小升初典型奥数：列方程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

列方程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1.知识概要 列方程解应用题是在初步学会用含有未知数的等式解一些需要逆向思考的简单应用题的基础上学习的。学好列方程解应用题的关键是在理解题意分析数量关系的基础上正确找出应用题中数量间的相等关系。列方程解应用题是简易方程知识的实际应用，也是一种重要的数学方法。它能使一些问题化难为易，拓展解题思路，提高解题的灵活性和变通性。 2.列方程解应用题的一般步骤 （1）审题（弄清未知数和未知数与已知条件之间的数量关系）。 （2）设未知数。 （3）概括等量关系，列出方程。 （4）解方程。 （5）检验，作答（将解得的结果代入原应用题.依题意检验，看答案是否正确）。 3.掌握分析等量关系的方法 （1）根据常见的数量关系找等量关系。如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。 （2）根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。如： 三角形的面积=底×高÷2； 长方形的周长=（长+宽）×2等。 （3）根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。 （4）对于较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法分析题意找出等量关系。 4.弄清列方程解应用题和用算术方法解应用题的区别与联系 （1）列方程解应用题，未知数用字母表示参加列式。根据题中数量间的相等关系，列出含有未知数x的等式。 （2）用算术方法解应用题，未知数不参加列式，根据题中数量间的关系，确定解答方法，再列式计算。 （3）列方程解应用题和用算术方法解应用题是以四则运算的意义和常见的数量关系为基础和依据的。 第二部分 典型例题 例题1：向100名同学调查春游去长城还是去香山的态度，赞成去长城的人数是全体的；赞成去香山的人数比赞成去长城的多3人，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的多1人，求对去长城和香山都赞成和都不赞成的学生各有多少人？ 【答案】都赞成的：36人；都不赞成的：13人 【分析】所求的都赞成和都不赞成的学生都包含在100名同学中，由于问题较复杂，我们在100人中利用逐步排除法进行计算．如下图所示，用长方形I表示100名被调查的学生，A表示赞成去长城的学生，B表示赞成去香山的学生，则A中有（人），B中有60＋3＝63（人），若设去两处都赞成的学生有x人，则去两都不赞成的学生有（）人． 【详解】解：设去两处都赞成的学生有x人，则两都不赞成去的学生有（）人 解得x＝36 故两都不赞成去的学生有：（人） 答：去两处都赞成的学生有36人，去两处都不赞成的学生有13人． 例题2：一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项．已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？ 【答案】29人 【分析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数．解答这类问题最好先画图，它可以帮助我们分析数量关系． 【详解】解：设两项比赛都参加的有X人，那么 （37+40）-X=48 X=29 【点睛】一般地，假设具有性质A的事物（人）有XA个，具有性质B的事物（人）有XB个，既具有性质A，又具有性质B的事物（人）有XAB个，至少具有A、B中一种性质的事物（人）有X个，那么：X=（XA＋XB）-XAB．这个关系式可用下图来表示： 这个示意图直观形象地揭示了包含排除原理，同时也为计算一些组合图形的面积提供了另一种思路． 例题3：某学校举办数学夏令营活动，由5名老师带领若干名学生参加，学校联系了两家标价相同的旅行社（每名老师和每名学生的费用也相同）。经过商议后，甲旅行社给出的优惠是：老师的费用按原价，学生的费用打七折；乙旅行社给出的优惠是：老师、学生的费用全部打八折。经过计算，甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，那么学生有多少名？ 【答案】70名 【分析】甲乙旅社的标价是一样的，可以每人的标价为100元，则5名教师就是500元。再设有x个学生，甲旅社是老师的费用是按照原价，学生的费用打七折，就是学生的费用现价是原价的70%，即为（100x×70%）元，甲旅社最后的费用再加上500。乙旅社的老师、学生的费用全部打八折，就是现价是原价的80%，即为100（x＋5）×80%元。 