3.2 平面直角坐标系（12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

3.2 平面直角坐标系 知识点一 平面直角坐标系及有关概念 ◆在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． ◆平面直角坐标系中两坐标轴的特征：①互相垂直；②原点重合；③通常取向上、向右为正方向；④单位长度一般取相同的，在有些实际问题中，两坐标轴上的单位长度可以不同. 知识点二 点的坐标 ◆1、有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，这个有序数对就是这个点的坐标． ◆2、写一个点的坐标时，一定要让横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． ◆3、求一个点的坐标的方法：先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.原点O的坐标是（0,0），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0. ◆4、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. ◆5、对于坐标平面内任意一点M，都要唯一的有序数对（x,y）（即点M的坐标）和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y）在坐标平面内都有唯一的一点M （即坐标为（x,y）的点）和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. ◆6、点的坐标的几何意义：点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． ●坐标平面的划分: 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． ◆1、各区域点的坐标特征 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 简记 在第一象限 正号 正号 （+，+） 在第二象限 负号 正号 （-，+） 在第三象限 负号 负号 （-，-） 在第四象限 正号 负号 （+，-） 在x轴上 正半轴 正号 0 （+，0） 负半轴 负号 0 （-，0） 在y轴上 正半轴 0 正号 （0，+） 负半轴 0 正号 （0，-） 原点 0 0 （0，0） ◆2、坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上. 题型一 确定平面直角坐标系内点的坐标 解题技巧提炼 确定点的坐标的方法：首先确定横坐标，方法是先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.最后用有序数对将它表示出来，即横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，并用小括号括起来. 1．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3） 【分析】根据平面直角坐标系以及点的坐标的 定义写出即可． 【解答】解：点P的坐标为（3，﹣2）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的表示是解题的关键． 2．（2023春•宁津县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【分析】由图可知，这个点在第二象限，根据平面直角坐标系内每个象限内点坐标的符号特征分别判断即可． 【解答】解：由图可知，这个点在第二象限， ∵（2，3）在第一象限， 故A不符合题意； ∵（﹣2，3）在第二象限， 故B符合题意； ∵（﹣2，﹣3）在第三象限， 故C不符合题意； ∵（2，﹣3）在第四象限， 故D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． 3．如图，写出A、B、C、D、E、F、H各个点的坐标． 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的定义写出即可． 【解答】解：A（2，1），B（﹣4，3），C（﹣2，﹣3），D（3，﹣3），E（﹣3，0），F（0，2），H（0，0）． 【点评】本题考查了点的坐标，主要是平面直角坐标系中的点的坐标的写法． 4．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C，D，O都在格点上．以点O为坐标原点，在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点A，B，C，D的坐标． 【分析】以O点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，根据坐标系可得答案． 【解答】解：如图所示， 点A（﹣2，﹣5）、B（﹣4，2）、C（0，4）、D（5，﹣1）． 【点评】本题主要考查点的坐标，掌握平面直角坐标系及点的坐标是解题的关键． 5．点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）分别写出点A，B，C，D的坐标； （2）依次连接A、C、D得到一个封闭图形，判断此图形的形状． 【分析】（1）直接利用平面直角坐标系得出各点坐标即可； （2）直接利用网格即可得出△ACD的形状． 【解答】解：（1）A（3，2），B（﹣3，4），C（﹣4，﹣3），D（3，﹣3）； （2）连接DC，AD，AC， △ACD是直角三角形． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确结合坐标系分析是解题关键． 6．如图是A，B，C，D四点所在位置． （1）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点C的坐标为（1，5），则点B，D的坐标分别为 　 　，　 　； （2）若点B的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣2，0），请在图中建立平面直角坐标系，并写出此时点A，C的坐标． 【分析】（1）以A为坐标原点建立平面直角坐标系，然后根据平面直角坐标系写出点B、D的坐标即可． （2）由B的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣2，0），确定原点坐标即可． 【解答】解：建立平面直角坐标系如图， 点B（3，2），D（﹣2，3）． 故答案为：B（3，2），D（﹣2，3）． （2） 建立平面直角坐标系如图， 点A（0，﹣3），C（1，2）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握在平面直角坐标系中找出点的坐标是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中， （1）写出点A，B，C，D的坐标． （2）x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？ 【分析】（1）根据各个象限的点的坐标特点解答即可； （2）根据x轴和y轴上的点的特点解答即可； 【解答】解：（1）由题意，得A（4，0），B（﹣2，0），C（0，5），D（0，﹣3）； （2）x轴上的点的横坐标为任何实数，纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0，纵坐标为任何实数； 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及绝对值的性质，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限内点的坐标符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 题型二 在平面直角坐标系内描点 解题技巧提炼 1、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. 2对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对和它对应，对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应. 1．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（　　） A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3） 【分析】本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2． 【解答】解：如图可知第四个顶点为： 即：（3，2）． 故选：B． 【点评】本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案． 2．（2023春•海港区期末）在平面直角坐标系下描出下列各点：M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、P（0，4）、Q（﹣3，0），则描错的点的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据点的坐标的定义判断即可．我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． 【解答】解：由题意可知，M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、Q（﹣3，0）正确，点P的坐标应该为（4，0）， 所以描错的点的个数是1个． 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标定义是解答本题的关键． 3．如图，用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置． （1）图中C，D，E三点位置分别如何表示？ （2）在图中标出（3，2），（1，2），（3，4）的位置上的点，并分别标上字母F，G，H． 【分析】根据题意，找到坐标原点，单位长度，建立平面直角坐标系，结合坐标系直接得到答案． 【解答】解：如图，以点A为原点，小正方形的边长1为单位长度，建立平面直角坐标系： ． （1）如图所示：C（2，5），D（1，3），E（4，3）； （2）字母F，G，H的位置如图所示． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键． 4．（2023春•环江县期中）在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母： （1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）； （2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度． 【分析】（1）根据点的坐标的定义解答即可； （2）根据x轴上的点的坐标特点解答即可； （3）根据题意可得点F位于第三象限，在根据点的意义解答即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示； （3）如图所示． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握在平面直角坐标系找出点的位置，准确确定各点的位置是解题的关键． 5．（2023秋•涡阳县校级月考）在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题： （1）写出图中A，B，C，D各点的坐标． （2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）． （3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？ 【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）利用平面直角坐标系找出各点的位置即可； （3）连接后根据特殊四边形判断． 【解答】解：（1）由题意得A（2，3），B（2，﹣3），C（﹣4，﹣3），D（﹣4，3）； （2）如图所示； （3）四边形ABCD是正方形． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握利用平面直角坐标系写出点的坐标和在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键． 6．（2023秋•南海区月考）在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．C（﹣6，3），D（﹣6，0），A（0，0），B（0，3）． （1）图形中哪些点在坐标轴上？ （2）线段BC与x轴有什么位置关系？ 【分析】（1）在坐标系中描出各点，再顺次连接可得一个长方形，结合图案得出点D、A、B在坐标轴上； （2）根据图形可得平行于x轴的两点B、C的纵坐标相等． 【解答】解：（1）如图所示： 点D、A、B在坐标轴上； （2）线段BC平行于x轴． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，作图的关键是根据点的坐标确定点在平面直角坐标系中的位置，并根据位置依次连接，形成题目中要求的图形． 题型三 由点的位置确定点的坐标 解题技巧提炼 解答根据已知点的坐标表示平面内其它点的位置的问题，应先根据已知点的坐标建立适当的平面直角坐标系，再根据其它点所在的象限及位置最终确定坐标. 1．（2024春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，☆盖住的点的坐标可能是（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（3，﹣1） 【分析】根据平面直角坐标系每一象限点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：A、（﹣3，1）在第二象限，故A符合题意； B、（﹣3，﹣1）在第三象限，故B不符合题意； C、（3，1）在第一象限，故C不符合题意； D、（3，﹣1）在第四象限，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键． 2．（2024•丛台区校级模拟）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：小手盖住的点的横坐标和纵坐标都小于0， ∴小手盖住的点在第三象限， A．（3，4）在第一象限，故本选项不合题意； B．（﹣3，4）在第二象限，故本选项不合题意； C．（﹣3，﹣4）在第三象限，故本选项符合题意； D．（3，﹣4）在第四象限，故本选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．（2023秋•驿城区校级期末）如图是小刚画的一张脸，若用点A（1，1）表示左眼的位置，点B（3，1）表示右眼的位置，则嘴巴点C的位置可表示为（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（2，0） 【分析】先利用左眼和右眼的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置所在点的坐标即可． 【解答】解：如图，嘴的位置可表示成（2，﹣1）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征． 4．（2023春•渝中区校级月考）如图，如果“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“相”所在位置的坐标为（3，﹣2），那么“士”所在位置的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（1，﹣2） C．（0，﹣1） D．（﹣1，2） 【分析】根据已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系得出“士”所在位置． 【解答】解：如图所示： “士”所在位置的坐标为（0，﹣2）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 5．（2023春•兴隆县期中）如图是小明、小刚小红做课间操时的位置，如果用（4，5）表示小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，那么小红的位置可表示为（　　） A．（1，3） B．（﹣2，3） C．（﹣1，3） D．（0，2） 【分析】根据已知两点的坐标确定坐标系，再确定点的坐标． 【解答】解：根据小明与小刚的位置坐标可建立如图所示直角坐标系， 由图知小红的位置可表示为（﹣1，3）， 故选：C． 【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，关键是由已知条件正确确定坐标轴的位置． 6．（2023秋•杏花岭区期中）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣3，3）（﹣1，0），则叶柄底部点C的坐标为 　 　． 【分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得． 【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣3，3），（﹣1，0）， ∴得出坐标轴如下图所示位置： ∴点C的坐标为（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键． 题型四 由点的坐标确定点所在的象限 解题技巧提炼 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限. 1．（2024春•东城区校级期中）在平面直角坐标系中，在第三象限的点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 【分析】根据第三象限内点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵第三象限的点的横纵坐标都小于0， ∴（﹣3，﹣4）在第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知三象限的点的横纵坐标都小于0是解题的关键． 2．（2024春•河南期末）在平面直角坐标系中，点P（2023，﹣2024）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特点，再根据P点的坐标符号，即可得出答案． 【解答】解：∵点P（2023，﹣2024）， ∴P点所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 3．（2024春•临海市期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是（　　） A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 【分析】根据四个象限的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案． 【解答】解：位于第一象限的是（3，2）， 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，解答本题的关键是熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 4．（2023春•贵州期末）无论m取什么实数，点（﹣1，﹣m2﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限． 【解答】解：∵点（﹣1，﹣m2﹣1）的横坐标﹣1＜0，纵坐标﹣m2﹣1中，m2≥0， ∴﹣m2﹣1＜0， 故满足点在第三象限的条件． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 5．（2023•邵阳模拟）已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2，则点M的位置在（　　） A．第一或第三象限 B．第一象限 C．第三象限 D．坐标轴上 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出答案． 【解答】解：∵直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2， ∴ab同号， 则点M的位置在第一或第三象限． 故选：A． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 6．（2023秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1﹣2m2，m2+1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据点在第二象限的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵m2≥0， ∴﹣1﹣2m2＜0，m2+1＞0， ∴点（﹣1﹣2m2，m2+1）的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴符合点在第二象限的条件，故点（﹣1﹣2m2，m2+1）一定在第二象限． 故选：B． 【点评】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，关键是根据点在第二象限的坐标特征解答． 7．（2023秋•沈河区校级期中）在平面直角坐标系中，若点A（a，ab）在第四象限，则点B（a2b，﹣b2）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出a，b的符号，进而得出答案． 【解答】解：∵A（a，ab）在第四象限， ∴， 解得a＞0，b＜0， ∴a2b＜0，﹣b2＜0， ∴点B（a2b，﹣b2）所在的象限是第三象限． 故选：C． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握各象限内点的符合特点是解题关键． 题型五 坐标轴上的点的坐标特征 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0，即原点O的坐标是（0,0）. 1．（2024春•合江县期末）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点M的坐标为（　　） A．（﹣4，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣4） 【分析】根据x轴上的点的纵坐标等于0列式求出m的值，即可得解． 【解答】解：∵点M（m﹣3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上， ∴m+1＝0， 解得m＝﹣1， ∴m﹣3＝﹣1﹣3＝﹣4， 点M的坐标为（﹣4，0）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标等于0是解题的关键． 2．（2023•揭东区一模）如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1） 【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可． 【解答】解：∵P（m+3，2m+4）在y轴上， ∴m+3＝0， 解得m＝﹣3，2m+4＝﹣2， ∴点P的坐标是（0，﹣2）． 故选：B． 【点评】解决本题的关键是记住y轴上点的特点：横坐标为0． 3．（2023春•柳南区校级期末）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点（n+1，n﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由点在x轴的条件是纵坐标为0，得出点A（﹣2，n）的n＝0，再代入求出点B的坐标及象限． 【解答】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上， ∴n＝0， ∴点的坐标为（1，﹣3）． 则点（n+1，n﹣3）在第四象限． 故选：D． 【点评】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负． 4．（2024春•丰城市校级月考）若点A（n﹣2021，2022）在y轴上，则点B（n﹣2022，n+1）在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【分析】先根据题意求出n的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵点A（n﹣2021，2022）在y轴上， ∴n﹣2021＝0， 解得n＝2021， ∴n﹣2022＝2021﹣2022＝﹣1＜0，n+1＝2021+1＝2022＞0， ∴点B（n﹣2022，n+1）在第二象限． 故选：C． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键． 5．（2023秋•修水县期中）已知点A在x轴的负半轴上，且到原点的距离是3，则点A的坐标为 　 　． 【分析】先根据点A在x轴的负半轴上，判断出点A横纵坐标的符号，再根据距离的意义即可求出点A的坐标． 【解答】解：∵点A在x轴的负半轴上，它到原点距离是3个单位长度， ∴点A的横坐标为﹣3，纵坐标为0， 即A点坐标为（﹣3，0）． 故答案为：（﹣3，0）． 