是大学生，小王是战士，小张是工人. 【解析】略 6．孙老师 【详解】根据题意,只能是钱老师或孙老师去教数学.由于只有钱老师一人能教体育,所以孙老师只能派去教数学． 7．见详解 【分析】每位同学都坐到他的邻座就相当于所有白格同学坐到黑格上，所有黑格同学坐到白格上，再数出图中黑格、白格的数量，根据其数量是否相等可得结论。 【详解】答：划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到。 【点睛】本题考查用图表解决逻辑问题，理解题意是关键。 8．小白、小蓝是骗子，小黑是骑士。 【分析】分别假设小白是骑士或骗子，分析其他人的身份，根据是否有矛盾进行判断。 【详解】假设小白是骑士（说实话），则小蓝是骑士，小黑是骗子； 又因为小蓝是骑士，那么小白、小蓝不同，一个是骑士，一个是骗子，与小白、小蓝均为骑士矛盾。 假设小白是骗子（说假话），那么小蓝是骗子，小黑是骑士，又因为小蓝是骗子，所以小白、小蓝不同是假话。 因此，小白、小蓝是骗子，小黑是骑士。 【点睛】本题考查的是基础的逻辑推理问题，假设法是求解逻辑推理问题常用的方法之一。 9．甲戴黄帽子，穿红衣服；乙戴蓝帽子，穿蓝衣服；丙戴红帽子，穿黄衣服 【分析】我们将题中条件利用下图体现出来，其中实线表示两端需同时成立．虚线表示两端不能同时成立． 【详解】因为戴黄帽子的穿红衣服，而戴红帽子的又不穿蓝衣服，所以对戴红帽子的人而言只能穿黄衣服，所以戴蓝帽子的之只能穿蓝衣服． 乙不穿黄衣服，又不带黄帽子→穿红衣服，所以乙只能穿蓝衣服，即乙—蓝帽子—蓝衣服， 甲不戴红帽子，而乙戴蓝帽子，所以甲戴黄帽子，即甲—黄帽子—红衣服， 所以丙—红帽子－黄衣服． 即甲戴黄帽子，穿红衣服；乙戴蓝帽子，穿蓝衣服；丙戴红帽子，穿黄衣服． 10．7． 【详解】试题分析：根据题意可知①②必须有一个是8，一个是9的，因为从1到9五个数的和最小是1+2+3+4+5=15； 而③⑧=⑦，所以⑦是5，6，7都可以，尽量选小的，因为五个数字中有7号，7号太大了，就会影响）①②＞③④⑤⑥⑦； 而⑧好不在五个数字之中，所以让8号尽量大些，据此解答即可． 解：根据分析及其题意可得： ①②必须有一个是8，一个是9的； 所以⑦是5，6，7都可以． （1）当⑦=5时， ③=1，⑧=4 则1+2+3+5+6=17不符合题意； ③=2，⑧=3时， 则：1+2+4+5+6=18， 显然不合适； （2）当⑦=6时， ③=2，⑧=4 则：1+2+3+5+6=17不合适； ③=1，⑧=5 则1+2+3+4+6=16 故此①②是8和9中的一个，③是1，⑧是5，⑦是6，④⑤⑥就是2，3，4中的一个， 所以⑨是7； （3）当⑦=7时， ③+④+⑤+⑥+⑦＞17不符合题意． 答：：⑨号小球的重量是7． 点评：本题根据题意及其数字之间的关系，推理求证即可，考查了学生的综合分析能力及其灵活多变的能力． 11．合格的排队种数就是(2n)!/[n!n!]- (2n)!/[(n-1)!(n+1)!] =(2n)!/[n!(n+1)!]． 【详解】本题可用递归算法，但时间复杂度为2的n次方，也可以用动态规划法，时间复杂度为n的平方，实现起来相对要简单得多，但最方便的就是直接运用公式：排队的种数=(2n)!/[n!(n+1)!]． 如果不考虑电影院能否找钱，那么一共有(2n)!/[n!n!]种排队方法（即从2n个人中取出n个人的组合数），对于每一种排队方法，如果他会导致电影院无法找钱，则称为不合格的，这种的排队方法有(2n)!/[(n-1)!(n+1)!]（从2n个人中取出n-1个人的组合数）种，所以合格的排队种数就是(2n)!/[n!n!]- (2n)!/[(n-1)!(n+1)!] =(2n)!/[n!(n+1)!]．至于为什么不合格数是(2n)!/[(n-1)!(n+1)!]，说起来太复杂，这里就不讲了． 12．3场 【分析】6位选手之间要进行15场比赛，每位业余选手最高得分18分，每位专业选手最高得分17分，根据选手间的胜负关系，进行假设，得出结论。 【详解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10＋2－3＝9（分）。此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10＋2－2＋3＝13（分）。所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高。 当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10＋2＋2－2＝12（分）。此时，三位专业选手最多共得30＋0＋4＝34（分），其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分。由三个人得34分，34÷3＝11，推知，必有人得分不超过11分。 也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高。 