专题突破1-2 二次函数代数类考点专项复习（4大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题突破 二次函数代数类考点专项复习 一、二次函数的性质方法总结 当a＞0时：抛物线开口向上，图象有最低点，y有最小值，图象上各点谁离对称轴越近谁的y越小； 当a＜0时：抛物线开口向向，图象有最高点，y有最大值，图象上各点谁离对称轴越近谁的y越大； 二、二次函数图象上点的坐标特征方法总结 首先，二次函数解析式中，作用最大的形式是顶点式，或者是已知开口和对称轴（或对称轴表达式已知）的表达式，故遇到此类问题，一定要先将一般式（或交点式）转化为顶点式，或者求出其对称轴的表达式； 其次，既然是图象的问题，那么，有开口和对称轴的简图一定要画出来辅助解题； 最后，遵循一点，点在图象上，则点的坐标符合其表达式，那么二次函数有关的顶点公式、对称轴公式、带入等方法就要立刻想到。 三、求含参数的区间范围内二次函数最值问题方法总结 1、将一般式转化顶点式，画出简图 2、根据对称轴与区间范围的左右关系，将问题分成三类讨论，并找出每种情况下x取哪个值时y得对应最大值 3、将上一步x、y的对应值带入解析式，解出参数字母的值（或范围） 四、二次函数代数类考点综合问题做题思想 一定要画简图，然后题目中提高什么概念，或者问到什么问题，就想对应概念或问题对应的考点和规律。 题型一 二次函数性质类代数考点 【例1】．（2024•镇海区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，函数的最大值为1，则b﹣c＝（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．6 【分析】根据题意得到抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即b＝4，当x＝1时，y＝﹣12+4+c＝1，求出c＝﹣2，即可得到答案． 【解答】解：， ∴抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即b＝4，如图， ∴当x＝1时，y＝﹣12+4+c＝1， 解得c＝﹣2， ∴b﹣c＝4﹣（﹣2）＝6， 故选：D． 【变式1-1】．（2024•温州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，则d的值不可能是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【分析】根据y＞n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再根据二次函数的性质进而求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线x＝＝﹣1， ∵该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点， ∴点M（3，m+1）关于对称轴的对称点为（﹣5，m+1）， ∴d＞3或d＜﹣5， ∴的值不可能是﹣4． 故选：A． 【变式1-2】．（2024•婺城区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 【分析】依据题意，由y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝﹣m+1，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，可得﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝＝﹣m+1． ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ∵﹣m﹣3＜﹣m+1， 又A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q， ∴﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|． ∴|3m﹣1|＜4． ∴﹣4＜3m﹣1＜4． ∴﹣1＜m＜． 故选：A． 【变式1-3】．（2024•北仑区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）是抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上的三个点，若y2＜y1＜y3且y1y2＜0，抛物线对称轴为直线x＝t，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由A（﹣1，y1）、B（2，y2）在抛物线y＝ax2+bx上可得y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，再结合y1y2＜0，可得（﹣1）（+2）＞0，进而可得t＞1或t＜﹣，又y2＜y1＜y3进而分类讨论即可判断t的范围． 【解答】解：由题意，∵A（﹣1，y1）、B（2，y2）在抛物线y＝ax2+bx上， ∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b． 又y1y2＜0， ∴（a﹣b）（4a+2b）＜0． ∴2a2（1﹣）（2+）＜0． 又a＞0， ∴（1﹣）（2+）＜0． ∴（﹣1）（+2）＞0． ∴＞1或＜﹣2． ∴﹣＜﹣或﹣＞1，即t＞1或t＜﹣． ∵y2＜y1＜y3，抛物线开口向上， ∴|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣4|． 下面分两种情形进行讨论． （1）当t＞1时． ①1＜t＜2． ∴2﹣t＜t+1＜4﹣t． ∴＜t＜． ∴此时1＜t＜． ②当2≤t≤4时， ∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣4|， ∴t﹣2＜t+1＜4﹣t． ∴t＜． 又2≤t≤4， ∴此时无解． ③当t＞4时， ∴t﹣2＜t+1＜t﹣4． ∴此时无解． 从上可得，1＜t＜． （2）当t＜﹣时， ①当t＜﹣1时， ∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣4|， ∴2﹣t＜﹣t﹣1＜4﹣t． ∴此时无解． ②当﹣1≤t＜﹣时， ∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣4|， ∴2﹣t＜t+1＜4﹣t． ∴＜t＜． ∴此时无解． 从上可得，当t＜﹣1时，不合题意． 综上，1＜t＜． 故选：C． 【变式1-4】．（2024•东阳市二模）已知二次函数y＝﹣2（x﹣t）（x+t﹣5）+7（t为常数），点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，若y1＞y2，则x1+x2的取值范围为 　x1+x2＞5　． 【分析】通过作差法，根据y1＞y2，可得y1﹣y2＞0，进而求解． 【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣t）（x+t﹣5）+7＝﹣2x2+10x+2t2﹣10t+7， ∴y1＝﹣2+10x1+2t2﹣10t+7，y2＝﹣2+10x2+2t2﹣10t+7， ∵y1＞y2， ∴y1﹣y2＝﹣2+10x1+2t2﹣10t+7﹣（﹣2+10x2+2t2﹣10t+7）＝﹣2（x1﹣x2）（x1+x2﹣5）＞0， ∵x1＜x2， ∴﹣2（x1﹣x2）＞0， ∴x1+x2﹣5＞0， ∴x1+x2＞5． 