第12章 整式的乘除（12类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第12章 整式的乘除（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点1幂的运算 1、 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数） 【注意事项】 1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。 2）不能疏忽指数为1的情况。例：a·a2＝a1＋2＝a3 3）乘数a可能是有理数、单项式或多项式。 4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。 5）逆用公式：（m,n都是正整数） 【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m，n，p都是正整数） 2、 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数). 【注意事项】 1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。 2）逆用公式： 【扩展】 (m，n，p均为正整数) 3、 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。 【注意事项】逆用公式： 【扩展】 (n为正整数) 4、 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。 （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 【注意事项】 1）0不能做除数的底数。 2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。 3）注意指数为1的情况，如x8÷x=x7 ，计算时候容易遗漏将除数x的指数忽略。 4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n） 【扩展】当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。 知识点2整式的乘除 1、 单项式×单项式 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘法易错点： 【注意】 1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。 2）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。 3） 运算顺序：先算乘方，再算乘法。 2、单项式×多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 【注意事项】 1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。 2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负） 例： 3） 对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。 3、多项式×多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【注意事项】 多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。 4、 单项式÷单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 5、 多项式÷单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【解题思路】 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。 6、 整式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。 知识点3 乘法公式 1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2(特征：用相同项的平方减相反项的平方。) 【扩展】常见平方差公式的变形 1 位置变化：如 2 系数变化：如 3 指数变化：如 4 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a） 5 增项变化：如 6 增因式变化：如 【注意事项】 1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。 2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。 2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－2ab＋b2 【扩展】 扩展一(公式变化)： 扩展二： ； 扩展三： 【补充】： ； 知识点4因式分解 1、概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 【注意事项】 1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2）因式分解必须是恒等变形； 3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 2、因式分解的常用方法： 方法一：提公因式法 1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。 4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 方法二：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ( 03 题型归纳 ) 题型一　同底数幂的乘法 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．（2024·浙江台州·模拟预测）计算，正确的结果是（    ） A． B． C． D．a 2．（23-24八年级上·福建·单元测试）已知，，则_______． 3．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是__________米． 题型二　幂的乘方 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．（22-23七年级下·广西桂林·期中）计算所得结果是（　　） A． B． C． D． 2．（19-20八年级上·吉林长春·期中）已知，，则的值是_______． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) 题型三　积的乘方 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．（2023·江苏南京·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算_______． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四　同底数幂的除法 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 巩固训练 1．（2023·吉林松原·模拟预测）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习），，则的值为_______． 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型五　单项式与单项式相乘 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）________． 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）计算的结果是________． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． 题型六　单项式与多项式相乘 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 2．（23-24七年级上·上海·单元测试）已知，则单项式________． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：． 题型七　多项式与多项式相乘 例题：（22-23八年级上·吉林长春·期末）计算：． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）若关于的代数式的化简结果中不含的项和的项，求的值． 3．（22-23七年级下·山东聊城·期中）先化简，再求值：，其中，，． 题型八　平方差公式 例题：（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式能用平方差计算公式的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 2．（22-23七年级下·四川达州·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）的计算结果的个位数字是____． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2) 题型九　完全平方公式 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）计算：； 巩固训练 1．（22-23六年级下·山东泰安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）若是完全平方式，则________． 3．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 题型十　单项式除以单项式 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）________． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）计算：_______． 3．（20-21七年级上·上海静安·课后作业） 题型十一　多项式除以单项式 例题：（22-23七年级下·宁夏银川·期中）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（22-23六年级下·山东东营·期中）一个长方形的面积为，一边长为，则它的另一边长为__________． 2．（22-23七年级下·广东佛山·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（23-24八年级上·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 题型十二　因式分解 例题：（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）分解因式： (1) ； (2)． 巩固训练 1．（22-23八年级下·山西太原·单元测试）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知，，则________． 3．（21-22八年级下·宁夏银川·期末）因式分解 (1)； (2)； (3)． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 整式的乘除（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点1幂的运算 1、 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数） 【注意事项】 1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。 2）不能疏忽指数为1的情况。例：a·a2＝a1＋2＝a3 3）乘数a可能是有理数、单项式或多项式。 4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。 5）逆用公式：（m,n都是正整数） 【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m，n，p都是正整数） 2、 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数). 【注意事项】 1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。 2）逆用公式： 【扩展】 (m，n，p均为正整数) 3、 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。 【注意事项】逆用公式： 【扩展】 (n为正整数) 4、 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。 （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 【注意事项】 1）0不能做除数的底数。 2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。 3）注意指数为1的情况，如x8÷x=x7 ，计算时候容易遗漏将除数x的指数忽略。 4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n） 【扩展】当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。 知识点2整式的乘除 1、 单项式×单项式 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘法易错点： 【注意】 1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。 2）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。 3） 运算顺序：先算乘方，再算乘法。 2、单项式×多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 【注意事项】 1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。 2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负） 例： 3） 对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。 3、多项式×多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【注意事项】 多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。 4、 单项式÷单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 5、 多项式÷单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【解题思路】 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。 6、 整式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。 知识点3 乘法公式 1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2(特征：用相同项的平方减相反项的平方。) 【扩展】常见平方差公式的变形 1 位置变化：如 2 系数变化：如 3 指数变化：如 4 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a） 5 增项变化：如 6 增因式变化：如 【注意事项】 1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。 2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。 2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－2ab＋b2 【扩展】 扩展一(公式变化)： 扩展二： ； 扩展三： 【补充】： ； 知识点4因式分解 1、概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 【注意事项】 1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2）因式分解必须是恒等变形； 3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 2、因式分解的常用方法： 方法一：提公因式法 1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。 