【点评】本题考查的是坐标与图形性质，解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号及坐标轴上的点的坐标的特征． 6．（2023春•宜州区期中）在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，2a+4），根据下列条件，求出相应的点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P的横坐标比纵坐标大2； 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案； （2）根据横坐标比纵坐标大2，可得方程，解方程可得答案； （3）根据平行于y轴直线上的点横坐标相等，可得关于m的方程，解方程可得答案． 【解答】解：（1）由题知：a﹣1＝0， ∴a＝1， ∴P的坐标为（0，6）； （2）由题知：a﹣1﹣（2a+4）＝2， ∴a＝﹣7， ∴P的坐标为（﹣8，﹣10）； 【点评】本题考查了点的坐标，y轴上的点的横坐标等于零，x轴上的点的纵坐标等于零，注意平行于y轴直线上的点横坐标相等． 题型六 由点到坐标轴的距离确定点的坐标 解题技巧提炼 平面直角坐标系内任意一点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是. 1．（2024春•鱼台县期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣3）到y轴的距离为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．3 【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：点P（﹣4，﹣3）到y轴的距离为|﹣4|＝4， 故选：C． 【点评】此题主要考查点到坐标轴的距离，解决本题的关键是掌握点到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 2．（2024春•崇川区校级期末）若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：∵点M在第二象限，且到x轴的距离是1，到y轴的距离是2， ∴点M的横坐标是﹣2，纵坐标是1， ∴点M的坐标是（﹣2，1）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 3．（2023春•绥棱县期末）已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，3） 【分析】根据题意，P点应在第一象限，横、纵坐标为正，再根据P点到坐标轴的距离确定点的坐标． 【解答】解：∵P点位于y轴右侧，x轴上方， ∴P点在第一象限， 又∵P点距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度， ∴P点横坐标为3，纵坐标为4，即点P的坐标为（3，4）． 故选：B． 【点评】本题考查了点的位置判断方法及点的坐标几何意义． 4．（2023•港北区二模）已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，4） D．（2，﹣4） 【分析】根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值列方程求出a的值，然后求解即可． 【解答】解：∵点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2， ∴a﹣1＝﹣2， 解得a＝﹣1， ∴a+5＝﹣1+5＝4， a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2， ∴点P的坐标为（4，﹣2）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 5．（2023秋•市南区校级期中）点P坐标为（6﹣3a，a+2），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（3，3）或（﹣6，6） D．（3，﹣3）或（6，﹣6） 【分析】分点的横坐标与纵坐标相等和互为相反数两种情况讨论求解． 【解答】解：∵点（6﹣3a，a+2）到两坐标轴的距离相等， ∴6﹣3a＝a+2或6﹣3a＝﹣a﹣2， 解得：a＝1或a＝4， 当a＝1时，6﹣3a＝3， 此时，点P（3，3）， 当a＝4时，6﹣3a＝﹣6， 此时，点P（﹣6，6）， 综上所述，点P（3，3）或（﹣6，6）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的符号及点的坐标的几何意义，注意横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离． 6．（2024春•东昌府区期末）在平面直角坐标系中，点P（m﹣1，3m﹣6）到y轴的距离为2，则m的值为 　 　． 【分析】根据点到y轴的距离＝横坐标的绝对值，即可得出答案． 【解答】解：∵点P（m﹣1，3m﹣6）到y轴的距离为2， ∴|m﹣1|＝2， ∴m＝3或﹣1． 故答案为：3或﹣1． 【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 7．（2023春•鹿邑县月考）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点Q的坐标为（1，5），PQ∥x轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 【分析】（1）根据y轴上的点，x坐标为0，列方程求解； （2）平行于x轴，y坐标相等，x坐标不相等，列式求解； （3）到x轴的距离等于由、坐标的绝对值，到y轴的距离等于x坐标的绝对值． 【解答】解：（1）由题意得：a﹣2＝0， 解得：a＝2， ∴2a+8＝12， ∴P（0，12）； （2）由题意得：2a+8＝5且a﹣2≠1， 解得：a＝﹣1.5， ∴a﹣2＝﹣3.5， ∴P（﹣3.5，5）； （3）由题意得：|a﹣2|＝|2a+8|， 解得：a＝﹣2或a＝﹣10， ∴P（﹣4，4）或P（﹣12，﹣12）． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟记坐标特征是解题的关键． 8．（2024春•承德县期末）在平面直角坐标系中，有一点P（2x﹣1，3x）． （1）若点P在y轴上，求x的值； （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0，计算即可； （2）坐标系中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值结合第一象限内的点横纵坐标都为正得到3x+2x﹣1＝9，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P（2x﹣1，3x）在y轴上， ∴2x﹣1＝0， ∴x； （2）∵P（2x﹣1，3x）在第一象限， ∴点P到x轴的距离为3x，到y轴的距离为2x﹣1， ∵点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴3x+2x﹣1＝9， ∴x＝2， ∴2x﹣1＝3，3x＝6， ∴点P的坐标为（3，6）． 【点评】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型七 角平分线上点的坐标特征 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标相同，第二、四象限上的点横坐标与纵坐标互为相反数. 1．若点A（，）在第三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据第三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等解答． 【解答】解：∵点A（，）在第三象限的角平分线上， ∴， ∴a． 故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征以及各象限角平分线上的点的特征是解题的关键． 2．平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣3）和点B（5，﹣5）分别在（　　） A．第一、三象限的角平分线上 B．第二、四象限的角平分线上 C．第三、四象限的角平分线上 D．第二、三象限的角平分线上 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等以及第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，可得点A（﹣3，﹣3）在第一、三象限的角平分线上；点B（5，﹣5）在第二、四象限的角平分线上． 【解答】解：A（﹣3，﹣3）在第三象限的角平分线上；点B（5，﹣5）在四象限的角平分线上． 故选：C． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．（2023秋•茂南区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（2m+3，3m﹣1）在第一、三象限的角平分线上，则m的值为（　　） A．4 B． C． D．4或 【分析】直接利用在第一、三象限的角平分线上，横纵坐标相等进而得出答案． 【解答】解：∵点P（2m+3，3m﹣1）在第一、三象限的角平分线上， ∴2m+3＝3m﹣1， 解得：m＝4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的关系是解题关键． 4．（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值，即可求得P点的坐标． 【解答】解：∵点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限的角平分线上， ∴m+1+2m﹣7＝0， 解得：m＝2， ∴P（3，﹣3）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标的知识．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 5．如果点A（m﹣2，2m）在第一、三象限的角平分线上，那么点N（﹣m+2，m﹣1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求出m的值，再求出点N的坐标，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：∵点A（m﹣2，2m）在第一、三象限的角平分线上， ∴m﹣2＝2m， 解得，m＝﹣2， 所以，﹣m+2＝﹣（﹣2）+2＝4， m﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3， 所以，点N的坐标为（4，﹣3）， 所以，点N在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等并列出方程是解题的关键，也是本题的难点． 6．已知点M（4﹣2m，m﹣5）在第二、四象限的角平分线上，求点M的点坐标． 【分析】根据第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数列式计算求出m的值，再求解即可． 【解答】解：∵点M（4﹣2m，m﹣5）在第二、四象限的角平分线上， ∴4﹣2m+m﹣5＝0， 解得m＝﹣1， ∴4﹣2m＝4﹣2×（﹣1）＝4+2＝6， m﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6， ∴点M（6，﹣6）． 【点评】本题考查了点的坐标与图形性质，熟记第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键． 7．（2023秋•宿城区期末）已知点M（3a﹣8，a﹣1），试分别根据下列条件，求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在第一、三象限的角平分线上． 【分析】（1）根据点M在x轴上可知点M的纵坐标为0，从而可以解答本题； （2）根据点M在一、三象限角平分线上可知点M的横纵坐标相等，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）∵点M在x轴上， ∴a﹣1＝0， ∴a＝1， 3a﹣8＝3﹣8＝﹣5，a﹣1＝0， ∴点M的坐标是（﹣5，0）； （2）∵点M（3a﹣8，a﹣1），点M在一、三象限角平分线上， ∴3a﹣8＝a﹣1． 解得，a． ∴3a﹣8，a﹣1． ∴点M的坐标为（，）． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确每一问提供的信息，能正确知道与坐标之间的关系，灵活变化，求出所求问题的答案． 