故答案为：x1+x2＞5． 【变式1-5】．（2024•瓯海区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点（n，y1）和点（n﹣2，y2）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y1，y2的大小关系； （3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为，求a的值． 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解； （2）根据二次函数的图象和性质求解； （3）格局二次函数的最值列方程组求解． 【解答】解：（1）由题意，∵当x＝0时，y＝c， 又过A（2，c）， ∴抛物线的对称轴是直线x＝＝1． （2）由题意，对称轴是直线x＝1， ∵当a＞0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∴y1＜y2； ∵当a＜0时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． ∴y1＞y2； （3）当a＞0时，由题意得：当x＝1时，y值最小， ∴a+b+1＝且﹣＝1， 解得：a＝，b＝﹣； 当a＜0时，由题意得：当x＝﹣1时，y值最小， ∴a﹣b+1＝且﹣＝1， 解得：a＝﹣，b＝， 综上所述：a的值为或﹣． 【变式1-6】．（2024•温州三模）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值． 【分析】（1）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到≤﹣2，解得m≤﹣7； （2）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵抛物线得对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，a＞0， ∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小， ∵x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小， ∴≤﹣2，即m≤﹣7； （2）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3 ①当a＞0 时，开口向上， ∴当x＝1时，y有最大值8a， ∴8a＝3， ∴a＝； ②当a＜0 时，开口向下， ∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a， ∴﹣a＝3， ∴a＝﹣3， 综上，a＝或a＝﹣3． 题型二 二次函数图象上点的坐标特征类代数考点 【例2】．（2024春•镇海区期末）已知二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2（a≠0）的图象上有两点A（x1，p），B（x2，q），其中x1＜x2，则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＞﹣5，则p＞q B．若a＞0，当x1+x2＜﹣3，则p＞q C．若a＜0，当x1+x2＞﹣3，则p＞q D．若a＜0，当x1+x2＜﹣5，则p＞q 【分析】由二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2得，当y＝2时，a（x﹣m+4）（x+m）＝0，解得x1＝m﹣4，x2＝﹣m，则二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2经过点 （m﹣4，2），（﹣m，2），则对称轴为直线 ，再逐项推理即可． 【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2得，当y＝2时，a（x﹣m+4）（x+m）＝0，解得x1＝m﹣4，x2＝﹣m， ∴二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2经过点 （m﹣4，2），（﹣m，2）， ∴对称轴为直线 ， A、若a＞0，当 x1+x2＞﹣5 时， ∵ 则p＜q，故不符合题意； B、若a＞0，当 x1+x2＜﹣3 时， ∵ 则p＜q，故不符合题意； C、若a＜0，当 x1+x2＞﹣3时， 则p＞q，故符合题意； D、若a＜0，当 x1+x2＜﹣5， ∴，则p＜q，故不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】．（2024•江夏区模拟）P（c，m）是二次函数y1＝（x﹣b）（x﹣b﹣1）图象上一点，Q（c，n）是一次函数y2＝x﹣b图象上一点，且m＞n，若A（a，3）是PQ上一点，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 【分析】将点P、Q分别代入对应的解析式，根据m＞n列出不等式（c﹣b）（c﹣b﹣1）＞c﹣b，根据A（a，3）是PQ上一点得到a＝c，继而不等式转化成（a﹣b）（a﹣b﹣1）﹣（a﹣b）＞0，设a﹣b＝t，则有t（t﹣2）＞0，所以t＞2或t＜0，根据选项选择符合条件的选项即可． 【解答】解：∵P（c，m）是二次函数y1＝（x﹣b）（x﹣b﹣1）图象上一点， ∴m＝（c﹣b）（c﹣b﹣1）， ∵Q（c，n）一次函数y2＝x﹣b图象上一点， ∴n＝c﹣b， ∵m＞n， ∴（c﹣b）（c﹣b﹣1）＞c﹣b， ∵A（a，3）是PQ上一点， ∴a＝c， ∴（a﹣b）（a﹣b﹣1）﹣（a﹣b）＞0， 设a﹣b＝t，则有t（t﹣1）﹣t＞0， t2﹣2t＞0，t（t﹣2）＞0， ∴t＞2或t＜0， ∴a﹣b＞2或a﹣b＜0， 故选：C． 【变式2-2】．（2024•钱塘区二模）已知点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0 C．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 D．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 【分析】依据题意，由点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，从而y1＝a（n﹣m）（n﹣m﹣2），y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1），进而根据a＞0和a＜0分别进行分析即可得解． 【解答】解：由题意，∵点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上， ∴y1＝a（n﹣m）（n﹣m﹣2），y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）． 当a＞0时， ①若y1＜0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴0＜n﹣m＜2． ∴（n﹣m+3）n﹣m+1）＞0． ∴y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）＞0，故A错误，不合题意． ②若y1＞0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴n﹣m＜0或n﹣m＞2． ∴（n﹣m+3）n﹣m+1）的符号不确定． 