3.3 轴对称与坐标变化（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

3.3 轴对称与坐标变化 知识点 轴对称与坐标变化 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． ◆2、图形关于坐标轴对称特征 1.横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 x轴成轴对称． 2.纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 y轴成对称． ◆3、在坐标系中画出已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 题型一 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 解题技巧提炼 1、关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 1．（2023秋•百色期末）点A1（5，﹣7）关于x轴对称的点A2的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣7） B．（﹣7，﹣5） C．（5，7） D．（7，﹣5） 【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于x轴对称点的特征即可得出答案． 【解答】解：点A1（5，﹣7）关于x轴对称的点A2的坐标为（5，7）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的特征，点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2．（2024•瓯海区校级三模）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【解答】解：点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 3．（2024春•新宁县期末）在平面直角坐标系中，点A（5，m﹣1）与点B（﹣5，3）关于y轴对称，则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到m﹣1＝3，解之即可． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A（5，m﹣1）与点B（﹣5，3）关于y轴对称， ∴m﹣1＝3， ∴m＝4， 故选：D． 【点评】本题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 4．（2023秋•滕州市期中）若A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5），则P（m，n）的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（4，7） C．（﹣4，7） D．（5，﹣4） 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m＝4，2﹣n＝﹣5，从而得解． 【解答】解：∵点A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5）， ∴m＝4，2﹣n＝﹣5， 解得：m＝4，n＝7， ∴P（m，n）的坐标是P（4，7）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5．（2024秋•盘山县期末）若点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）200的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．7201 【分析】根据关于关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而得到答案． 【解答】解：∵点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2010＝1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 6．（2023秋•高新区校级月考）已知点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】依据点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，即可得到a，b的值，进而得出结论． 【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称， ∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5， 解得a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2022＝（3﹣4）2022＝（﹣1）2022＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 7．（2023秋•七星关区期末）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 　 　． 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案． 【解答】解：由题意知，图中点A的坐标为（5，3），其关于y轴对称的点B的坐标为（﹣5，3）， 故答案为：（﹣5，3）． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 8．（2023春•海安市期中）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案． 【解答】解：∵点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称， ∴N（﹣a，b）， ∴点N关于x轴对称的点的坐标是（﹣a，﹣b）． 故答案为：（﹣a，﹣b）． 【点评】此题主要考查了关于x，y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 9．（2023春•西山区校级期中）已知点P（﹣4a+4，2a+1）关于y轴对称的点在x轴上，则P点的坐标为 　 　． 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质以及x轴上的点的坐标特点，分析得出答案． 【解答】解：∵点P（﹣4a+4，2a+1）关于y轴对称的点在x轴上， ∴﹣4a+4＝0， 解得a＝1， 2a+1＝2×1+2＝3， ∴P点的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 10．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若A，B关于y轴对称，求（4a+b）2020的值． 【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）∵点A，B关于x轴对称， ∴， 解得：； （2）∵点A，B关于y轴对称， ∴， 解得：， ∴（4a+b）2020＝[4×（﹣1）+3]2020＝1． 【点评】本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 题型二 关于某条直线对称的点的坐标 解题技巧提炼 设A的坐标为（x，y），则A关于直线x=a的对称点的坐标为：（ 2a-x，y）； 则A关于直线y=b的对称点的坐标为：（x，2a-y） 1．（2023秋•天门月考）已知点A（4，3）和点B是平面内两点，且它们关于直线x＝3轴对称，则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（﹣10，3） C．（1，3） D．（4，1） 【分析】根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可． 【解答】解：设点B的横坐标为x， ∵点A（4，3）与点B关于直线x＝3对称， ∴， 解得x＝2， ∵点A、B关于直线x＝3对称， ∴点A、B的纵坐标相等， ∴点B（2，3）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键． 2．