甲旅行社优惠后的总费用比乙旅行社优惠后的总费用便宜10%，将乙旅社的费用看成单位“1”，甲是乙的（1－10%），利用乙的费用×90%＝甲的费用解答即可。 【详解】解：设学生有x名，每人100元。 500＋100x×70%＝100（x＋5）×80%×（1－10%） 500＋70x＝80（x＋5）×90% 500＋70x＝72（x＋5） 500＋70x＝72x＋360 72x－70x＝500－360 2x＝140 x＝140÷2 x＝70 答：学生有70名。 【点睛】题目中没有甲乙旅社学生的费用，可以假设学生的价格，再根据数量关系列出方程，求出方程的解。 例题4：水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍．如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个．水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？ 【答案】1440个 【详解】解：设白兰瓜进了x个，则西瓜进了2x个，由天数相等列方程得： 解得，=480 2=960 480+960=1440个 答：西瓜和白兰瓜共1440个． 第三部分 高频真题 1．水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈密瓜，那么哈密瓜卖完后还剩下70个西瓜．问：水果店运来的西瓜和哈密瓜共有多少个？ 2．两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行．甲、乙同时出发10分后，两人与十字路口的距离相等，出发后100分，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？ 3．甲、乙两人加工某种零件，甲先做了3分钟，而后两人又一起做了2分钟，一共加工零件610个．已知甲每分钟比乙每分钟多加工 10 个，那么，甲比乙多加工多少个零件？ 4．有甲、乙、丙三种货物，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙件、丙件，共需元；则购买甲、乙、丙各件，共需要多少元？ 5．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 6．购买3斤苹果，2斤桔子需要元；购买8斤苹果，9斤桔子需要元，那么苹果、桔子各买1斤需要多少元？ 7．假设五家共用一井取水，甲用绳根不够，差乙家绳子根；乙用绳根不够，差丙家绳子根；丙用绳子根不够．差丁家绳子根；丁用绳子根不够，差戊家绳子根；戊用绳根不够，差甲家绳子根．如果各得所差的绳子根，都能到达井深．问井深，绳长各是多少？（井深为小于的整数） 8．小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走36级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端（很危险哦，不要效仿!），用下楼时5倍的速度需要走60级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级？ 9．由于教育水平的差异，新学期开学，相邻的甲、乙两校入学新生人数相差较大。甲校人数比乙校人数的3倍多30人，而乙校的人数比甲校的3倍少730人。甲校有新生多少人？ 10．李同学计划用35元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。她最多能买多少支，最少能买多少支？ 11．在甲容器中装有浓度为的盐水毫升，乙容器中装有浓度为的盐水毫升．如果先从甲、乙两容器中倒出同样多的盐水，再将它们分别倒入对方的容器内搅匀，结果得到浓度相同的盐水．问甲、乙两容器各倒出了多少毫升盐水？ 12．有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？ 13．有一个水池，第一次放出全部水的，第二次放出30立方米水，第三次又放出剩下水的，池里还剩水54立方米，全池蓄水为多少立方米？ 14．五(2)班同学去公园划船．如果租来的船每条船坐4人，则有7人不能上船；如果每条船坐5人，则多一条船．五(2)班租了多少条船?共有学生多少人? 15．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 16．在共有100匹马跟100块石头，马分3种，大型马；中型马跟小型马．其中一匹大马一次可以驮3块石头，中型马可以驮2块，而小型马2头可以驮一块石头．问需要多少匹大马，中型马跟小型马？（问题的关键是刚好必须是用完100匹马） 17．从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的一半是上坡路，一半是下坡路．