故B错误，不合题意． 当a＜0时， ①若y1＜0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴n﹣m＜0或n﹣m＞2． ∴（n﹣m+3）n﹣m+1）的符号不确定． 故C错误，不合题意． ②若y1＞0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴0＜n﹣m＜2． ∴（n﹣m+3）（n﹣m+1）＞0． ∴y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）＜0，故D正确，符合题意． 故选：D． 【变式2-3】．（2024•西湖区校级二模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（t﹣1，﹣3），（t+1，﹣3）两点，若﹣6≤y≤﹣2时，总有p≤x≤q，则q﹣p的取值范围是（　　） A．1≤q﹣p≤3 B．2≤q﹣p≤3 C．2≤q﹣p≤4 D．1≤q﹣p≤4 【分析】根据题意将两点坐标代入解析式得到y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣2，再令y＝﹣6将函数解析式转化为方程，关键一元二次方程两个根的关系，求出抛物线与直线两个交点的横坐标之差为4，再根据抛物线的对称性和增减性得出结论． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（t﹣1，﹣3），（t+1，﹣3）两点，﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝＝t， ，整理得， ∴抛物线解析式可表示为：y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣2， ∵y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣2＝﹣（x﹣t）2﹣2， ∴抛物线顶点坐标（t，﹣2）， ∵关于x的方程﹣x2+2tx﹣t2﹣2＝﹣6，即﹣x2+2tx﹣t2+4＝0，两个根满足： x1+x2＝﹣＝2t，x1x2＝t2﹣4， ∴丨x1﹣x2丨＝＝＝4， 即抛物线与直线y＝﹣6的两个交点的横坐标之差为4， ∴若﹣6≤y≤﹣2时，总有p≤x≤q，则q﹣p的最大值是丨x1﹣x2丨＝4， p＝t或q＝t时，q﹣p取得最小值：丨x1﹣x2丨＝2， ∴q﹣p的取值范围是：2≤q﹣p≤4． 故选：C． 【变式2-4】．（2024春•鄞州区校级期末）无论m为何实数，二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m的图象总是过定点 　（﹣1，2）　． 【分析】把函数解析式整理成y＝m（x+1）+x2﹣x，然后令x+1＝0计算即可得解 【解答】解：∵y＝x2+（m﹣1）x+m ＝x2+mx﹣x+m， ＝m（x+1）+x2﹣x， ∴无论m为何实数，当x+1＝0， 即x＝﹣1时，y＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2， 即图象总是过定点（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 【变式2-5】．（2023秋•萧山区期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象过点（1，﹣5）． （1）若a﹣b＝7，求函数的表达式； （2）已知点和都在该函数图象上，试比较m、n的大小． 【分析】（1）把（1，﹣5）代入二次函数解析式得：a+b﹣2＝﹣5，然后与已知a﹣b＝7组成方程组，解方程组求得a、b即可； （2）根据函数解析式和a+b﹣2＝﹣5，可以求得函数顶点的横坐标，然后利用分类讨论的数学思想和二次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：（1）把（1，﹣5）代入二次函数解析式得：﹣5＝a+b﹣2， 又∵a﹣b＝7， ∴， 解得， ∴二次函数为y＝2x2﹣5x﹣2； （2）∵y＝ax2+bx﹣2（a≠0），a+b﹣2＝﹣5， ∴b＝﹣3﹣a， ∴该函数的顶点的横坐标是：， ∴当a＞0时，当时，y随x的增大而减小， ∵点和都在该函数图象上，则， ∴m＜n； 当a＜0时，当时，y随x的增大而减小， 点和都在该函数图象上，则， ∴m＞n， 由上可得，当a＞0时，m、n的大小是m＜n，当a＜0时，m、n的大小是m＞n． 题型三 二次函数取值范围类代数考点 【例3】．（2024•广平县模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3． 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1． ∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1． 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1）， ∴+2﹣n＝1，解得：n＝． ∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤， 故选：A． 【变式3-1】．（2024•泰山区二模）设二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＜0），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣2 m n p ﹣2 … 若mn＜0，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．a＜﹣或﹣＜a＜0 【分析】求得对称轴，即可求得顶点为（2，n），﹣＝2，即可得到b＝﹣4a由a＜0可知n是函数的最大值，由mn＜0即可得出m＜0，n＞0，从而得出y＝a﹣4a﹣2＜0，y＝4a﹣8a﹣2＞0，解得即可． 【解答】解：由表格可知，x＝0和x＝4时，y的值都是﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2， ∴顶点为（2，n），﹣＝2， ∴b＝﹣4a， ∵a＜0， ∴n是函数的最大值， ∵mn＜0， ∴m＜0，n＞0， ∴当x＝1时，y＝a﹣4a﹣2＜0，当x＝2时，y＝4a﹣8a﹣2＞0， 解得﹣＜a＜﹣． 故选：C． 【变式3-2】．（2024•崇明区模拟）若二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤5）．若函数过（p，q）点和（p+5，q）点，则q的取值范围为（　　） A．≤q≤ B．﹣4≤q≤﹣ C．2≤q≤ D．﹣≤q≤﹣2 【分析】根据二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤5），可以得到该函数的对称轴，再根据函数过（p，q）点和（p+5，q）点，可以得到＝，然后即可用含m的代数式表示出p，然后根据（p，q）在该函数图象上，代入函数解析式，即可得到关于m的二次函数，再根据m的取值范围，即可得到q的取值范围． 