题型八 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 解题技巧提炼 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同. 1．（2024春•临沂期末）在直角坐标系中，过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，则（　　） A．，b＝﹣3 B．，b＝﹣3 C．，b≠﹣3 D．，b≠﹣3 【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等列出方程计算即可得解． 【解答】解：∵过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴， ∴2a≠4+b，6＝3﹣b， 解得b＝﹣3，a． 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形，熟记平行于x轴的直线上点的纵坐标相等是解题的关键． 2．（2024春•龙马潭区期末）在平面直角坐标系中，P（1，2），点Q在x轴下方，PQ∥y轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（6，2） C．（1，﹣3） D．（1，7） 【分析】根据题意，设点Q的坐标为（1，y），y＜0，根据PQ的长度列方程，求出y即可． 【解答】解：∵点Q在x轴下方，PQ∥y轴， ∴设点Q（1，y），y＜0． 又∵PQ＝5， ∴2﹣y＝5，解得y＝﹣3． ∴点Q的坐标为（1，﹣3）． 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是本题的关键． 3．（2023秋•莲池区校级期末）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（　　） A．（2，8） B．（2，8）或（2，﹣2） C．（7，3） D．（7，3）或（﹣3，3） 【分析】由AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB＝5，B点可能在A点上方或者下方，根据距离确定B点坐标即可． 【解答】解：∵AB∥y轴， ∴A、B两点的横坐标相同，都为3， 又AB＝5， ∴B点纵坐标为：3+5＝8，或3﹣5＝﹣2， ∴B点的坐标为：（2，8）或（2，﹣2）； 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平行于y轴的直线上点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个是解题的关键． 4．（2023春•渝中区校级月考）已知点M（x+5，x﹣4）．满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上，则MN的长度为 　 　． 【分析】因为满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上，所以M点纵坐标为﹣2，进而可以求解． 【解答】解：点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上， ∴M点纵坐标为﹣2， 即x﹣4＝﹣2， 解得x＝2， ∴x+5＝7． ∴M点坐标为（7，﹣2）． ∴MN的长度为：7﹣（﹣1）＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，根据“点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上”提取信息“M点纵坐标为﹣2”是解题的突破口． 5．（2023秋•道里区校级月考）平面直角坐标系中，已知MN∥x轴，M点的坐标为（﹣1，3），并且MN＝5，则N点的坐标为 　 　． 【分析】先利用与x轴平行的直线上点的坐标特征确定N点的纵坐标为3，再在直线MN上找出到﹣1的距离为5的数即可得到N点坐标． 【解答】解：∵MN∥x轴，M点的坐标为（﹣1，3）， ∴N点的纵坐标为3， 而MN＝5， ∴N点的横坐标为﹣6或4， ∴N点坐标为（﹣6，3）或（4，3）． 故答案为：（﹣6，3）或（4，3）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住各象限内点的坐标特征和坐标上点的坐标特征． 6．（2023春•广州期中）已知点M的坐标为（2，﹣4），线段MN＝5，MN∥x轴，则点N的坐标为 　 　． 【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等求出点N的纵坐标，再分点N在点M的右边与左边两种情况求出点N的横坐标即可． 【解答】解：∵点M的坐标为（2，﹣4），MN∥x轴， ∴点N的纵坐标为﹣4， ∵MN＝5， ∴点N在点M的右边时，横坐标为2+5＝7， 此时，点N（7，﹣4）， 点N在点M的左边时，横坐标为2﹣5＝﹣3， 此时，点N（﹣3，﹣4）， 综上所述，点N的坐标为（﹣3，﹣4）或（7，﹣4）． 故答案为：（﹣3，﹣4）或（7，﹣4）． 【点评】本题查了点的坐标．解题的关键是熟练掌握四个象限的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 7．（2023秋•秦都区校级期中）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在x轴上．求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得出答案． （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴a+5＝0， ∴a＝﹣5， ∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12， ∴点P的坐标为（﹣12，0）； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴， ∴a+5＝5， ∴a＝0， ∴2a﹣2＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，5）； （3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴2a﹣2＝﹣（a+5）， ∴2a﹣2+a+5＝0， ∴a＝﹣1， ∴2a﹣2＝﹣4，a+5＝4． 点P的坐标为（﹣4，4）． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 题型九 平面内两点间的距离 解题技巧提炼 本题考查了勾股定理求两点间的距离．解题的关键熟记两点间的坐标距离公式：设A（x1，y1），B（x2，y2），则． 1．（2024春•惠东县期中）点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．﹣3 【分析】直接根据两点间的距离公式求解． 【解答】解：OP5， 即点P（3，﹣4）到原点的距离为5． 故选：A． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 2．（2023春•营山县校级期中）平面直角坐标系中有A（3，﹣4）、B（﹣2，﹣4）两点，那么A、B两点的之间的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】直接利用两点间的距离公式计算． 【解答】解：∵A（3，﹣4）、B（﹣2，﹣4）， ∴A、B两点的之间的距离为5． 故选：D． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB． 3．（2023春•安次区校级期中）平面直角坐标系中，点P（m，﹣3）和点Q（2，1）．则P、Q两点间的距离的最小值为（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．5 【分析】根据两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：P、Q两点间的距离为， ∵（m﹣2）2≥0， ∴P、Q两点间的距离的最小值为， 故选：C． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，明确（m﹣2）2≥0是解题的关键． 4．（2024春•宁江区校级期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 【读】：坐标系中两点间的距离公式： 如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1），B（x2，y2），那么两点的距离． 【思】：例如：若点A（5，1），B（4，2），则． 【悟】：完成任务 （1）若坐标平面内有两点A（3，0），B（0，﹣4），则AB＝　 　． （2）若坐标平面内有两点A（3，2），B（4，﹣4），求A、B两点间的距离． 【省】：迁移应用 若坐标平面内有点A（﹣3，0），点B在y轴上，且A、B两点间的距离是5，请直接写出点B的坐标． 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）根据两点间的距离公式即可得到结论； （3）根据两点间的距离公式列方程，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）AB5， 故答案为：5； （2）由两点间距离公式得：， 则A，B两点间的距离为； （3）设B（0，m）， 由两点间距离公式得5， 解得m＝±4， ∴点B的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 5．（2024春•玉溪期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式．当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x1﹣x2|或|y1﹣y2|． （1）已知A（1，5）、B（﹣2，5），则A、B两点间的距离为 　3　； （2）已知一个三角形各顶点坐标为D（﹣4，4），E（﹣1，0），F（0，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 【分析】（1）由A、B两点坐标特征得到AB∥x轴，再由材料中当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x1﹣x2|或|y1﹣y2|列式求解即可得到答案； （2）由两点间的距离公式，结合D（﹣4，4），E（﹣1，0），F（0，2）求出三角形三边长度，再由勾股定理的逆定理得到DE2＝DF2+EF2，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵A（1，5）、B（﹣2，5）的纵坐标相等，则AB∥x轴， ∴当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x1﹣x2|或|y1﹣y2|可知A、B两点间的距离为1﹣（﹣2）＝3， 故答案为：3； （2）△DEF是直角三角形． 理由如下： ∵两点间的距离公式，D（﹣4，4），E（﹣1，0），F（0，2）， ∴；；； ∵DE2＝DF2+EF2， ∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°． 【点评】本题考查阅读理解，涉及两点距离公式、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、二次根式性质等知识，读懂题意，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 6．（2024春•丰泽区校级月考）阅读理解：在平面直角坐标系中，P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1P2的距离．如图，在Rt△P1P2Q，|P1P2|2＝|P1Q|2+|P2Q|2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2，所以|P1P2|．因此，我们得到平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式为|P1P2|．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点P（2，6），Q（﹣3，﹣6），试求P、Q两点间的距离； （2）已知点M（m，5），N（1，2）且MN＝5，求m的值； （3）求代数式的最小值． 【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把看成点（x，y）到两点..和（﹣3，﹣4）的距离之和，求出两点（3，0）和（﹣3，﹣4）的距离便是的最小值． 