4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 方法二：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ( 03 题型归纳 ) 题型一　同底数幂的乘法 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)256；(4) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 巩固训练 1．（2024·浙江台州·模拟预测）计算，正确的结果是（    ） A． B． C． D．a 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂相乘，熟练掌握同底数幂相乘的法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（23-24八年级上·福建·单元测试）已知，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用的知识点． 根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是__________米． 【答案】 【分析】根据路程=速度×时间，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： （米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法． 题型二　幂的乘方 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方运算法则计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则计算即可； （3）先确定符号，再计算幂的乘方即可； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 巩固训练 1．（22-23七年级下·广西桂林·期中）计算所得结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故选：． 2．（19-20八年级上·吉林长春·期中）已知，，则的值是_______． 【答案】20 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和幂的乘法逆用，首先根据，求出的值是多少，然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求出的值是多少即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：20． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2)0 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． （1）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算得出即可； （2）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则得出即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型三　积的乘方 例题：（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方的运算法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 巩固训练 1．（2023·江苏南京·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方．熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算即可解答． 【详解】解： 故选：D 2．（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算_______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，利用积的乘方的逆用进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）根据积的乘方的运算法则计算即可； （3）（4）根据积的乘方的运算法则以及幂的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型四　同底数幂的除法 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）把当作一个整体，根据同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查整式的乘除混合运算，掌握相应的运算法则、掌握运算顺序是解题的关键． 巩固训练 1．（2023·吉林松原·模拟预测）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的除法计算解答即可． 本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：． 故选B． 2．（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习），，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的除法的逆用，利用幂的乘方和同底数幂的除法公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4） 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可； （3）根据同底数幂的除法法则计算即可； （4）根据同底数幂的除法法则和积的乘方法则计算即可． 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= ==1； （3）原式= = =； （4）原式= = =． 【点睛】本题考查同底数幂的除法和积的乘方法则．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 题型五　单项式与单项式相乘 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，根据单项式乘法法则即可计算，掌握单项式乘法法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据单项式乘以单项式的运算法则：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）计算的结果是________． 【答案】 【分析】此题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式的乘法运算法则即可求解，熟练掌握单项式的乘法法则解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案． 【详解】解：， 则， ∴， 即， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 题型六　单项式与多项式相乘 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘多项式法则求解即可． 【详解】解：长方形的面积为=， 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故选A． 2．（23-24七年级上·上海·单元测试）已知，则单项式________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，由即可求解，掌握单项式与多项式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴单项式， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式．根据单项式乘多项式的法则计算即可求解，注意：别漏乘常数项“”，计算结果的项数应和多项式的项数一致． 【详解】解： ． 题型七　多项式与多项式相乘 例题：（22-23八年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握多项式乘多项式法则是解题关键． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）若关于的代数式的化简结果中不含的项和的项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握相关计算法则是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的计算法则化简代数式，然后根据不含的项和的项得到，，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】 ， 关于的代数式的化简结果中不含的项和的项， ，， ， ． 3（22-23七年级下·山东聊城·期中）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】；8 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型八　平方差公式 例题：（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）下列各式能用平方差计算公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键，根据平方差公式，即两数之和与两数之差的积等于两数的平方差，依据公式判断即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 巩固训练 2．（22-23七年级下·四川达州·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、中没有相同项，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）的计算结果的个位数字是____． 【答案】0 【分析】此题考查了平方差公式，以及尾数特征，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 已知等式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结确定出结果个位数字即可． 【详解】解： ， ，，，，， 依此类推，个位数字以3，9，7，1循环， ， 的个位数字为1，即的个位数字为0． 故答案为：0． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）逐步利用平方差公式计算即可； （2）逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九　完全平方公式 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式：先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（22-23六年级下·山东泰安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式．根据完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项正确，符合题意； D．，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）若是完全平方式，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据完全平方公式即可求解，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 【详解】解： ∴ ∴， 解得，或，故答案为：或 ． 3．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键． 根据完全平分公式的变形即可求解 【详解】（1）解：， ； （2） ． 题型十　单项式除以单项式 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据积的乘方，单项式除以单项式运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可 【详解】解：， 故选：C 2．（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）计算：_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了积的乘方运算、整式的除法．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（20-21七年级上·上海静安·课后作业） 【答案】 【分析】利用单项式除法法则进行计算即可． 【详解】 = =． 【点睛】本题考查了利用单项式除法法则进行有理数的计算，熟练掌握单项式除法法则是解题的关键． 题型十一　多项式除以单项式 例题：（22-23七年级下·宁夏银川·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查整式乘法运算及整式除法运算，熟练掌握多项式乘以单项式、多项式除以单项式的运算法则是解决问题的关键． （1）根据多项式乘以单项式运算法则直接求解即可得到答案； （2）根据多项式除以单项式运算法则直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： ． 巩固训练 1．（22-23六年级下·山东东营·期中）一个长方形的面积为，一边长为，则它的另一边长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式，用长方形的面积除以一边长即可得到答案． 【详解】解：， ∴它的另一边长为， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·广东佛山·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】此题考查整式的化简求值，整式的混合运算，根据整式的混合运算法则化简，再代入，求出结果，正确掌握整式混合运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式． 3．（23-24八年级上·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，先根据乘法公式展开，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式 ． 题型十二　因式分解 例题：（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）分解因式： (1) ； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】题考查了提公因式法与公式法的综合运用； （1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可． （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 巩固训练 1．（22-23八年级下·山西太原·单元测试）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的定义，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知，，则________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．将代数式因式分解后，整体代换求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为： 3．（21-22八年级下·宁夏银川·期末）因式分解 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式继续分解因式即可； （3）直接提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$