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤5）， ∴该函数的对称轴为直线x＝， ∵函数过（p，q）点和（p+5，q）点， ∴＝， ∴p＝， ∴q＝（﹣m）（﹣1）＝﹣（m﹣1）2+， ∵1≤m≤5， ∴当m＝1时，q取得最大值；当m＝5时，q取得最小值， ∴q的取值范围是≤q≤， 故选：A． 【变式3-3】．（2024•瓯海区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤2 C．﹣3≤m≤﹣1 D．0≤m≤2 【分析】依据题意，由y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，可得当x＝﹣1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，故m≤﹣1≤m+2，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3， ∴当x＝﹣1时，y取最大值是3． 又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3， ∴m≤﹣1≤m+2． ∴﹣3≤m≤﹣1． 故选：C． 【变式3-3】．（2024•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣． 【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1， 顶点坐标为（1，﹣a）， 当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a， ∵y的最小值为﹣4， ∴﹣a＝﹣4， ∴a＝4； 当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值， ∴9a﹣a＝﹣4， 解得a＝﹣； 综上所述：a的值为4或﹣， 故选：B． 【变式3-4】．（2024•鹿城区校级一模）已知A（m，0），B（﹣4，0）为x轴上两点，P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数y＝x2﹣mx+m+2图象上两点，当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，若﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1时，|y1﹣y2|≤16恒成立，则A、B两点的最大距离为 　8　． 【分析】利用二次函数的图象的性质求得m的取值范围，再利用二次函数的性质求得|y1﹣y2|的最大值，最后利用已知条件求得m的最大值，则结论可求． 【解答】解：当x＝1时，y＝3， 抛物线y＝x2﹣mx+m+2的对称轴为直线x＝， ∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小， ∴≥1， ∴m≥2． ∴m+1＞1， 当x＝﹣2时，y＝6+3m，当x＝时，y＝﹣+m+2， ∵﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1， ∴|y1﹣y2|的最大值为6+3m﹣（﹣+m+2）＝+2m+4， ∵|y1﹣y2|≤16恒成立， ∴+2m+4≤16． ∴﹣12≤m≤4， ∵m≥2， ∴2≤m≤4， ∴m的最大值为4， ∴A、B两点的最大距离为4﹣（﹣4）＝8． 故答案为：8． 【变式3-5】．（2023秋•拱墅区月考）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围为 　0≤a≤3　． 【分析】先将点（1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在a≤x≤6时的最大值和最小值即可． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3）， ∴， 解得：， ∴二次函数为y＝﹣x2+6x﹣5， ∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，函数有最大值4， 把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0， 解得x1＝0，x2＝6， 在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5， ∴0≤a≤3． 故答案为：0≤a≤3． 【变式3-6】．（2024•瑞安市校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 【分析】（1）依据题意，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3），从而可得a+2a+c＝0，且c＝3，可得a的值，进而可得函数的表达式； （2）依据题意，由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故当x＝1时，y取最大值为4，再结合t≤1和t＞1分别进行讨论，同时结合m﹣n＝9即可判断得解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）， ∴a+2a+c＝0，且c＝3． ∴a＝﹣1． ∴所求二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）由题意，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＝1时，y取最大值为4． ①当t≤1时， 又﹣2≤x≤t， ∴当x＝t时，y取最大值为﹣t2+2t+3＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴﹣t2+2t+3﹣（﹣5）＝9． ∴t2﹣2t+1＝0． ∴t＝1． ②当t＞1时， 若t﹣1≤1﹣（﹣2），即t≤4， ∴1＜t≤4． ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝﹣5＝n，此时m﹣n＝9，符合题意． 若t﹣1＞1﹣（﹣2），即t＞4， ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝t时，y取最小值为﹣t2+2t+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴n＝﹣5． ∴﹣t2+2t+3＝﹣5． ∴t＝﹣2或t＝4，不合题意． 综上，1≤t≤4． 【变式3-7】．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A（﹣2，﹣4）和B（3，1）两点． （1）求b和c的值（用含a的代数式表示）； （2）若该抛物线开口向下，且经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）已知点M（﹣6，5），N（2，5），若该抛物线与线段MN恰有一个公共点时，结合函数图象，求a的取值范围． 