（2023秋•孟村县期末）如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称，则a+b的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．5 【分析】利用轴对称的性质构建方程组求出a，b即可． 【解答】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称， ∴， ∴， ∴a+b＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查坐标与同时变化﹣对称，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 3（2023秋•河源期末）点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 【分析】根据轴对称的性质进行解答即可． 【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称， ∴1， 解得：b＝﹣3， ∴点Q的横坐标为a＝﹣2，纵坐标为b＝﹣3， ∴点Q的坐标为（﹣2，﹣3），故A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 4．（2024•长治模拟）如果点P（3，b）和点Q（a，﹣4）关于直线x＝2对称，则a+b的值是（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．5 【分析】根据两点关于直线x＝2对称，可求出a，b的值，进而解决问题． 【解答】解：因为点P和点Q关于直线x＝2对称， 所以b＝﹣4，2﹣a＝3﹣2， 则a＝1，b＝﹣4， 所以a+b＝1+（﹣4）＝﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，熟知关于直线x＝a对称的两点坐标之间的关系是解题的关键． 5．（2023秋•和平区期中）点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（　　） A．（2m﹣1，1） B．（﹣1，2m﹣1） C．（﹣1，1﹣2m） D．（2m﹣1，2m﹣1） 【分析】根据关于直线x＝m的对称点的横坐标的中点在直线上，纵坐标相等解答． 【解答】解：点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标为（2m﹣1，2m﹣1）， 故选：D． 【点评】考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质以及对称点的坐标关系是解题的关键． 6．（2024春•武侯区期末）若点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称，则a＝　　， b＝　 ． 【分析】根据点M和点N关于点P对称，可知点P为MN的中点，据此可解决问题． 【解答】解：因为点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称， 所以点P为线段MN的中点， 所以． 故答案为：1，． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称，能根据题意得出点P是线段MN的中点是解题的关键． 7．（2024•青羊区校级开学）已知点A（﹣2，3）和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线x＝1对称，则B的坐标为 　 　． 【分析】根据轴对称的性质可知A，B两点到直线x＝1的距离相等，据此可解决问题． 【解答】解：因为A，B两点关于直线x＝1对称， 所以A，B两点的纵坐标相等， 则yB＝yA＝3； A，B两点到直线x＝1的距离相等， 则1﹣（﹣2）＝xB﹣1， 所以xB＝4， 则点B的坐标为（4，3）． 故答案为：（4，3）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，熟知轴对称的性质是解题的关键． 8．（2023秋•临沭县期中）如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 　 　． 【分析】根据关于平行于y轴的直线的对称点的纵坐标相等求出点B的纵坐标是4，再根据轴对称的性质求出点B的横坐标，然后写出即可． 【解答】解：过点（3，0）且平行于y轴的直线l为：x＝3， ∵点A与点B关于直线x＝3对称，且A（2，4）， ∴点B的纵坐标为4， 设点B的横坐标为x， 则，解得：x＝4， ∴B点的坐标为（4，4）， 故答案为：（4，4）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称，主要利用了轴对称的性质，先求出对称直线是解题的关键． 9．（2023秋•阜平县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）． （1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）在（1）的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，若点P1（m，n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是 　 　． 【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接A1、B1、C1，再写出点C1的坐标即可； （2）根据关于直线y＝1对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到A1、B1、C1对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接A1、B1、C1即可； （3）根据关于直线y＝1对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍进行求解即可． 【解答】解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求， ∴点C1的坐标为（﹣3，﹣3）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）由题意得，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线y＝1对称， ∴若点P1（m，n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是P2（m，2﹣n）， 故答案为：（m，2﹣n）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线y＝1对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． 10．（2023秋•黄陂区期中）（1）点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 　 　； （2）直线l过点（1，0），且与x轴垂直，则点B（﹣1，2）关于直线l对称的点的坐标是 　 　，点C（m，n）关于直线l对称的点的坐标是 　 　； （3）若点M（2a+b+4，﹣a+2b）和点N（4a﹣3b，a﹣b）关于直线x＝a对称，求a+b的值． 【分析】（1）利用点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n）来求解； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据轴对称的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）， 故答案为：（﹣2，﹣3）； （2）∵直线l过点（1，0），且与x轴垂直， ∴直线l为x＝1， ∵两个对称点到直线l的距离相等， ∴点B（﹣1，2）关于直线l对称的点的坐标是（3，2），点C（m，n）关于直线l对称的点的坐标是（2﹣m，n）； 故答案为：（3，2），（2﹣m，n）； （3）∵点M（2a+b+4，﹣a+2b）和点N（4a﹣3b，a﹣b）关于直线x＝a对称， ∴a，﹣a+2b＝a﹣b， 解得a＝﹣1.5，b＝﹣1， ∴a+b＝﹣2.5． 【点评】本题考查了关于坐标与图形变化﹣对称，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 题型三 在平面直角坐标系中画已知图形的轴对称 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 1．