小明上学走两条路所用的时间一样，如果下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路的多少倍． 18．某校男生人数比全校学生总人数的多72人，女生人数比全校学生总数的少20人，这个学校男、女生各有多少人？ 19．林林一家四口的年龄之和是147岁，爷爷比爸爸大38岁，妈妈比林林大27岁，爷爷的年龄是林林与妈妈年龄之和的2倍，林林一家四口的年龄各是多少岁？ 20．老师和同学共88人，一起植树，男生比女生少4人，老师平均每人植110棵，男生平均每人植100棵，女生平均每人植80棵，师生共植了8040棵．问老师有多少人？ 21．有两块地共90公亩，第一块地的和第二块地的种茄子，两块地余下的共45公亩种西红柿．求第一块地有多少公亩？ 22．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的 3 倍多 2 个。如果从箱子里取出 7 个白球，再放进7 个红球，这时箱子里红球的个数是白球的 4 倍。箱子里原有红球、白球各多少个？ 23．学生共植杉树苗与杨树苗 100 棵，每小组分杉树苗 6 棵，杨树苗 8 棵，最后杉树苗正好分完，杨树苗还剩下 2 棵。原来杉树苗与杨树苗各有多少棵？ 24．三张卡片上分另标有、、数码(整数)且，游戏时将三张卡片随意分发给、、三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干轮，结果、、C三人得分总数分别为20、10、9．已知在最后一轮的得分是，那么⑴谁在第一轮得分是；⑵、、分别是多少？ 25．黎明同学看一本书，如果他每天看的页数比前一天增加一倍，6天正好看完．已知这本书共有126页，他第几天看到第24页？ 26．某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产、两种产品共件，已知每生产一件产品需甲原料千克和乙原料千克；每生产一件产品需甲原料千克和乙原料千克．现在工厂里只有甲原料千克和乙原料千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产、两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案． 27．一件工作，甲单独做12小时完成，现在甲、乙合作2小时后甲因事外出，剩的工作乙又用了5小时做完，如果这项工作由乙单独做需要几小时？ 28．张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式．一种付款方式是开始第一年先付7万元，以后每年付款1万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款2万元，后一半时间，每年付款1万5千元．两种付款方式的付款总数和付款时间都相同．假如一次性付款，可以少付房款1万6千元．现在张老师决定采用一次性付款方式．问：张老师要付房款多少万元？ 29．志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？ 30．学校田径队的小刚在400米跑步测试时，先以每秒6米的速度跑完了大部分路程，最后进入冲刺阶段时，他以每秒8米的速度冲到了终点，成绩为1分零5秒，问小刚在离终点多远时开始冲刺． 31．某校组织150名师生到外地旅游，这些人5时才能出发，为了赶火车，6时55分必须到火车站．他们仅有一辆可乘50人的客车，车速为36千米/时，学校离火车站21千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行．如果步行每小时能走4千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？ 32．新学期开始，有一批新的教科书要分发到各位学生手中，这批教科书必须由一个小组的学生来搬，这批教科书如果由小组中的男生来搬，每人搬25本，那么还有15本没人搬，如果由小组中的女生来搬，每人搬20本，那么最后一名女生只需要搬10本．已知这个小组的学生一共有8人，求男、女生各有多少名？ 33．一个大人一餐能吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿共100人，一餐刚好吃100个面包，这100人中，大人和幼儿各有多少人？ 34．苹果和梨各有若干个，如果5个苹果和3个梨装一袋，那么还多4个苹果，梨恰好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，那么苹果恰好装完，还多12个梨，那么苹果和梨各有多少个？ 35．在一条长12米的电线上，黄甲虫在8:20从右端以每分钟15厘米的速度向左端爬去，8:30红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬去，红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的中间？ 