【分析】（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c，即可求解； （2）先求出对称轴为：直线x＝2，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分a＞0时，a＜0时，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c， 得：， 解得：； （2）∵抛物线经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∵抛物线开口向下， 当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小， ∴k﹣3≥2，即k≥5； （3）①当a＞0时，x＝﹣6，y≥5，即a×（﹣6）2+（1﹣a）×（﹣6）﹣6a﹣2≥5， 解得：，抛物线不经过点 N， 如图①，抛物线与线段MN只有一个交点，结合图象可知：； ②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段MN上时，则＝＝5， 解得：a1＝﹣1，a2＝， 当a1＝﹣1时，＝＝1， 此时，定点横坐标满足﹣6≤﹣≤2，符合题意； 当a1＝﹣1时，如图②，抛物线与线段MN只有一个交点， 如图③， 当a2＝时，＝＝13， 此时顶点横坐标不满足﹣6≤≤2，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N时，把N（2，5）代入y＝ax2+（1﹣a）x﹣6a﹣2，得： 5＝a×22+（1﹣a）×2﹣6a﹣2， 解得：a＝， 当a＝时，如图④，抛物线和线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N， 结合图象可知：a＜时，抛物线与线段MN有一个交点， 综上所述：a的取值范围为：a≥或a＝﹣1或a＜． 【变式3-8】．（2023秋•浙江期末）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“美丽点”．例如点（1，1），（1，﹣1），，…，都是“美丽点”． （1）直接写出抛物线y＝x2﹣12上的“美丽点”为 　（4，4），（﹣3，﹣3），（﹣4，4），（3，﹣3）　； （2）若二次函数y＝x2+tx+1的图象上无“美丽点”，则t的取值范围为 　﹣1＜t＜1　； （3）已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0，c≠0）的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是（3，3），当0⩽x⩽m时，函数的最小值为﹣6，最大值为2，求m的取值范围． 【分析】（1）将x＝y和x＝﹣y分别代入y＝x2﹣12求解即可； （2）将x＝y和x＝﹣y分别代入y＝x2+tx+1，再根据二次函数y＝x2+tx+1的图象上无“美丽点”可得b2﹣4ac＜0，计算即可； （3）将（3，3）代入y＝ax2+4x+c可得c＝﹣9a﹣9，再由y＝ax2+4x+c（a≠0，c≠0）的图象上只有三个“美丽点”可得对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，可求得a、c，进而可求m的取值范围． 【解答】解：（1）当x＝y时，有x2﹣x﹣12＝0， ∴（x﹣4）（x+3）＝0， ∴x＝4或﹣3， ∴“美丽点”为（4，4），（﹣3，﹣3）， 当x＝﹣y时，有x2+x﹣12＝0， ∴（x+4）（x﹣3）＝0， ∴x＝﹣4或3， ∴“美丽点”为（﹣4，4），（3，﹣3）， 故答案为：（4，4），（﹣3，﹣3），（﹣4，4），（3，﹣3）； （2）当x＝y时，有x2+（t﹣1）x+1＝0， ∵y＝x2+tx+1的图象上无“美丽点”， ∴b2﹣4ac＝（t﹣1）2﹣4＜0， ∴﹣2＜t﹣1＜2， ∴﹣1＜t＜3， 当x＝﹣y时，有x2+（t+1）x+1＝0， ∵y＝x2+tx+1的图象上无“美丽点”， ∴b2﹣4ac＝（t+1）2﹣4＜0， ∴﹣2＜t+1＜2， ∴﹣3＜t＜1， ∴t的取值范围为：﹣1＜t＜1， 故答案为：﹣1＜t＜1， （3）∵一个“美丽点”是（3，3）， ∴9a+12+c＝3， ∴c＝﹣9a﹣9， ∵y＝ax2+4x+c（a≠0，c≠0）的图象上只有三个“美丽点”， ∴对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根， 当x＝﹣y时，有ax2+5x+c＝0， ∴25﹣4a（﹣9a﹣9）＝0， 化简得：36a2+36a+25＝0， ∴（a+）2＝﹣，此方程无解， 当x＝y时，有ax2+3x+c＝0， ∴9﹣4a（﹣9a﹣9）＝0， 化简得：4a2+4a+1＝0， ∴（2a+1）2＝0， ∴a＝﹣， ∴c＝﹣9×（﹣）﹣9＝﹣， ∴原二次函数为， ∴y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x﹣4）2+2， ∵a＝﹣＜0， ∴当x＝4时，二次函数有最大值为2， ∵当x＝0时，y＝﹣6， ∴（0，﹣6）关于抛物线的对称轴直线x＝4的对称点为（8，﹣6）， ∵当0⩽x⩽m时，函数的最小值为﹣6，最大值为2， ∴m的取值范围为：4≤m≤8． 题型四 二次函数图象与系数关系类代数考点 【例4】．（2024•武威二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可． 【解答】解：①由抛物线的开口方向向下， 则a＜0，故①正确； ②∵抛物线的顶点为P（1，m）， ∴﹣＝1，b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故②错误； ③∵抛物线经过点A（2，1）， ∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③错误； ④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下， ∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确； ⑤∵a＜0， ∴at2+bt﹣（a+b） ＝at2﹣2at﹣a+2a ＝at2﹣2at+a ＝a（t2﹣2t+1） ＝a（t﹣1）2≤0， ∴at2+bt≤a+b，则⑤正确 故选：D． 【变式4-1】．（2024•商河县二模）对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A．c＜ B．0＜c＜ C．﹣1＜c＜ D．﹣1＜c＜0 【分析】由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c＝2x的两个实数根，由Δ＞0且x＝1时y＞0，即可求解． 【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+x+c有两个相异的二倍数点x1、x2是方程x2+x+c＝2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1， 整理，得：x2﹣x+c＝0， 由x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①， 令y＝x2﹣x+c，画出该二次函数的草图如下： × 而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2﹣x+c＝c＞0②， 联立①②并解得：0＜c＜， 故选：B． 【变式4-2】．（2024•衡阳模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c），且满足0＜a+b＜2．当﹣1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（　　） A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m﹣m2 D．