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4）， C（﹣3，1） （1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）写出点A′，B′，C′的坐标． 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1），然后描点； （2）由（1）可得到三个对应点的坐标． 【解答】解：（1）如图， （2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）． 【点评】本题考查了关坐标与图形﹣对称：关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数． 2．（2023春•怀化期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣5，2），c（﹣1，1）． （1）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1； （2）请在图中作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用关于x轴对称的点的坐标得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了平移变换． 3．（2023春•北海期末）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标是（﹣1，﹣2）． （1）将△ABC沿x轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可，利用分割法求出三角形面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，点B1的坐标（1，﹣4）． （2）如图，△A2B2C2即为所求作，△A2B2C2的面积＝2×31×3﹣21×2． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2023秋•三水区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接各点，根据点A1所在坐标系中的位置写出其坐标即可； （2）利用三个点所在正方形的面积减去三个点所在三角形的面积即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图，A1（2，4）； （2）由图可知， S△ABC＝3×32×33×12×1 ＝9﹣31 ． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2023春•覃塘区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣2），B（1，﹣4），C（5，﹣3）． （1）将△ABC向上平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画出与△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2； （3）请写出点C1、B2的坐标． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）由（1）、（2）得到点C1、B2的坐标． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1为所作的图形； （2）如图所示：△A2B2C2，为所作的图形； （3）C1（5，3），B2（﹣1，2）． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换．解决本题的关键是掌握轴对称和平移的性质． 6．（2023春•正定县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△A1B1C1先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出顶点A2，B2，C2的坐标． （3）求出△A2B2C2的面积． 【分析】（1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）根据平移的性质画出图形并根据点的位置可得坐标； （3）利用△A2B2C2所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求．， 其中A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）； （3）△A2B2C2的面积为3×3﹣1×32﹣2×24， 答：△A2B2C2 的面积为4． 【点评】本题主要考查了作图-轴对称变换，平移变换等知识，准确画出图形是解题的关键． 7．（2023•龙岗区模拟）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，进而可以写出点A1的坐标； （2）根据平移的性质即可画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，进而可以写出点A2的坐标； （3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（4，5）； （2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣4，﹣1）； （3）由图可知S△ABC＝4×3﹣3×21×22×44． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． 8．（2023秋•滑县期中）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）； ①点A关于x轴对称的点坐标为 　； ②点B关于y轴对称的点坐标为 　 　． （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 　 　． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． ①关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． ②关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． ①点A关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣3）． 故答案为：（﹣1，﹣3）． ②点B关于y轴对称的点坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （2）△ABC的面积是． 故答案为：9． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 题型四 与轴对称变换有关的规律题 解题技巧提炼 与轴对称变换有关的规律题主要是轴对称的性质，在平面直角坐标系探究点的坐标变换规律，从特殊到一般，探究出规律后再运用规律解决问题. 1．如图，正方形ABCD中顶点A（1，1），B（3，1），D（1，3），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（ ） A．（-2017，3） B．（-2017，-3） C．（-2018，3） D．（-2018，-3） 【分析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，1）、B（3，1）、C（3，3），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点C的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点C的对应点的为：当n为奇数时为（3-n,-3），当n为偶数时为（3-n,3），继而求得把正方形ABCD连续经过2020次这样的变换得到正方形ABCD的点C的坐标． 【解答】解：∵正方形ABCD，顶点A（1，1）、B（3，1）， ∴C（3，3）． 