【解答】解：（1）根据两点的距离公式得，； （2）（m﹣1）2+9＝25， ∴m1＝5，m2＝﹣3； （3）∵看成点（x，y）到两点（3，0）和（﹣3，﹣4）的距离之和， ∴的最小值为点（x，y）到两点（3，0）和（﹣3，﹣4）的距离之和的最小值， ∵当点（x，y）在以两点（3，0）和（﹣3，﹣4）为端点的线段上时，点（x，y）到两点（3，0）和（﹣3，﹣4）的距离之和的最小值，其最小值为以两点（3，0）和（﹣3，﹣4）为端点的线段长度， ∴的最小值为． 【点评】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． 题型十 点的坐标与图形的面积关系 解题技巧提炼 利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，同时运用“割补法”计算不规则图形的面积. 1．（2023春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答； （2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解； （3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答． 【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3）， ∴|﹣3|＝3， ∴点C到x轴的距离为3； （2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6， ∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18． （3）设点P的坐标为（0，y）， ∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3）， ∴6×|y﹣3|＝6， ∴|y﹣3|＝2， ∴y＝1或y＝5， ∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）． 【点评】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想． 2．（2023春•莘县期末）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点A、B、C的位置； （2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点的坐标，直接描点； （2）根据点的坐标可知，AB∥x轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5，点C到线段AB的距离3﹣1＝2，根据三角形面积公式求解； （3）因为AB＝5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个． 【解答】解：（1）描点如图； （2）依题意，得AB∥x轴，且AB＝3﹣（﹣2）＝5， ∴S△ABC5×2＝5； （3）存在； ∵AB＝5，S△ABP＝10， ∴P点到AB的距离为4， 又点P在y轴上， ∴P点的坐标为（0，5）或（0，﹣3）． 【点评】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积． 3．（2023春•东城区校级期末）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）． （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？ （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 【分析】利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积，或补直角三角形成长方形． 【解答】解：（1）过点B，A分别作BF，AE垂直于x轴，所以四边形的面积3×6（6+8）×92×8＝80； （2）根据平移的性质可知，平移后的图形形状和大小不变，所以所得的四边形面积是80． 【点评】主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式有机的和图形结合起来求解的方法． 4．如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（2，0），B（4，2），C（2，3），过点C与x轴平行的直线EF与过点B与y轴平行的直线EH交于点E． （1）求四边形OABC的面积； （2）在线段EF上是否存在点P，使四边形OAPC的面积为7？若不存在，说明理由；若存在，求点P的坐标． 【分析】（1）首先根据各点的坐标，可得OF＝EH＝3，OH＝EF＝4，CF＝OA＝2，BH＝2，则可得CE＝AH＝2，BE＝1；根据所给图形可得：S四边形ABCO＝S长方形OHEF﹣S三角形ABH﹣S三角形CBE﹣S三角形OCF，代入相关数据进行计算即可求解； （2）若点P在EH上，设PH＝x，则可得PE＝3﹣x，可得S四边形OAPC＝S长方形OHEF﹣S三角形APH﹣S三角形CPE﹣S三角形OCF，比较四边形OAPC的面积与7的大小关系，即可求解本题． 【解答】解：（1）由题意，可得OF＝EH＝3，OH＝EF＝4，CF＝OA＝2，BH＝2， 则CE＝AH＝2，BE＝1， ∴S四边形ABCO＝S长方形OHEF﹣S三角形ABH﹣S三角形CBE﹣S三角形OCF＝4×32×22×13×2＝6； （2）不存在．理由如下： 若点P在EH上，设PH＝x，则PE＝3﹣x， S四边形OAPC＝S长方形OHEF﹣S三角形APH﹣S三角形CPE﹣S三角形OCF＝4×32x2×（3﹣x）3×2＝6， 此时四边形OAPC的面积为一定值6，不为7，故不存在． 【点评】本题考查求四边形面积，把四边形分割成三角形是解题的关键． 题型十一 图形在坐标系中的平移 解题技巧提炼 1、由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移. 2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离. 1．（2023春•五华区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，0），向下平移3个单位后位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据点的平移：左减右加，上加下减以及各象限中点的坐标特征解答可得． 【解答】解：∵点P（﹣2，0）向下平移3个单位后的坐标为（﹣2，﹣3）， ∴点P（﹣2，0）向下平移3个单位后位于第三象限， 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形变化一平移，各象限中点的坐标特征，熟记平移中点的变化规律是：左减右加，上加下减是解题的关键． 2（2023•南京模拟）点A（﹣3，﹣1）向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【解答】解：点A的坐标为（﹣3，﹣1），将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B， 点B的横坐标是﹣3﹣3＝﹣6，纵坐标为﹣1+4＝3，即（﹣6，3）． 故选：B． 【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加． 3．（2023秋•锡山区校级月考）把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（　　） A．（m+2，n+1） B．（m﹣2，n﹣1） C．（m﹣2，n+1） D．（m+2，n﹣1） 【分析】根据A点到O点的变化情况，即可求解． 【解答】解：由题图可知，将圆A先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得圆O，点P作相应的平移得到P'， ∴P'（m+2，n﹣1）． 故选：D． 【点评】本题考查了图形的变换﹣平移，解题的关键是先找到平移前后图形的几个关键点，观察对应点的坐标变化情况，从而得出所有坐标的变化情况． 4．（2023•成都模拟）在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）沿x轴负方向平移2个单位长度后得到的点Q的坐标为 　 　． 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【解答】解：原来点的横坐标是﹣4，纵坐标是2，沿x轴的负方向平移2个单位长度得到新点的横坐标是﹣4﹣2＝﹣6，纵坐标不变； 即点Q的坐标为（﹣6，2）． 故答案为：（﹣6，2）． 【点评】本题主要考查了平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 5．（2023秋•朝阳区校级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，4）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为 　 　． 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点B的坐标为（﹣1+1，4），进而可得答案． 【解答】解：将点A（﹣1，4）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点B， 则点B的坐标为（﹣1+1，4）， 即（0，4）． 故答案为：（0，4）． 【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，掌握点的坐标的变化规律是关键． 6．（2023秋•农安县期中）如图，线段AB两端点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为 　 ． 【分析】根据平移的性质分别求出a、b的值，计算即可． 【解答】解：点A的横坐标为﹣1，点C的横坐标为1， 则线段AB先向右平移2个单位， ∵点B的横坐标为1， ∴点D的横坐标为3，即b＝3， 同理，a＝3， ∴a+b＝3+3＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握平移变换与坐标变化之间的规律是解题的关键． 7．（2023秋•百色期末）如图，△A1B1C1是由△ABC平移后得到的．已知△ABC三顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），在△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）． （1）△ABC是怎样平移得到△A1B1C1的？ （2）分别直接写出△A1B1C1三个顶点A1，B1，C1的坐标． 【分析】（1）根据△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）中横纵坐标的变化可直接得出结论； （2）根据（1）中三角形的平移方法及A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0）可得出结论． 【解答】解：（1）∵△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）， ∴△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1； （2）由（1）知，△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1， ∵A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0）， ∴A1（3，6），B1（1，2），C1（5，3）． 【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 8．（2024春•碑林区月考）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，且点C的对应点坐标是C′． （1）画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标； （2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，则点P′的坐标 　 　； （3）若将△A′B′C′看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的方向 　 　，平移的距离 　 　． 【分析】（1）根据平移的性质，画出△A′B′C′，进而写出点C′的坐标即可； （2）根据点的平移规则：左减右加，上加下减，求解即可； （3）根据平移的性质，求出AA′的长度，作答即可． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； 由图可知：C′（5，﹣2）； （2）∵P（a，b）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到P′， ∴P′（a+4，b﹣3）； 故答案为：（a+4，b﹣3） （3）由勾股定理，得：， ∴将△A′B′C′看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的方向为沿着直线AA′的方向，平移5个单位得到； 故答案为：沿直线AA′的方向，5． 