m＝n2+n 【分析】由二次函数y＝x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c）两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在0＜c＜1之间，根据函数的最大值是x＝c时所对应的函数值，函数的最小值是x＝﹣1时所对应的函数值，求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2cx+c的图象与x轴交于A（a，c），B（b，c）两点， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∵0＜a+b＜2， ∴0＜c＜1， ∴当﹣1≤x≤1时，函数的最大值是x＝c时所对应的函数值，函数的最小值是x＝﹣1时所对应的函数值， ∴m＝﹣c2+2c2+c＝c2+c，n＝﹣1﹣2c+c＝﹣c﹣1， ∴m＝n2+n 故选：D． 【变式4-3】．（2024•长兴县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【分析】依据题意，由抛物线经过（﹣2，0），再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③，由x＝1时y取最大值可判断④． 【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵﹣2＜﹣1，抛物线过点（﹣2，0）， ∴当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，故①正确． ∵a＜0， ∴抛物线开口向下． 又点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，且点（6，y3）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小， ∴y3＜y1＜y2，②错误． ∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2， ∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2． 由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），（4，0）， ∵抛物线开口向下，x1＜x2， ∴x1＜﹣2，x2＞4，故③正确． ∵﹣＝1， ∴b＝﹣2a． ∵4a﹣2b+c＝0， ∴c＝2b﹣4a＝﹣8a， ∵抛物线的最大值为a+b+c， ∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴am2+bm+c⩽﹣9a，故④正确． 故选：B． 【变式4-4】．（2024•民勤县三模）已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由抛物线满足：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，判断抛物线与x轴的交点，根据图象判断a、c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c， ∴由①可知当a＞0时b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个交点，当a＜0时b2﹣4ac＜0，则抛物线与x轴无交点； 由②可知：当x＝﹣1时，y＜0， 由③可知：﹣b+c＞0， ∵a﹣b+c＜0，∴必须a＜0， ∴符合条件的有C、D， 由C的图象可知，对称轴直线x＝﹣＞0，a＜0，∴b＞0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则b＞c， 由D的图象可知，对称轴直线x＝﹣＜0，a＜0，∴b＜0，抛物线交y的负半轴，c＜0，则有可能b＜c， 故满足条件的图象可能是D， 故选：D． 【变式4-5】．（2024•萧山区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象与y轴交于点A，点B（x1，y1）是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+b（k≠0）经过A，B两点．若x1＜﹣3时，总有k＜0，则m的取值范围为 　m≥﹣　． 【分析】先求得点A（0，m2+1），代入y＝kx+b确定出b＝m2+1，得出直线AB的解析式为y＝kx+m2+1，再联立抛物线解析式，化简得x[x﹣（2m+k）]＝0，最后利用对于x1＜﹣3时，总有k＜0，即可求出答案． 【解答】解：对于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1①， 令x＝0，则y＝m2+1， ∴A（0，m2+1）， ∵点A在直线y＝kx+b（k≠0）上， ∴b＝m2+1， ∴直线AB的解析式为y＝kx+m2+1②， 联立①②整理得，x2﹣2mx+m2+1＝kx+m2+1， ∴x[x﹣（2m+k）]＝0， ∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， ∵点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合， ∴x1≠0， ∴x1＝2m+k， ∵对于x1＜﹣3时，总有k＜0， ∴2m+k＜﹣3，总有k＜0， ∴k＜﹣2m﹣3，总有k＜0， ∴﹣2m﹣3≤0， ∴m≥﹣． 故答案为：m≥﹣． 【变式4-6】．（2024•临安区二模）已知二次函数y＝x2+mx﹣2m﹣4（m是常数）． （1）当m＝2时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点． （3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，求m﹣n的最大值． 【分析】（1）将m＝2代入函数解析式即可解决问题． （2）将y＝0代入，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （3）用m表示n即可解决问题． 【解答】解：（1）将m＝2代入二次函数解析式得， y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9， 所以该二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣9）． 证明：（2）令y＝0得， x2+mx﹣2m﹣4＝0， 因为Δ＝m2﹣4（﹣2m﹣4）＝m2+8m+16＝（m+4）2≥0， 所以无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点． 解：（3）将点P坐标代入二次函数解析式得， m2+m2﹣2m﹣4＝n， 则n＝2m2﹣2m﹣4， 所以m﹣n＝m﹣2m2+2m+4＝﹣2m2+3m+4＝， 所以当m＝时， m﹣n取得最大值为． 【变式4-7】．（2024•舟山三模）已知一次函数y＝x﹣5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．