36．买三种水果30千克，共用去80元．其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元．问三种水果各买了多少千克？ 37．有两支香，第一支长厘米；第二支长厘米，同时点燃后，都是平均每分钟燃掉厘米，多少分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的倍? 38．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？ 39．某人装修房屋，原预算25000元．装修时因材料费下降了20％，工资涨了10％，实际用去21500元．求原来材料费及工资各是多少元？ 40．五（1） 班图书角的文艺书比科技书的 2 倍多 10 本，后来又买来 30 本文艺书，借出了 5 本科技书，这时图书角的文艺书是科技书的 4 倍，原来图书角有文艺书、科技书各多少本？ 41．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有多少级台阶？． 参考答案： 1．900个 【详解】解：设一共卖了 x 天．可以根据题目条件列出方程：130x70436x 整理得到14x70 解得 x5 所以哈密瓜共有365180（个） 西瓜和哈密瓜总共有18014900（个）． 2．5400米 【分析】设甲乙速度各为x、y 米/分钟，根据甲，乙同时出发10分钟，两人与十字路口的距离相等和出发后100分钟，两人与十字路口的距离再次相等，由此即可列出方程1200﹣10x=10y；100x﹣1200=100y，由此即可得出一个关于x、y的二元一次方程组，解得这个方程组即可解决问题． 【详解】方法一：方程法． 解：设甲乙速度各为x、y 米/分钟，根据题意可得方程组：； 方程组可以整理为：； ①+②可得：2y=108，则y=54， 把y=54代入②可得：x=66， 所以甲乙二人距离十字路口的距离为：54×100=5400（米）， 答：出发100分钟后，甲乙两人离十字路口的距离为5400米． 方法二：第一次距离十字路口相等时，二人行走的路程之和是1200米，第二次距离十字路口相等时，甲行走的路程和乙行走的路程之差是1200米，所以可得： 甲乙二人的速度之和是：1200÷10=120（米/分）； 甲乙的速度之差是1200÷100=12（米/分）， 所以甲的速度是：（120+12）÷2=66（米/分）； 乙的速度是66﹣12=54（米/分）， 所以甲乙离十字路口的距离是：54×100=5400（米）， 答：100分钟后，甲乙两人离十字路口的距离为5400米． 3．290个 【详解】解：设乙每分钟做x个，则甲每分钟做（x+10）个 3×（x+10）+(x+x+10) ×2=610 解得，x=80 甲：80+10=90 甲一共做了：90×（2+3）=450（个） 乙一共做了：80×2=160（个） 甲比乙一共多做了：450-160=290（个） 答：甲比乙一共多做了290个． 4．6 【详解】设甲、乙、丙的单价分别为，，，则， 由得，即各买一件需要元． 本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的． 5．286米 【详解】本题属于追及问题，行人的速度为千米/时=米/秒，骑车人的速度为千米/时=米/秒．火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差．如果设火车的速度为米/秒，那么火车的车身长度可表示为或，由此不难列出方程．设这列火车的速度是米/秒，依题意列方程，得，解得．所以火车的车身长为（米）． 6．2.7 【详解】假设购买1斤苹果、桔子分别需要元、元，则： ， 两式相加得，即． 所以各买1斤需要元． 点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买斤苹果和斤苹果，须元，所以各买1斤需要元. 7．甲265、乙191、丙148、丁129、戊76 【详解】依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为、、、、，井深，则可列出方程组如下： 这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代，，，， 代入最后一个式子，，即，所以，． 于是，，，，． 8．54级 【详解】小淘气上楼走60级的时间，下楼只能走60÷5=12（级）．而下楼走了36级，所以下楼用的时间是上楼时间的36÷12=3倍． 设小淘气上楼的时间自动扶梯走了x级，根据自动扶梯的级数可列方程：36+3x=60-x 解得x=6 自动扶梯有60-x=54（级）． 9．270人 【分析】根据题意，设乙校人数为x人，则甲校人数为（3x＋30）人；根据“甲校人数比乙校人数的3倍多30人，而乙校的人数比甲校的3倍少730人”这一等量关系，列式为：3×（3x＋30）－730＝x，据此解题即可。 