【点评】本题考查坐标与平移，掌握平移的性质，是解题的关键． 题型十二 平面直角坐标系与动点问题 解题技巧提炼 本题考查坐标与图形变化﹣平移，动点运动问题，关键是要“化动为静”，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题有时要用分类讨论的思想思考问题. 1．如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3） （1）直接写出点E的坐标 （2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；过点P作PN∥CB） 【分析】（1）由平移的性质可知BC＝AE＝2，由此即可解决问题． （2）结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB．过点P作PN∥CB，利用平行线的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）∵BC∥AE，BC＝AE，C（﹣2，3）， ∴AE＝BC＝2， ∵A（1，0）， ∴OA＝1，OE＝1 ∴E（﹣1，0）． （2）解：结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB． 理由：过点P作PN∥CB． ∴∠CBP＝∠BPN， 又∵BC∥AE， ∴PN∥AE， ∴∠PAD＝∠APN， ∴∠CBP+∠PAD＝∠BPN+∠APN＝∠APB． 【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2023•苏州模拟）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出B点的坐标（　 　）； （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【分析】（1）根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可； （2）先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标； （3）根据矩形的性质以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出OP，再根据时间＝路程÷速度列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6）， ∴OA＝4，OC＝6， ∴点B（4，6）； 故答案为：4，6． （2）如图所示， ∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8， ∴点P的坐标为（2，6）； （3）点P到x轴距离为5个单位长度时，点P的纵坐标为5， 若点P在OC上，则OP＝5， t＝5÷2＝2.5秒， 若点P在AB上，则OP＝OC+BC+BP＝6+4+（6﹣5）＝11， t＝11÷2＝5.5秒， 综上所述，点P移动的时间为2.5秒或5.5秒． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，动点问题，主要利用了矩形的性质和点的坐标的确定，难点在于（3）要分情况讨论． 3．（2023春•公安县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论． ②利用三角形面积公式求解即可． （2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论． （3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论． 【解答】（1）解：①∵， 又∵0，（b﹣3）2≥0， ∴a＝4，b＝3， ∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4）， 故答案为：1，4；3，0；2，﹣4． ②△AOH的面积1×4＝2， 故答案为：2． （2）证明：如图，连接DH． ∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积， ∴1×n4×（1﹣m）＝2， ∴4m＝n． （3）解：①当点P在线段OB上，（3﹣2t）×42t， 解得t＝1.2． 此时P（0.6，0）． ②当点P在BO的延长线上时，（2t﹣3）×42×t， 解得t＝2， 此时P（﹣1，0）， 综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．（2023春•延长县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（　 　，　 　）、C（　 ，　 ）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APDS四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）当点P在线段BA上时，根据A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB＝8，AC＝6当点P在线段AC上时，于是得到结论； （3）当点P在线段BA上时，当点P在线段AC上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0）， 故答案为：0、6，8、0； （2）当点P在线段BA上时， 由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6 ∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t， ∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）； 当点P在线段AC上时， ∴AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）． （3）存在两个符合条件的t值， 当点P在线段BA上时 ∵S△APDAP•AC S四边形ABOC＝AB•AC，S△APDS四边形ABOC， ∴（8﹣2t）×68×6， 解得：t＝3＜4， 当点P在线段AC上时， ∵S△APDAP•CD CD＝8﹣2＝6， ∴（2t﹣8）×68×6， 解得：t＝5． 综上所述：当t为3秒和5秒时S△APDS四边形ABOC， 【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键． 5．（2023春•牡丹江期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），其中a，b满足|a﹣2|0，现同时将点A，B分别向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，分别得到AB的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）点C的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 ； （2）把AC的中点M（1，3）向左平移4个单位长度得到点E，如图②，连接EC，EA，求△ACE的面积； （3）P是x轴上一点，连接PC，BC，使S△PBC＝2S△ABC，直接写出点P点坐标． 【分析】（1）根据绝对值、二次根式的非负性求出a与b的值，得到点A，B的坐标，再根据点的平移规律得出点C，D的坐标； （2）利用S△ACE＝S△AME+S△CME列式计算即可； （3）根据S△PBC＝2S△ABC得到•PB•OC＝2AB•OC，得出PB＝2AB，进而求出P点横坐标，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵|a﹣2|0， ∴a﹣2＝0，8﹣b＝0， ∴a＝2，b＝8， ∴A（2，0），B（8，0）， ∵同时将点A，B分别向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D， ∴C（0，6），D（6，6）． 故答案为：（0，6），（6，6）； （2）∵把AC的中点M（1，3）向左平移4个单位长度得到点E， ∴E（﹣3，3），ME∥x轴， ∴EM＝1﹣（﹣3）＝4． 如图，连接EM， 则S△ACE＝S△AME+S△CME 4×6 ＝12； （3）∵S△PBC＝2S△ABC，P是x轴上一点， ∴•PB•OC＝2AB•OC， ∴PB＝2AB＝2×（8﹣2）＝12， ∵B（8，0）， ∴P点横坐标为：8+12＝20，或8﹣12＝﹣4， ∴P点坐标为（20，0）或（﹣4，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质，三角形的面积，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 6．（2023春•惠州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD； （1）直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． （2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？ （3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系． 【分析】（1）利用平移变换的性质求解； （2）设t秒后MN∥x轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在直线AC的左侧时，②如图2中，当点P在直线AC的左侧或直线AC上且在直线AB的右侧时，③如图3中，当点P在直线AB的右侧时，分别求解即可． 【解答】解：（1）由题意C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）， 故答案为：﹣1，3，﹣1，﹣2； （2）设t秒后MN∥x轴， ∴5﹣t＝0.5t﹣2， 解得t， ∴t时，MN∥x轴； （3）①如图1中，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD+∠PAB． ②如图2中，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD+∠APC． ③如图3中，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB+∠APC． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 平面直角坐标系 知识点一 平面直角坐标系及有关概念 ◆在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． ◆平面直角坐标系中两坐标轴的特征：①互相垂直；②原点重合；③通常取向上、向右为正方向；④单位长度一般取相同的，在有些实际问题中，两坐标轴上的单位长度可以不同. 知识点二 点的坐标 ◆1、有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，这个有序数对就是这个点的坐标． ◆2、写一个点的坐标时，一定要让横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． ◆3、求一个点的坐标的方法：先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.原点O的坐标是（0,0），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0. ◆4、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. ◆5、对于坐标平面内任意一点M，都要唯一的有序数对（x,y）（即点M的坐标）和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y）在坐标平面内都有唯一的一点M （即坐标为（x,y）的点）和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. ◆6、点的坐标的几何意义：点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． ●坐标平面的划分: 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． ◆1、各区域点的坐标特征 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 简记 在第一象限 正号 正号 （+，+） 在第二象限 负号 正号 （-，+） 在第三象限 负号 负号 （-，-） 在第四象限 正号 负号 （+，-） 在x轴上 正半轴 正号 0 （+，0） 负半轴 负号 0 （-，0） 在y轴上 正半轴 0 正号 （0，+） 负半轴 0 正号 （0，-） 原点 0 0 （0，0） ◆2、坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上. 