根据题意得：第1次变换后的点C的对应点的坐标为（3-1，-3），即（2，-3）， 第2次变换后的点C的对应点的坐标为：（3-2，3），即（1，3）， 第3次变换后的点C的对应点的坐标为（3-3，-3），即（0，-3）， 第n次变换后的点C的对应点的为：当n为奇数时为（3-n,-3）， 当n为偶数时为（3-n,3）， ∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的点C的坐标变为（-2017，3）． 故选：A． 【点评】本题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点C的对应点的坐标为：当n为奇数时为（3-n,-3），当n为偶数时为（3-n,3）是解此题的关键． 2．（2023春•永定区期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可． 【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限， 点A第二次关于x轴对称后在第三象限， 点A第三次关于y轴对称后在第四象限， 点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2022÷4＝505余2， ∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 3．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为 　 　． 【分析】按照反弹规律依次画图即可． 【解答】解：如图： 根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2021÷6＝336…5，即点P2021的坐标是（4，3）． 故答案为：（4，3）． 【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标．解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规律． 4．（2023•洛阳一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（1，-1），D（3，-1），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（　　） A．（-2，-2021） B．（2，-2022） C．（-2，-2023） D．（2，-2024） 【分析】由正方形的性质得出中心坐标为（2，-2），通过先沿y轴翻折，再向下平移1个单位进行一次变换后，中心坐标为（-2，-3），第二次变换后中心坐标为（2，-4），则可得规律为：第n次变换后，中心坐标为（（-1）n×2，-n-2），将n=2022代入即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，A（1，-1），D（3，-1）， ∴中心坐标为（2，-2）， ∵先沿y轴翻折，再向下平移1个单位为一次变换， ∴进行一次变换后，中心坐标为（-2，-3）， ∴第二次变换后中心坐标为（2，-4）， ∴第n次变换后，中心坐标为（（-1）n×2，-n-2）， 当n=2022时， 中心坐标为（2，-2024）， 故选：D． 【点评】本题考查翻折变换，对称与平移，正方形的性质等知识点，解题的关键是先求出中心坐标，再得出变换规律． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是 　 　． 【分析】如图，以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【解答】解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2020÷6＝336…4， 当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0）， ∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+2＝674（次）， 故答案为：674． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 6．如图所示，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标是　 　． 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2021除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2021÷6＝336…5， 当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第5次反弹，点P的坐标为（1，4）， 故答案为：（1，4）． 【点评】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 7．如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2020的坐标是（　　） A．（5，3） B．（3，5） C．（0，2） D．（2，0） 【分析】根据轴对称的性质分别写出点P1的坐标为、点P2的坐标、点P3的坐标、点P4的坐标，从中找 出规律，根据规律解答． 【解答】解：由题意得，点P1的坐标为（5，3）， 点P2的坐标为（3，5）， 点P3的坐标为（0，2）， 点P4的坐标为（2，0）， 点P5的坐标为（5，3）， 2020÷4=505， ∴P2020的坐标为（2，0）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了点的坐标、坐标与图形变化-对称，正确找出点的坐标的变化规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 轴对称与坐标变化 知识点 轴对称与坐标变化 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． ◆2、图形关于坐标轴对称特征 1.横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 x轴成轴对称． 2.纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 y轴成对称． ◆3、在坐标系中画出已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 题型一 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 解题技巧提炼 1、关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2、关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 1．（2023秋•百色期末）点A1（5，﹣7）关于x轴对称的点A2的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣7） B．（﹣7，﹣5） C．（5，7） D．（7，﹣5） 2．（2024•瓯海区校级三模）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2） 3．（2024春•新宁县期末）在平面直角坐标系中，点A（5，m﹣1）与点B（﹣5，3）关于y轴对称，则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 4．（2023秋•滕州市期中）若A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5），则P（m，n）的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（4，7） C．（﹣4，7） D．（5，﹣4） 5．（2024秋•盘山县期末）若点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）200的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．7201 6．（2023秋•高新区校级月考）已知点P1（a﹣1，5）和点P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 7．（2023秋•七星关区期末）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 　 　． 8．