【详解】解：设乙校人数为x人，则甲校人数为（3x＋30）人，可得： 3×（3x＋30）－730＝x 9x＋90－730＝x 8x＝640 x＝80 80×3＋30 ＝240＋30 ＝270（人） 答：甲校有新生270人。 【点睛】找出题中的等量关系，是解答此题的关键。 10．16支；10支 【分析】由于李同学2元、3元、4元的不同的圆珠笔每种至少要买一支，可令李同学先买了三种各一支，除去这一支剩下的买的2元、3元、4元的分别是x，y，z支。 则2x＋3y＋4z＝35－9＝26。 现在要买的尽量多，则尽量多买便宜的，即均买2元的，可买13支，则最多可以买13＋1＋1＋1＝16支； 要求尽量少买，则挑贵的买，则尽量都买4元的，可以买6支，还余下2元，买2元1支的，此时可以买6＋1＋3＝10支。 【详解】设李同学先买了三种各一支，除去这一支剩下的买的2元、3元、4元的分别是x，y，z支； 则：2x＋3y＋4z ＝35－9 ＝26 26÷2＝13（支） 13＋1＋1＋1＝16（支） 26÷4＝6（支）……2（元） 2÷2＝1（支） 6＋1＋1＋1＋1＝10（支） 答：她最多能买16支，最少能买10支。 【点睛】要明确：现在要买的尽量多，则尽量多买便宜的，即均买2元的；要求尽量少买，则挑贵的买，则尽量都买4元的；是解答此题的关键。 11．63 【详解】由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为，而甲容器中原来浓度为，所以相互倒了(克)． 另外也可以这样来理解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的． 假设相互倒了克，那么甲容器中是由克的盐水和克的盐水混合，乙容器中是由克的盐水和克的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以，解得． 12．26 【详解】解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙 堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（）个，丙堆石子数变成（）个，有，解得．题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系． 13．200立方米 【分析】如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为x，第二次放出水是30立方米，第三次放出的水是剩下的水（x－x－30）的，所以有这样的等量关系：“第一次放水量+第二次放水量+第三次放水量+剩余水量=全池水量”． 【详解】解：设全池蓄水量为x立方米． x+ 30 +（x- x- 30）× + 54 =x x－x－x= 72 x=200 答：全池蓄水为200立方米． 14．12条船 55人 【分析】解答这道题目，可以用盈亏问题的思路来思考，如果用列方程来解答，同样很合适．前后两种安排座位的方法总人数是不变的．如果设租了X条船，那么总人数既可以表示为(4x+7)人，也可以表示为5(x-1)人，就可以列出方程． 【详解】解答：设租了x条船． 4x+7=5(x-1) 4x+7=5x-5 X=12 4×12+7=55（人） 答：五（2）班租了12条船，共有学生55人． 15．286米 【分析】本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒．火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差．如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程． 【详解】解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得 （x-1）×22=（x-3）×26． 解得x=14． 所以火车的车身长为（14-1）×22=286（米）． 答：这列火车的车身总长为286米． 16．6种结果 【详解】6种结果 需要x匹大马，y匹中型马 3x+2y+½(100-x-y)=100 即5x+3y=100 0＜5x＜100 ∴0＜x＜20 当x=2时，y=30,100-x-y=68 当x=5时，y=25,100-x-y=70 当x=8时，y=20,100-x-y=72 当x=11时，y=15,100-x-y=74 当x=14时，y=10,100-x-y=76 当x=17时，y=5,100-x-y=78 17．倍 【详解】设从家到学校的路程为S，上学时间为T，那么平路上的速度为，那么下坡的速度为，下坡时间为：，所以上坡所花的时间为：，所以上坡的速度为：．所以上坡速度是平路速度的倍． 18．