将点A向左平移4个单位，得到点A′，且点A′恰好在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a、b是常数，a≠0）图象的对称轴上． （1）用含a的代数式表示b． （2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． （3）若二次函数图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【分析】（1）求得A的坐标，进一步求得A′的坐标，由点A′恰好在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a、b是常数，a≠0）图象的对称轴上，得到，解得b＝﹣2a； （2）求得对称轴，根据抛物线的对称性可知二次函数过定点（0，﹣3）和（2，﹣3），当x＝2时，一次函数的函数值恰好也是﹣3，即可得到二次函数与一次函数必定交于一个定点（2，﹣3）； （3）①当a＜0时二次函数与y轴交于点（0，﹣3），一次函数与y轴交于点（0，﹣5），两函数必定交于一个定点为（2，﹣3），结合图象可得，a＜0时，均符合题意；②当a＞0时，由题意当x＝5时，y＝25a﹣10a﹣3＜0，解得，当二次函数与线段AB只有一个交点（2，﹣3）时，由 得ax2+（﹣2a﹣1）x+2＝0，由Δ＝0，解得，即可得出a的取值范围是a＜0或或． 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝5， ∴A（5，0）， 将点A向左平移4个单位，得到点A′（1，0）， ∵点A′恰好在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a、b是常数，a≠0）图象的对称轴上． ∴，即b＝﹣2a； （2）方法一： ∵二次函数必过定点（0，﹣3）， 又∵二次函数的对称轴是直线x＝1， ∴二次函数也过定点（2，﹣3）， 当x＝2时，一次函数的函数值恰好也是﹣3， ∴二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为（2，﹣3）； 方法二： 由 得ax2+（﹣2a﹣1）x+2＝0，化简得（ax﹣）（x﹣2）＝0 解得 ，x2＝2 ∴二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为（2，﹣3）； （3）①当a＜0时， ∵二次函数与y轴交于点（0，﹣3），一次函数与y轴交于点（0，﹣5）， 又∵两函数必定交于一个定点为（2，﹣3）， ∴由图象可得，a＜0时，均符合题意； ②当a＞0时， 由图象可得，当x＝5时，y＜0，或者二次函数与线段AB只有一个交点（2，﹣3）时，符合题意． 当x＝5时，y＝25a﹣10a﹣3＜0，解得， 当二次函数与线段AB只有一个交点（2，﹣3）时， 由 得ax2+（﹣2a﹣1）x+2＝0，由Δ＝0，解得， 综上所述，a的取值范围是a＜0或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破 二次函数代数类考点专项复习 一、二次函数的性质方法总结 当a＞0时：抛物线开口向上，图象有最低点，y有最小值，图象上各点谁离对称轴越近谁的y越小； 当a＜0时：抛物线开口向向，图象有最高点，y有最大值，图象上各点谁离对称轴越近谁的y越大； 二、二次函数图象上点的坐标特征方法总结 首先，二次函数解析式中，作用最大的形式是顶点式，或者是已知开口和对称轴（或对称轴表达式已知）的表达式，故遇到此类问题，一定要先将一般式（或交点式）转化为顶点式，或者求出其对称轴的表达式； 其次，既然是图象的问题，那么，有开口和对称轴的简图一定要画出来辅助解题； 最后，遵循一点，点在图象上，则点的坐标符合其表达式，那么二次函数有关的顶点公式、对称轴公式、带入等方法就要立刻想到。 三、求含参数的区间范围内二次函数最值问题方法总结 1、将一般式转化顶点式，画出简图 2、根据对称轴与区间范围的左右关系，将问题分成三类讨论，并找出每种情况下x取哪个值时y得对应最大值 3、将上一步x、y的对应值带入解析式，解出参数字母的值（或范围） 四、二次函数代数类考点综合问题做题思想 一定要画简图，然后题目中提高什么概念，或者问到什么问题，就想对应概念或问题对应的考点和规律。 题型一 二次函数性质类代数考点 【例1】．（2024•镇海区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，函数的最大值为1，则b﹣c＝（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．6 【变式1-1】．（2024•温州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，则d的值不可能是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【变式1-2】．（2024•婺城区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 【变式1-3】．（2024•北仑区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）是抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上的三个点，若y2＜y1＜y3且y1y2＜0，抛物线对称轴为直线x＝t，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】．（2024•东阳市二模）已知二次函数y＝﹣2（x﹣t）（x+t﹣5）+7（t为常数），点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，若y1＞y2，则x1+x2的取值范围为 　 　． 【变式1-5】．（2024•瓯海区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，c）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点（n，y1）和点（n﹣2，y2）均在该抛物线上，当n＜2时，请你比较y1，y2的大小关系； （3）若c＝1，且当﹣1≤x≤2时，y有最小值为，求a的值． 【变式1-6】．（2024•温州三模）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值． 题型二 二次函数图象上点的坐标特征类代数考点 【例2】．（2024春•镇海区期末）已知二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2（a≠0）的图象上有两点A（x1，p），B（x2，q），其中x1＜x2，则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＞﹣5，则p＞q B．若a＞0，当x1+x2＜﹣3，则p＞q C．若a＜0，当x1+x2＞﹣3，则p＞q D．若a＜0，当x1+x2＜﹣5，则p＞q 【变式2-1】．（2024•江夏区模拟）P（c，m）是二次函数y1＝（x﹣b）（x﹣b﹣1）图象上一点，Q（c，n）是一次函数y2＝x﹣b图象上一点，且m＞n，若A（a，3）是PQ上一点，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 【变式2-2】．（2024•钱塘区二模）已知点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0 C．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 D．