答：一位业余选手最少要胜3场，才能确保他的得分比某位专业选手高。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的数学问题，并与逻辑推理问题、最值问题相结合，可以采用假设法进行求解。 13．3场. 【详解】试题分析：从5号队员开始讨论，他和另外5个队员各赛了1场，由此得出1号只跟5号赛了1场，由此类推即可得出结果． 解：因为是每2个人都要赛1盘，所以可以这样推理： ①5号赛了5场，说明他与1，2，3，4，6，各赛了1场； ②1号赛1场，那么1号只跟5号赛了1场； ③4号赛了4场，除了跟5号赛1场，另外3场是跟2，3，6号； ④那么2号此时分别和5号、4号已赛了2场； ④3号赛了3场，除了和4号，5号之外，又和6号赛了1场． 将上述推理过程用图表示为： 答：此时6号已经赛了3场． 点评：此题逻辑性较强，抓住5号队员逐步展开讨论，即可得出推理结果． 14．甲的表最快，快4分钟 【详解】注意到丁有标准时间依据，从丁开始推算，有各自到达公园的时间为： 丁 9:59 乙 9:56 丙 9:58 甲 9:50 甲说：提前了6分钟，实际上甲提前了10分钟，所以甲表快了4分钟，验证为甲的表的最快． 解法二：丁表快2分钟，丁实际上提前了1分钟到达； 再依据丙的话，丙表慢1分钟，丙实际提前2分钟到达； 再依据乙的话，乙表准时，乙实际提前4分钟到达； 再依据甲的话，甲表快4分钟，甲提前了10分钟． 于是，甲的表最快，快4分钟． 15．5本 【详解】尝试可得：6×16=38+25+26+4+3 所以卡通书有5本． 16．刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹 【分析】因为兄妹二人不许搭伴，由第一盘看出：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹；由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹。 【详解】列表分析如下： 小丽 小英 小红 刘刚 × × √ 马辉 × √ × 李强 √ × × 综上所述：刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹； 答：刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，“兄妹二人不许搭伴”这个条件是求解问题的关键。 17．7分；有可能出线 【分析】四个队进行单循环比赛，总的比赛场次是6场，总分在12~18分之间，根据各队之间的胜负关系进行分析。 【详解】（场） （分） 总分最高是18分； 如果某队积分，则剩下分，可能另两个队也各得分，这样就要按进一步规则排序，因此该队有可能不出线； 如果某队积分，则剩下分，这样另外三个队中不可能再有两个队积分等于或超过分，这样该队必然出线； 因此一个队为了晋级下一轮，至少要积分才能保证必然出线。 若有一个队总积分是分，则其它三个队共积（分），这个队可能排名前两名，所以有可能出线。 答：至少要积7分才能保证本队必然出线；积 5分有可能出线。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题与最值问题，也可以结合实际情况进行探究。 18．可能胜场，也可能胜场 【分析】四人进行单循环赛，总共比6场，其中每人比赛3场，可以假设三人获胜的场数，进行分类讨论。 【详解】东东、西西、南南、北北四人进行单循环赛，则每人都赛场，共赛（场）； 如果其中有三人都胜场，则至少进行场比赛，这是不可能的； 如果其中有三人都胜场，那么场比赛中的获胜者都在这三个人中，每人胜了场，另一个人胜场； 如果其中有三人都胜场，那么场比赛中的场这三人各胜场，另外场的胜者必是第四个人，故另一个人胜场； 三个人都胜场也是不可能的； 因此，如果有人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜场，也可能胜场。 答：另一个人可能胜0场，也可能胜3场。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题，当有多种情况时，需要进行分类讨论。 19．猜对了第三包是黄的，猜对了第二包是蓝的，猜对了第一包是红的，猜对了第四包是白的，猜对了第五包是紫的。 【分析】每人只猜两包，且每人都只猜对了一包，第一包只有C猜过，所以C猜第一包是红的是正确的，那么C猜第五包是白的就是错误的，然后列表分析其余的情况。 【详解】第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上“×”第四包不为红色，第四包为白色，白色不能为第五包，第五包就为紫色，同理可知其余各包颜色。 