题型一 确定平面直角坐标系内点的坐标 解题技巧提炼 确定点的坐标的方法：首先确定横坐标，方法是先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.最后用有序数对将它表示出来，即横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，并用小括号括起来. 1．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3） 2．（2023春•宁津县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 3．如图，写出A、B、C、D、E、F、H各个点的坐标． 4．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C，D，O都在格点上．以点O为坐标原点，在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点A，B，C，D的坐标． 5．点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）分别写出点A，B，C，D的坐标； （2）依次连接A、C、D得到一个封闭图形，判断此图形的形状． 6．如图是A，B，C，D四点所在位置． （1）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点C的坐标为（1，5），则点B，D的坐标分别为 　 　，　 　； （2）若点B的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣2，0），请在图中建立平面直角坐标系，并写出此时点A，C的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中， （1）写出点A，B，C，D的坐标． （2）x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？ 题型二 在平面直角坐标系内描点 解题技巧提炼 1、已知点A（a,b）,描这个点的方法是： (1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. 2对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对和它对应，对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应. 1．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（　　） A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3） 2．（2023春•海港区期末）在平面直角坐标系下描出下列各点：M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、P（0，4）、Q（﹣3，0），则描错的点的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置． （1）图中C，D，E三点位置分别如何表示？ （2）在图中标出（3，2），（1，2），（3，4）的位置上的点，并分别标上字母F，G，H． 4．（2023春•环江县期中）在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母： （1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）； （2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度． 5．（2023秋•涡阳县校级月考）在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题： （1）写出图中A，B，C，D各点的坐标． （2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）． （3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？ 6．（2023秋•南海区月考）在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．C（﹣6，3），D（﹣6，0），A（0，0），B（0，3）． （1）图形中哪些点在坐标轴上？ （2）线段BC与x轴有什么位置关系？ 题型三 由点的位置确定点的坐标 解题技巧提炼 解答根据已知点的坐标表示平面内其它点的位置的问题，应先根据已知点的坐标建立适当的平面直角坐标系，再根据其它点所在的象限及位置最终确定坐标. 1．（2024春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，☆盖住的点的坐标可能是（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（3，﹣1） 2．（2024•丛台区校级模拟）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 3．（2023秋•驿城区校级期末）如图是小刚画的一张脸，若用点A（1，1）表示左眼的位置，点B（3，1）表示右眼的位置，则嘴巴点C的位置可表示为（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（2，0） 4．（2023春•渝中区校级月考）如图，如果“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“相”所在位置的坐标为（3，﹣2），那么“士”所在位置的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（1，﹣2） C．（0，﹣1） D．（﹣1，2） 5．（2023春•兴隆县期中）如图是小明、小刚小红做课间操时的位置，如果用（4，5）表示小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，那么小红的位置可表示为（　　） A．（1，3） B．（﹣2，3） C．（﹣1，3） D．（0，2） 6．（2023秋•杏花岭区期中）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣3，3）（﹣1，0），则叶柄底部点C的坐标为 　 　． 题型四 由点的坐标确定点所在的象限 解题技巧提炼 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限. 1．（2024春•东城区校级期中）在平面直角坐标系中，在第三象限的点坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4） 2．（2024春•河南期末）在平面直角坐标系中，点P（2023，﹣2024）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024春•临海市期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是（　　） A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2） 4．（2023春•贵州期末）无论m取什么实数，点（﹣1，﹣m2﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2023•邵阳模拟）已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2，则点M的位置在（　　） A．第一或第三象限 B．第一象限 C．第三象限 D．坐标轴上 6．（2023秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1﹣2m2，m2+1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2023秋•沈河区校级期中）在平面直角坐标系中，若点A（a，ab）在第四象限，则点B（a2b，﹣b2）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 坐标轴上的点的坐标特征 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0，即原点O的坐标是（0,0）. 1．（2024春•合江县期末）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点M的坐标为（　　） A．（﹣4，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣4） 2．（2023•揭东区一模）如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1） 3．（2023春•柳南区校级期末）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点（n+1，n﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024春•丰城市校级月考）若点A（n﹣2021，2022）在y轴上，则点B（n﹣2022，n+1）在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．（2023秋•修水县期中）已知点A在x轴的负半轴上，且到原点的距离是3，则点A的坐标为 　 　． 6．（2023春•宜州区期中）在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，2a+4），根据下列条件，求出相应的点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P的横坐标比纵坐标大2； 题型六 由点到坐标轴的距离确定点的坐标 解题技巧提炼 平面直角坐标系内任意一点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是. 1．（2024春•鱼台县期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣3）到y轴的距离为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．3 2．（2024春•崇川区校级期末）若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 3．（2023春•绥棱县期末）已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，3） 4．（2023•港北区二模）已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，4） D．（2，﹣4） 5．（2023秋•市南区校级期中）点P坐标为（6﹣3a，a+2），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（3，3）或（﹣6，6） D．（3，﹣3）或（6，﹣6） 6．（2024春•东昌府区期末）在平面直角坐标系中，点P（m﹣1，3m﹣6）到y轴的距离为2，则m的值为 　 　． 7．（2023春•鹿邑县月考）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点Q的坐标为（1，5），PQ∥x轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 8．（2024春•承德县期末）在平面直角坐标系中，有一点P（2x﹣1，3x）． （1）若点P在y轴上，求x的值； （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 题型七 角平分线上点的坐标特征 解题技巧提炼 在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标相同，第二、四象限上的点横坐标与纵坐标互为相反数. 1．若点A（，）在第三象限的角平分线上，则a的值为（　　） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣3）和点B（5，﹣5）分别在（　　） A．第一、三象限的角平分线上 B．第二、四象限的角平分线上 C．第三、四象限的角平分线上 D．第二、三象限的角平分线上 3．