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 【变式2-3】．（2024•西湖区校级二模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（t﹣1，﹣3），（t+1，﹣3）两点，若﹣6≤y≤﹣2时，总有p≤x≤q，则q﹣p的取值范围是（　　） A．1≤q﹣p≤3 B．2≤q﹣p≤3 C．2≤q﹣p≤4 D．1≤q﹣p≤4 【变式2-4】．（2024春•鄞州区校级期末）无论m为何实数，二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m的图象总是过定点 　 　． 【变式2-5】．（2023秋•萧山区期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象过点（1，﹣5）． （1）若a﹣b＝7，求函数的表达式； （2）已知点和都在该函数图象上，试比较m、n的大小． 题型三 二次函数取值范围类代数考点 【例3】．（2024•广平县模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 【变式3-1】．（2024•泰山区二模）设二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＜0），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣2 m n p ﹣2 … 若mn＜0，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．a＜﹣或﹣＜a＜0 【变式3-2】．（2024•崇明区模拟）若二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤5）．若函数过（p，q）点和（p+5，q）点，则q的取值范围为（　　） A．≤q≤ B．﹣4≤q≤﹣ C．2≤q≤ D．﹣≤q≤﹣2 【变式3-3】．（2024•瓯海区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤2 C．﹣3≤m≤﹣1 D．0≤m≤2 【变式3-4】．（2024•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【变式3-5】．（2024•鹿城区校级一模）已知A（m，0），B（﹣4，0）为x轴上两点，P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数y＝x2﹣mx+m+2图象上两点，当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，若﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1时，|y1﹣y2|≤16恒成立，则A、B两点的最大距离为 　 　． 【变式3-6】．（2023秋•拱墅区月考）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围为 　 　． 【变式3-7】．（2024•瑞安市校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 【变式3-8】．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A（﹣2，﹣4）和B（3，1）两点． （1）求b和c的值（用含a的代数式表示）； （2）若该抛物线开口向下，且经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）已知点M（﹣6，5），N（2，5），若该抛物线与线段MN恰有一个公共点时，结合函数图象，求a的取值范围． 31．（2023秋•浙江期末）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“美丽点”．例如点（1，1），（1，﹣1），，…，都是“美丽点”． （1）直接写出抛物线y＝x2﹣12上的“美丽点”为 　 　； （2）若二次函数y＝x2+tx+1的图象上无“美丽点”，则t的取值范围为 　 　； （3）已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0，c≠0）的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是（3，3），当0⩽x⩽m时，函数的最小值为﹣6，最大值为2，求m的取值范围． 题型四 二次函数图象与系数关系类代数考点 【例4】．（2024•武威二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 【变式4-1】．（2024•商河县二模）对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A．c＜ B．0＜c＜ C．﹣1＜c＜ D．﹣1＜c＜0 【变式4-2】．（2024•衡阳模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c），且满足0＜a+b＜2．当﹣1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（　　） A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m﹣m2 D．m＝n2+n 【变式4-3】．（2024•长兴县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【变式4-4】．（2024•民勤县三模）已知，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①＞4c，②a﹣b+c＜0，③b＜c，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】．（2024•萧山区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象与y轴交于点A，点B（x1，y1）是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+b（k≠0）经过A，B两点．若x1＜﹣3时，总有k＜0，则m的取值范围为 　 　． 【变式4-6】．（2024•临安区二模）已知二次函数y＝x2+mx﹣2m﹣4（m是常数）． （1）当m＝2时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点． （3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，求m﹣n的最大值． 【变式4-7】．（2024•舟山三模）已知一次函数y＝x﹣5的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．将点A向左平移4个单位，得到点A′，且点A′恰好在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a、b是常数，a≠0）图象的对称轴上． （1）用含a的代数式表示b． （2）求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标． （3）若二次函数图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$