红色 黄色 蓝色 白色 紫色 一 √ × × × × 二 × × √ × × 三 × √ × × × 四 × × × √ × 五 × × × × √ 答：A猜对了第三包是黄的， B猜对了第二包是蓝的， C猜对了第一包是红的， D猜对了第四包是白的， E猜对了第五包是紫的。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，先把能确定的确定下来，再考虑其它的，这是逻辑推理的一般思路。 20．这堆桃子至少有3121只． 【详解】第一只猴子扔掉1个，拿走624个，余2496个； 第二只猴子扔掉1个，拿走499个，余1996个； 第三只猴子扔掉1个，拿走399个，余1596个； 第四只猴子扔掉1个，拿走319个，余1276个； 第五只猴子扔掉1个，拿走255个，余4堆，每堆255个． 如果不考虑正负，-4为一解 考虑到要5个猴子分，假设分n次． 则题目的解: 5^n-4 本题为5^5-4=3121. 设共a个桃，剩下b个桃，则b=(4/5)((4/5)((4/5)((4/5)((4/5)(a-1)-1)-1)-1)-1)-1)，即b=（1024a-8404）/3125 ; a=3b+8+53*(b+4)/1024，而53跟1024不可约，则令b=1020可有最小解，得a="3121" ,设桃数x,得方程 4/5{4/5{4/5[4/5(x-1)-1]-1}-1}=5n 展开得 256x=3125n+2101 故x=(3125n+2101)/256=12n+8+53*(n+1)/256 因为53与256不可约,所以判断n=255有一解.x为整数,等于3121． 21．一个 【分析】因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符，所以在贴有“红白”标签的罐子中只能是两红或两白，从中取出一个，即可判断出来。 【详解】那么只需在“红白”罐子中取出一个彩球，若是红色球，则可知罐中是两红，那么标有“两白”的罐子中就是“一红一白”，标有“两红”的罐子中就是“两白”； 若是白色球，则可知罐中是“两白”，那么标有“两红”的罐子中就是“一红一白”，而标有“两白”的罐子中就是“两红”。 答：最少需要一次。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，由于题目问的是最少的情况，直接考虑最幸运的情况。 22．徐：车工    王：钳工    陈：木工    赵：电工 【分析】属于两者的列表推断题，设计好表格． 【详解】将已知条件填入表格： 联系（1）（2）可知王师傅不是电工也不是车工，又由（2）知王师傅不是木工，所以王师傅是钳工． 联系（1）（2）可确定徐师傅是车工，然后再根据排他性原理与互补性原理把表格补充完整. 23．甲是日本人，乙是中国人，丙是英国人． 【解析】略 24．小张是工人，小李是农民，小王是教师。 【分析】小王、小张、小李三人对应工人、农民、教师三个身份，典型的列表分析的题目，先确定表头，再根据条件进行分析判断。 【详解】由题目条件列表分析： 工人 农民 教师 小王 × × √ 小张 √ × × 小李 × √ × 所以小张是工人，小李是农民，小王是教师。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，列表推理是求解此类问题最常用的方法。 25．乙第名、丁第名、甲第名、丙第名 【分析】既然他们每人只说对了一半，不妨设甲的前半句话是对的，那么后半句话就是错的，然后分析其余3人所说的话是否也是只对了一半，观察是否有矛盾。 【详解】假设甲说的第一句话“丙第名”是对的，第二句话“我第名”是错的。由此推知乙说的“我第名”是错的，“丁第名”是对的；丙说的“丁第名”是错的，“丙第名”是对的。这与假设“丙第名是对的”矛盾，所以假设不成立。 再假设甲的第二句话“我第名”是对的，那么丙说的第二句“我第名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第名”是对的；由此推出乙说的“丁第名”是错的，“我第名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第名、丁第名、甲第名、丙第名。 【点睛】对于此类逻辑推理问题，由于是非此即彼的关系，如果第一次假设不成立，就一定是第二种情况。 26．丁 【分析】典型的逻辑推理问题，四个人只有一人说谎，可逐一进行假设，寻找矛盾，进行排除，也可根据四个人所说的话的逻辑关系进行分析。 【详解】根据“乙：是丁打碎的”，“丁：我才不干这种事”，二者必有一人说谎，假设乙说真话，即丁打碎的玻璃，此时丁说谎话，甲、丙都说真话，没有矛盾，假设成立，所以是丁打碎的玻璃。 【点睛】假设法作为逻辑推理常用的方法，关键是合理假设，小心求证，有矛盾，则假设不成立，没有矛盾，则假设成立。 27．孔雀住在1号房间，熊猫住在2号房间，松鼠住在3号房间，小象住在4号房间，小羊住在5号房间． 【详解】由“熊猫住的不是1、3、5号”，可以推断熊猫住的可能是2号或4号．