（2023秋•茂南区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（2m+3，3m﹣1）在第一、三象限的角平分线上，则m的值为（　　） A．4 B． C． D．4或 4．（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 5．如果点A（m﹣2，2m）在第一、三象限的角平分线上，那么点N（﹣m+2，m﹣1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知点M（4﹣2m，m﹣5）在第二、四象限的角平分线上，求点M的点坐标． 7．（2023秋•宿城区期末）已知点M（3a﹣8，a﹣1），试分别根据下列条件，求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在第一、三象限的角平分线上． 题型八 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 解题技巧提炼 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同. 1．（2024春•临沂期末）在直角坐标系中，过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，则（　　） A．，b＝﹣3 B．，b＝﹣3 C．，b≠﹣3 D．，b≠﹣3 2．（2024春•龙马潭区期末）在平面直角坐标系中，P（1，2），点Q在x轴下方，PQ∥y轴，若PQ＝5，则点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（6，2） C．（1，﹣3） D．（1，7） 3．（2023秋•莲池区校级期末）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（　　） A．（2，8） B．（2，8）或（2，﹣2） C．（7，3） D．（7，3）或（﹣3，3） 4．（2023春•渝中区校级月考）已知点M（x+5，x﹣4）．满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上，则MN的长度为 　 　． 5．（2023秋•道里区校级月考）平面直角坐标系中，已知MN∥x轴，M点的坐标为（﹣1，3），并且MN＝5，则N点的坐标为 　 　． 6．（2023春•广州期中）已知点M的坐标为（2，﹣4），线段MN＝5，MN∥x轴，则点N的坐标为 　 　． 7．（2023秋•秦都区校级期中）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在x轴上．求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 题型九 平面内两点间的距离 解题技巧提炼 本题考查了勾股定理求两点间的距离．解题的关键熟记两点间的坐标距离公式：设A（x1，y1），B（x2，y2），则． 1．（2024春•惠东县期中）点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．﹣3 2．（2023春•营山县校级期中）平面直角坐标系中有A（3，﹣4）、B（﹣2，﹣4）两点，那么A、B两点的之间的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023春•安次区校级期中）平面直角坐标系中，点P（m，﹣3）和点Q（2，1）．则P、Q两点间的距离的最小值为（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．5 4．（2024春•宁江区校级期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 【读】：坐标系中两点间的距离公式： 如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1），B（x2，y2），那么两点的距离． 【思】：例如：若点A（5，1），B（4，2），则． 【悟】：完成任务 （1）若坐标平面内有两点A（3，0），B（0，﹣4），则AB＝　 　． （2）若坐标平面内有两点A（3，2），B（4，﹣4），求A、B两点间的距离． 【省】：迁移应用 若坐标平面内有点A（﹣3，0），点B在y轴上，且A、B两点间的距离是5，请直接写出点B的坐标． 5．（2024春•玉溪期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式．当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x1﹣x2|或|y1﹣y2|． （1）已知A（1，5）、B（﹣2，5），则A、B两点间的距离为 　3　； （2）已知一个三角形各顶点坐标为D（﹣4，4），E（﹣1，0），F（0，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 6．（2024春•丰泽区校级月考）阅读理解：在平面直角坐标系中，P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1P2的距离．如图，在Rt△P1P2Q，|P1P2|2＝|P1Q|2+|P2Q|2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2，所以|P1P2|．因此，我们得到平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式为|P1P2|．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点P（2，6），Q（﹣3，﹣6），试求P、Q两点间的距离； （2）已知点M（m，5），N（1，2）且MN＝5，求m的值； （3）求代数式的最小值． 题型十 点的坐标与图形的面积关系 解题技巧提炼 利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，同时运用“割补法”计算不规则图形的面积. 1．（2023春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 2．（2023春•莘县期末）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点A、B、C的位置； （2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023春•东城区校级期末）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）． （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？ （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 4．如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（2，0），B（4，2），C（2，3），过点C与x轴平行的直线EF与过点B与y轴平行的直线EH交于点E． （1）求四边形OABC的面积； （2）在线段EF上是否存在点P，使四边形OAPC的面积为7？若不存在，说明理由；若存在，求点P的坐标． 题型十一 图形在坐标系中的平移 解题技巧提炼 1、由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移. 2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离. 1．（2023春•五华区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，0），向下平移3个单位后位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2（2023•南京模拟）点A（﹣3，﹣1）向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2023秋•锡山区校级月考）把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（　　） A．（m+2，n+1） B．（m﹣2，n﹣1） C．（m﹣2，n+1） D．（m+2，n﹣1） 4．（2023•成都模拟）在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）沿x轴负方向平移2个单位长度后得到的点Q的坐标为 　 　． 5．（2023秋•朝阳区校级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，4）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为 　 　． 6．（2023秋•农安县期中）如图，线段AB两端点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为 　 ． 7．（2023秋•百色期末）如图，△A1B1C1是由△ABC平移后得到的．已知△ABC三顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），在△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）． （1）△ABC是怎样平移得到△A1B1C1的？ （2）分别直接写出△A1B1C1三个顶点A1，B1，C1的坐标． 8．（2024春•碑林区月考）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，且点C的对应点坐标是C′． （1）画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标； （2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，则点P′的坐标 　 　； （3）若将△A′B′C′看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的方向 　 　，平移的距离 　 　． 题型十二 平面直角坐标系与动点问题 解题技巧提炼 本题考查坐标与图形变化﹣平移，动点运动问题，关键是要“化动为静”，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题有时要用分类讨论的思想思考问题. 1．如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3） （1）直接写出点E的坐标 （2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；过点P作PN∥CB） 2．（2023•苏州模拟）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出B点的坐标（　 　）； （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 3．（2023春•公安县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 4．（2023春•延长县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（　 　，　 　）、C（　 ，　 ）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APDS四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 5．（2023春•牡丹江期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），其中a，b满足|a﹣2|0，现同时将点A，B分别向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，分别得到AB的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）点C的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 ； （2）把AC的中点M（1，3）向左平移4个单位长度得到点E，如图②，连接EC，EA，求△ACE的面积； （3）P是x轴上一点，连接PC，BC，使S△PBC＝2S△ABC，直接写出点P点坐标． 6．（2023春•惠州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD； （1）直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． （2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？ （3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$