高二开学学情调研卷01（摸底考试）-【学情调研】2024年高二数学秋季开学考试（河北专用）

2024年高二数学秋季开学考试（河北专用） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 4．长方体中，，分别为，的中点，为与的交点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．若样本数据的平均数和标准差分别为70，2，则数据的平均数和方差分别为（    ） A．139，4 B．139，16 C．140，4 D．139，64 6．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 7．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（    ） A．与独立 B．与互斥 C． D． 8．在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，，则唯一确定 C．若，则 D．若，则 10．已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B相互独立，则 B．若，则事件A与相互独立 C．若A与B互斥，则 D．若B发生时A一定发生，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（    ）    A．在中点时，平面平面 B．异面直线所成角的余弦值为 C．在同一个球面上 D．，则点轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点，，，若直线，则 ． 13．已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为 ． 14．甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 16．设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 17．甲、乙两篮球俱乐部举行篮球赛，约定第一场在甲俱乐部的主场比赛，第二场在乙俱乐部的主场比赛，交替更换场地进行，先连续获胜两场的队伍直接获胜，否则先获得3场胜利的球队获胜．已知甲俱乐部在主场获胜的概率是，乙俱乐部在主场获胜的概率是， (1)求比赛恰好四场结束的概率； (2)求甲俱乐部获胜的概率． 18．随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ (3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M是棱PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)求平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值． 试卷第10页，共10页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学秋季开学考试（河北专用） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的定义可以求得. 【详解】由共轭复数的定义可得，复数的共轭复数为， 故选：B. 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量的夹角公式求两个向量夹角的余弦值，再利用二面角的余弦值与两法向量夹角余弦值的关系即可得. 【详解】设两平面的夹角为，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 3．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】C 【分析】对于A，根据正八边形的性质可求出，对于B，利用向量的加法法则分析判断，对于C，根据向量的减法法则结合正八边形的性质分析判断，对于D，根据投影向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的夹角为，所以A错误， 对于B，由于四边形不是平行四边形，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以是等腰直角三角形， 所以，， 所以，所以C正确. 结合图形可知在上的投影向量与的方向相反，所以D错误. 故选：C 4．长方体中，，分别为，的中点，为与的交点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，确定四面体外接球球心的位置即可求得答案. 【详解】记外接圆圆心为，四面体外接球球心为O， 则球心O在过且垂直于平面MNC的直线上，记该直线与平面的交点为H，可知H点为PD的中点； 如图所示： 设四面体外接球半径为R，， 则，又因为， 所以，解得， 所以四面体外接球表面积， 故选：B. 5．若样本数据的平均数和标准差分别为70，2，则数据的平均数和方差分别为（    ） A．139，4 B．139，16 C．140，4 D．139，64 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的性质运算求解. 【详解】因为样本数据的平均数为， 所以样本数据的平均数为； 因为样本数据的标准差为2，则其方差为， 所以样本数据的方差为. 故选：B. 6．在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理将化为，然后化简可得答案. 【详解】， 由余弦定理可得，则， 则，所以为直角三角形. 故选：A. 7．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（    ） A．与独立 B．与互斥 C． D． 【答案】D 【分析】写出样本空间及事件，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD. 【详解】样本空间{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件{(正,正),(正,反)}， 事件{(正,反),(反,反)}，事件{(正,正)}，事件{(正,反),(反,正),(反,反)}， 对于A，，而，，与不独立，A错误； 对于B，事件可以同时发生，与不互斥，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，{(正,正),(正,反),(反,反)}，，D正确. 故选：D 8．在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可. 【详解】对于B，如图①，因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以，故B正确； 对于A，由B选项知， 又因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以，故A正确； 对于C，由选项A知，平面， 因为平面， 所以平面平面，故C正确; 对于D，如图②过点A作，垂足为， 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 显然平面，所以平面与平面不垂直，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，，则唯一确定 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】根据正弦二倍角公式可判断A;由正弦定理可判定B;根据正弦函数的单调性可判定C; 根据余弦函数的单调性可判定D; 【详解】选项A：若，则，即， 则或，则为等腰三角形或直角三角形，A错误； 选项B：若，，， 由得， 又，所以，因此角可以为锐角也可以为钝角，有两解，B错误； 选项C：由， 若，则， 由正弦函数在上单调递增，可得． 若，由，则， 故，即，C正确； 选项D：由， 若，则， 由余弦函数在上单调递减，可得． 若，由，则， ， ， ，故D正确． 故选:CD． 10．已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B相互独立，则 B．若，则事件A与相互独立 C．若A与B互斥，则 D．