又根据“小象住的号数是熊猫的2倍”，可以肯定熊猫住的是2号，小象住的是4号；再根据“小羊住在小象的右边”，可以肯定小羊住的是5号；根据“孔雀住的离熊猫最近，熊猫住在孔雀的右边”，可以肯定孔雀住的是1号；那么剩下的松鼠住的就是3号了． 28．11条 【详解】9+11+10+12+21+22+40 =20+10+12+21+22+40 =30+33+62 =125（条） 125-9=116，116不能被6整除， 125-11=114，114÷6=19，能被6整除， 125-10=115，不能被6整除， 125-12=113，不能被6整除， 125-21=104，不能被6整除， 125-22=103，不能被6整除， 125-40=85，不能被6整除， 所以黑色的金鱼有11条． 29．场 【分析】五队进行单循环比赛，每个队都要和其余的4支队比一场，可以根据八一队、北京队、江苏队、山东队的比赛情况，找出他们和谁比过了，没有和谁比过，然后确定广东队赛了几场。 【详解】八一队赛了场，说明八一队和其它四队都赛过了； 山东队赛了场，说明只和八一队赛过； 北京队赛了场，说明与八一队、江苏队、广东队赛过； 江苏队赛了场，说明与八一队、北京队赛过； 由此可知，广东队只和八一队、北京队赛过，赛了场； 答：广东队赛了2场。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题，可以画图分析各个队之间的比赛情况。 30．9 【详解】列出所有的情况，和可以是 1分+1分=2分；1分+5分=6分；5分+5分=1角；1分+1角=1角1分；5分+1角=1角5分；1角+1角=2角；1分+5角=5角1分；5分+5角=5角5分；1角+5角=6角．一共9种． 31．甲是医生；乙是解放军；丙是教师 【分析】根据甲和丙正在听解放军讲军事演习情况可得，乙是解放军；又因为甲不是教师，所以甲是医生；那么剩下的丙是教师；据此解答即可。 【详解】根据分析得：乙是解放军；甲是医生；丙是教师； 答：甲是医生；乙是解放军；丙是教师。 【点睛】本题考查了简单的逻辑推理，关键是根据逻辑关系确定乙是解放军。 32．957.5克，537.5克 【分析】根据题意来回操作比较复杂，这样的情况列表会比较理清题目的意思。第一次操作的过程中，开始是甲容器是800克纯酒精，乙容器是640克纯净水，甲倒入了一半的酒精也就是400克给乙，这时甲容器里面有400克的酒精，乙容器里面有400克的酒精和640克的水，这时乙溶液是混合的，倒入一半给甲时，也就是乙容器里面的酒精倒入一半给甲，水也倒入一半，这时甲里面酒精有自己的400克和乙容器里面一半的（200克）酒精，以及乙容器640克水的一半（320克）。乙里面的酒精有剩下一半的酒精（200克）和剩下的一半的水（320克），同理第二次和第三次同样的操作，列出表格。 【详解】根据题意列出如下表格： 537.5＋420＝957.5（克） 答：甲容器中的溶液有957.5克，其中含有纯酒精537.5克。 33．丙 【分析】典型的逻辑推理问题，三个人只有一人说谎话，可逐一进行假设，寻找矛盾，进行排除，也可根据三个人所说的话的逻辑关系进行分析。 【详解】乙和丙所说的话必然一真一假，假设乙说谎话，甲、丙说真话，即乙是凶手，此时丙说真话，甲说谎，有矛盾，假设不成立；假设丙说谎，甲、乙说真话，即乙不是凶手，此时乙说真话，甲说真话，没有矛盾，丙是凶手。 【点睛】假设法作为逻辑推理常用的方法，关键是合理假设，小心求证，有矛盾，则假设不成立，没有矛盾，则假设成立。 34．小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌． 【详解】（1）若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意． （2）若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的，那么“小强不得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌． 35．王文是跳伞运动员，李丽是游泳运动员，张贝是田径运动员 【分析】王文、张贝、李丽三个人对应跳伞、田径、游泳三个项目，典型的列表推理的问题，先确定表头，再根据条件进行分析。 【详解】如下表所示： 王文 张贝 李丽 跳伞 √ × × 田径 × 游泳 √ 由（1）（3）可知张贝、李丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员；由（3）可知，李丽也不是田径运动员，可填出第三列，即李丽是游泳运动员，则张贝是田径运动员。 答：王文是跳伞运动员，李丽是游泳运动员，张贝是田径运动员。 【点睛】列表法求解逻辑推理问题能清楚地找到所给条件之间的关系，在表中“√”表示是，“×”表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是“√”，可推出其它两格是“×”。 学科网（北京）股份有限公司 $$