（2023春•海安市期中）已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点N关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 9．（2023春•西山区校级期中）已知点P（﹣4a+4，2a+1）关于y轴对称的点在x轴上，则P点的坐标为 　 　． 10．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若A，B关于y轴对称，求（4a+b）2020的值． 题型二 关于某条直线对称的点的坐标 解题技巧提炼 设A的坐标为（x，y），则A关于直线x=a的对称点的坐标为：（ 2a-x，y）； 则A关于直线y=b的对称点的坐标为：（x，2a-y） 1．（2023秋•天门月考）已知点A（4，3）和点B是平面内两点，且它们关于直线x＝3轴对称，则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（﹣10，3） C．（1，3） D．（4，1） 2．（2023秋•孟村县期末）如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称，则a+b的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．5 3（2023秋•河源期末）点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 4．（2024•长治模拟）如果点P（3，b）和点Q（a，﹣4）关于直线x＝2对称，则a+b的值是（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．5 5．（2023秋•和平区期中）点（1，2m﹣1）关于直线x＝m的对称点的坐标是（　　） A．（2m﹣1，1） B．（﹣1，2m﹣1） C．（﹣1，1﹣2m） D．（2m﹣1，2m﹣1） 6．（2024春•武侯区期末）若点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称，则a＝　　， b＝　 ． 7．（2024•青羊区校级开学）已知点A（﹣2，3）和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线x＝1对称，则B的坐标为 　 　． 8．（2023秋•临沭县期中）如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 　 　． 9．（2023秋•阜平县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）． （1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）在（1）的条件下，画出与△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，若点P1（m，n）在△A1B1C1的内部，则点P1在△A2B2C2中对应点P2的坐标是 　 　． 10．（2023秋•黄陂区期中）（1）点A（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是 　 　； （2）直线l过点（1，0），且与x轴垂直，则点B（﹣1，2）关于直线l对称的点的坐标是 　 　，点C（m，n）关于直线l对称的点的坐标是 　 　； （3）若点M（2a+b+4，﹣a+2b）和点N（4a﹣3b，a﹣b）关于直线x＝a对称，求a+b的值． 题型三 在平面直角坐标系中画已知图形的轴对称 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 1．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4）， C（﹣3，1） （1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）写出点A′，B′，C′的坐标． 2．（2023春•怀化期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣5，2），c（﹣1，1）． （1）把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1； （2）请在图中作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2． 3．（2023春•北海期末）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标是（﹣1，﹣2）． （1）将△ABC沿x轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积． 4．（2023秋•三水区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）求△ABC的面积． 5．（2023春•覃塘区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣2），B（1，﹣4），C（5，﹣3）． （1）将△ABC向上平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画出与△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2； （3）请写出点C1、B2的坐标． 6．（2023春•正定县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△A1B1C1先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出顶点A2，B2，C2的坐标． （3）求出△A2B2C2的面积． 7．（2023•龙岗区模拟）在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC如图所示． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出将△ABC向下平移6个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）求△ABC的面积． 8．（2023秋•滑县期中）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）； ①点A关于x轴对称的点坐标为 　； ②点B关于y轴对称的点坐标为 　 　． （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 　 　． 题型四 与轴对称变换有关的规律题 解题技巧提炼 与轴对称变换有关的规律题主要是轴对称的性质，在平面直角坐标系探究点的坐标变换规律，从特殊到一般，探究出规律后再运用规律解决问题. 1．如图，正方形ABCD中顶点A（1，1），B（3，1），D（1，3），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（ ） A．（-2017，3） B．（-2017，-3） C．（-2018，3） D．（-2018，-3） 2．（2023春•永定区期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 3．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标为 　 　． 4．（2023•洛阳一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（1，-1），D（3，-1），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（　　） A．（-2，-2021） B．（2，-2022） C．（-2，-2023） D．（2，-2024） 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是 　 　． 6．如图所示，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P2021的坐标是　 　． 7．如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2020的坐标是（　　） A．（5，3） B．（3，5） C．（0，2） D．（2，0） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$