若B发生时A一定发生，则 【答案】ABD 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则， 所以，故A对； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若A与B互斥，则，故C错； 对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对． 故选：ABD 11．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（    ）    A．在中点时，平面平面 B．异面直线所成角的余弦值为 C．在同一个球面上 D．，则点轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】根据正方体图像特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D. 【详解】对于选项A：取的中点，连接，    在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 易知，平面，在面内， 所以，面，面，， 所以面，面，所以， 连接，是正方形，， 因为面，面，所以， 因为面，面，， 所以面，因为面，所以， 综上，面，面，又， 所以面，面，故平面平面，故A正确； 对于选项B：取的中点，连接，则， 所以是异面直线所成的角， 又，则，故B错误； 对于选项C：记正方体的中心为点，则， 所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确； 对于选项D：因为，且为的中点， 所以，故， 所以点轨迹是过点与平行的线段，且， 所以，故D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛： （1）用普通方法求异面直线所成的角时可以找到与其中一条平行的直线与另一条直线相交所成的角即为异面直线的夹角； （2）证明面面垂直时，通常先证明线面垂直，再证明面面垂直； （3）证明点共球面可先证明点共圆. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点，，，若直线，则 ． 【答案】2 【分析】先求向量的坐标，然后根据向量共线定理即可求解； 【详解】因为，， 所以，又，所以， 又， 所以，解得，故． 故答案为：2 13．已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于点，得即二面角的平面角，作出四面体的外接球球心，证明四点共面，依次求出，继而求得外接球的半径，即可求出其表面积. 【详解】 连接交于点,由题意，点为中点，且,则即二面角的平面角. 如图，设分别是和的外心，分别过点作平面,过点作平面, , 则点为四面体的外接球球心. 由，平面,故得，平面, 又平面，平面，故得，平面平面，平面平面， 故四点共面. 由可知,， 故四面体的外接球的半径为：, 于是四面体的外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积的求法，属于难题. 解题思路是通过二面角的两个半平面三角形找到四面体的外接球球心，通过证明四点共面，利用二面角的度数，求出相关边长即可求得外接球半径. 14．甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】甲得分超过乙得分的事件，即得2分，乙得0分的事件，其概率为， 所以甲得分不超过乙得分的概率为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先由可求，再用向量夹角余弦的公式可得，则的夹角可求. （2）由向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，再求解相应不等式即可. 【详解】（1） 又 即 又 （2）的夹角为且 向量与的夹角为钝角 且与不共线 即 解得：且 实数t的取值范围且 16．设的内角的对边分别为，且． (1)求的大小 (2)若，求周长的范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，即可得； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得，结合三角形可知，即可得结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 又因为，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 由三角形可知：，即，可得， 所以周长的范围为. 17．甲、乙两篮球俱乐部举行篮球赛，约定第一场在甲俱乐部的主场比赛，第二场在乙俱乐部的主场比赛，交替更换场地进行，先连续获胜两场的队伍直接获胜，否则先获得3场胜利的球队获胜．已知甲俱乐部在主场获胜的概率是，乙俱乐部在主场获胜的概率是， (1)求比赛恰好四场结束的概率； (2)求甲俱乐部获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知可能甲胜或乙胜，且均为胜负胜胜，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）分析可知甲可能两场、三场、四场和五场获胜，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）若比赛恰好四场结束，则可能甲胜或乙胜，且均为胜负胜胜， 若甲胜，则概率为； 若乙胜，则概率为； 所以比赛恰好四场结束的概率. （2）若甲俱乐部获胜，则甲可能两场、三场、四场和五场获胜， 若两场获胜，其概率为； 若三场获胜，则负胜胜，其概率为； 若四场获胜，由（1）可知其概率为； 若五场获胜，则胜负胜负胜或负胜负胜胜， 其概率为； 所以甲俱乐部获胜的概率. 18．随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ (3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】(1). (2)480 (3). 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数； （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率； 【详解】（1）由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. （2）由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. （3）由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M是棱PC的中点． (1)求证：平面PAD； (2)求平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，AE，根据E是PD的中点，得到，，从而四边形ABME是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面BDM的一个法向量，平面PAB的一个法向量，设平面PAB与平面BMD所成锐二面角的大小为θ，由求解． 【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接ME，AE， 因为E是PD的中点，M是PC的中点， 所以，，又，， 所以，， 所以四边形ABME是平行四边形，所以， 又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD． （2）解：因为平面ABCD，DA，平面ABCD， 所以，，又，，所以． 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则，所以． 设平面BDM的一个法向量，又，， 所以 令，解得，， 所以平面BMD的一个法向量． 设平面PAB的一个法向量，又，， 所以 令，解得，， 所以平面PAB的一个法向量， 设平面PAB与平面BMD所成锐二面角的大小为θ， 所以． 即平面PAB与平面BMD所成锐二面角的余弦值为． 试卷第10页，共10页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$