男生332人，女生448人 【详解】解：设这个学校共有x人 x-（x+72）=x-20 解得，x=780 男生：780×+72=332（人） 女生：780×-20=448（人） 答：这个学校男生332人，女生448人． 19．爸爸40岁，妈妈33岁，爷爷78岁，林林6岁 【分析】设林林的年龄是x岁，则妈妈的年龄是（x＋27）岁，爷爷的年龄是2（x＋x＋27）＝（4x＋54）岁，爸爸的年龄是（4x＋54－38）＝（4x＋16）岁，根据一家四口的年龄之和是147岁列方程解答。 【详解】解：设林林的年龄是x岁，则妈妈的年龄是（x＋27）岁，爷爷的年龄是2（x＋x＋27）＝（4x＋54）岁，爸爸的年龄是（4x＋54－38）＝（4x＋16）岁 x＋（x＋27）＋（4x＋54）＋（4x＋16）＝147 x＋x＋27＋4x＋54＋4x＋16＝147 10x＋87＝147 10x＋87－87＝147－87 10x＝60 10x÷10＝60÷10 x＝6 妈妈：x＋27＝6＋27＝33（岁） 爷爷：4x＋54＝4×6＋54＝24＋54＝78（岁） 爸爸：4x＋16＝4×6＋16＝24＋16＝40（岁） 答：爸爸40岁，妈妈33岁，爷爷78岁，林林6岁。 【点睛】本题考查列方程解应用题，用含x的式子表示出每个人的年龄是解题关键。 20．8人 【详解】解：设女生有x人，男生就有x-4人，老师的人数是88-x-（x-4）=92-2x人，根据题意列方程： 80x+100×（x-4）+110×（92-2x）=8040 解得，x=42      92-42×2 =92-84 =8（人） 答：老师有8人． 【点睛】解答此题的关键是设出未知数，分别表示出男生、女生与老师的人数，再根据平均数的意义分别求出他们的植树棵数即可解答问题． 21．36公亩 【详解】解：设第一块地有x公亩，则第二块地有（90-x）公亩，依题意可得： 答：第一块地有36公亩． 22．红球：113个；白球：37个 【解析】略 23．杉树苗42棵，杨树苗58棵 【详解】解：设有x个小组参加植树，则杉树苗的棵树为6x，杨树苗的棵数为8x+2，根据题意列方程： 6x+8x+2=100 14x+2=100 14x=98 x=7 杉树苗有：6×7=42（棵） 杨树苗有：8×7+2=58（棵） 答：原来杉树苗有42棵，杨树苗有58棵． 24．⑴ C ⑵ p=1，q=4，r=8 【详解】三人总分为． 如果游戏进行了39或13轮，则或3，与矛盾；如果游戏只进行了1轮，则，被得到，与“在最后一轮的得分是”矛盾．所以游戏进行了3轮，且． ⑴因为共得10分，且最后一次得分，所以前两次都得分，否则三次至少得13分．因为三次总分比少，所以没得过分，前两次都得分，即第一轮得分的是． ⑵假设三次都得，由得和得，解得，，与矛盾，所以前两次得，最后一次得． 由解得，，． 25．第4天 【详解】解：设第一天看X页． x+2x+4x+8x+16x+2+32x=126 63x=126 x=2 从第一天开始每天看的页数分别是：2页，4页，8页，16页…… 可得，第4天看到第24页． 26．方案一：生产A产品30件，B产品20件 方案二：生产A产品31件，B产品19件 方案三：生产A产品32件，B产品18件 【详解】设生产产品件，则生产产品件．共需要甲原料千克，需要乙原料千克．为避免原料不够用，则，解得．由于是整数，所以共有3种方案：①生产产品30件，产品20件；②生产产品31件，产品19件；③生产产品32件，产品18件． 27．9小时 【详解】解：设甲乙工作效率分别为x，y． 得 1÷=9（小时） 答：乙单独做需要9小时． 28．12.4 【详解】设分期付款方式的付款时间为年，则： ． 将的值代入方程的右式(也可代入左式)，可知分期付款的付款总数为(万元)． 所以，一次性付款的总数为(万元)． 29．10人 【分析】此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，可以画出韦恩图，根据条件对应逐一填入，然后直接运用公式将未知求出． 【详解】 解法一：如图，设三个班都报的同学为x人 140+120+60－60－40－30+x=200 解得x=10 答：共有10人三个班都报了． 解法二： 200－（140+120+60－60－40－30）=10（人）． 30．离终点40米处 【详解】解：设小翔在离终点处x米时开始冲刺，根据题意列方程： 化简得：4（400-x）+3x=1560 解得，x=40 答：小翔在离终点处40米时开始冲刺． 【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 31．见详解。 【分析】如果送到车站，汽车返回再接人，那么到车站的人显然就闲着了，这不利于提高效率，所以，方法应该是：汽车将人送到一个位置，然后让这些人走着去车站，汽车然后再返回接人，再送，这次送的时候要比第一次送的更离车站近，总体来说就是人腿不停，车轮不停，最高效率.思路： （1）150人，50个坐车；剩下100个人开始步行A50个人坐车到第一个下车点下车向车站步行； （2）100人，50个坐车：剩下50个人开始步行，B50人追上A50人然后下车一起步行 （3）50人坐车，到达车站。 如图： 由于汽车走的时候人在走，总时长为T，在期间人走用时也为车走用为时T，这样人走的距离为4T，由于汽车往返了两次，由于往返的路程都是一样长的，所有汽车在总过程前进用时为T，每车人到达终点的5距离都为车走距离加上人走的距离为21千米，所以方程为4T＋36×T＝21，解此方程即可。 【详解】汽车将人送到一个位置，然后让这些人走着去车站，汽车然后再返回接人，再送，这次送的时候要比第一次送的更离车站近。总体来说就是人腿不停，车轮不停，最高效率。设总用时为T，如图： 由图可知，这样人走的距离为4T，汽车在总过程前进用时为T，可得： 4T＋36×T＝21 T＝21 T＝ 小时＝1小时52分30秒〈1小时55分钟 答：汽车将人送到一个位置，然后让这些人走着去车站，汽车然后再返回接人，再送，这次送的时候要比第一次送的更离车站近。总体来说就是人腿不停，车轮不停，效率最高，用时1小时52分30秒。 【点睛】本题考查行程问题中的接送问题，关键思路是“人腿不停，车轮不停，效率最高”。 32．男生3人，女生5人 【详解】解：设这个小组中的男生的人数为 x 人，那么女生的人数为8 x 人 根据题意列方程： 25x 15 20(8 x) 10 25x 15 150 20x 45x 135 x 3 所以这个小组中有男生 3 人，女生8 3 5 人． 33．大人有20人，幼儿有80人 【详解】这是一个鸡兔同笼问题的变形．解：设有x个幼儿，则有个大人，列方程 （人） 34．苹果84个，梨48个 【详解】这也是一个盈亏问题． 方法一：设第一次装了x袋，则第二次装了（袋），有，解得，所以原有苹果（个），原有梨（个）． 方法二：设苹果有x个，则根据两种装法梨的个数相等有 有时候同一个题目设未知量可以有很多角度，但不同的设法可能会造成解方程难度上的差异，如方法二中的方程显然比方法一的方程难解，所以学会合理巧妙地设未知数很重要． 35．9:05时 【详解】8:30时黄甲虫距左端(厘米)，设再经过分钟红甲虫位于蓝、黄甲虫的中间． 此时，红甲虫距蓝甲虫厘米，距黄甲虫厘米； 可得方程，解得． 所以从8:30再过35分钟，即9:05时红甲虫恰在蓝甲虫与黄甲虫的中间． 36．见解析 【详解】该题共有三个未知量，可以设出两个未知数，再设法表示出第三个未知量，列出不定方程．再根据条件求解． 解：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克．根据题意得：  4x+3y+2×（30－x－y）＝80                             2x+y=20  …………(1) x＝10－（1/2）y …………(2) 由式子(1)可知：y<20；由式子(2)可知： y必须是2的倍数．所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18．因此，原方程的解如下表： 苹果 9 8 7 6 5 4 3 2 1 橘子 2 4 6 8 10 12 14 16 18 梨 19 18 17 16 15 14 13 12 11 对不定方程适当变形，通过系数可以更快地看出未知数的特征，从而进一步缩小未知数的取值范围． 37．5分钟 【详解】设分钟后第一支香是第二支香长度的倍．由题意得：，分钟后第一支香的长度是第二支香的长度的倍． 38．甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元． 【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产公斤．由于劳动日为220天，从而有，解这个方程可得x=120（公斤），从而；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是700×120+600×50=84000+3000=114000（元）． 39．材料费：20000元   工资：5000元 【详解】解：设原来材料费x元，那么工资（25000-x）元 （1-20%）x+（1+10%）（25000-x）=21500 解得，x=20000 25000-x=25000-20000=5000（元） 答：原来材料费及工资分别是20000元和5000元． 40．文艺书：70本  科技书：30本 【详解】解：设科技书有x本,文艺书有y本,可列方程组： 解得， 答：文艺书有70本,科技书有30本。 41．60级 【详解】每秒迈一级台阶走20级所花时间为20秒，每秒迈二级台阶走30级所花的时间为15秒，设20秒扶梯向上走级，则15秒走了级．由扶梯长度可得20+=30+，解得=40，扶梯长20+40=60（级）． 学科网（北京）股份有限公司 $$