精品解析：陕西省汉中市西乡县第一中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题

高三第一次适应性考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. 命题：的否定是 A. B. C. D. 4. 已知点在直线的图象上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 6. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，设，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：） A. 万年 B. 万年 C. 万年 D. 万年 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 公差不为0等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则下列正确的是（ ） A. B. 当时，为最小值 C. 若，则最小值为10 D. 若，则或 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称 11. 对于函数，下列判断正确的是（ ） A. B. 当时，方程总有实数解 C. 图数的值域为 D. 函数的单调增区间为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为.表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为______. 气温 10 6 2 售出热饮的杯数y 24 42 48 13. 若曲线在点处的切线平行于轴，则＝______． 14. 已知 是双曲线的左右焦点，在双曲线上，轴，，则离心率_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知函数，且． （1）求的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 17. 已知函数. （1）若，求在区间上的最大值和最小值； （2）设，若，是否存在实数，使得在时的最小值为，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 19. 如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，说明理由； （3）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第一次适应性考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求集合，注意，再求. 【详解】，又因为，所以，得． 故选：D． 2. 函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得. 【详解】当时，， 所以函数的图像恒过定点 记，则有，解得 所以. 故选：A 3. 命题：的否定是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题求解 【详解】由全称命题的否定为特称命题，知命题：的否定是， 故选:D． 4. 已知点在直线的图象上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将定点的坐标代入，得出到，再利用基本不等式即可求得答案． 【详解】依题意得，，且，， ， 当且仅当，即时取等号，因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式，考查基本不等式中的妙用，考查计算能力，属于基础题． 5. 函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域排除B；由是奇函数排除C；由排除D，从而得出答案. 【详解】由，得，则的定义域是，排除B； 由， 得， 所以函数是奇函数，排除C； ，排除D. 故选：A． 6. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断. 【详解】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的图象是关键. 7. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，设，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得函数的周期性，根据周期将给定的数据转化到同一周期，再根据单调性可比较出大小. 【详解】∵偶函数满足，∴函数的周期为2. 由于，，， .且函数在上单调递减，∴. 【点睛】本题考查函数周期性和单调性的应用，属于基础题. 8. 二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：） A. 万年 B. 万年 C. 万年 D. 万年 【答案】A 【解析】 【分析】利用取对数法进行化简求解即可． 【详解】万年用掉个二维码， 大约能用万年， 设，则， 即万年． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 公差不为0等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则下列正确的是（ ） A. B. 当时，为最小值 C. 若，则最小值为10 D. 若，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用求出公差，计算出、逐项判断可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，，，成等比数列， 所以，即， 解得，或舍去， 当时， 对于A，，解得，所以， 故A正确； 对于B，，所以当时，为最小值， 故B正确； 对于C，若，则，解得，则最小值为11，故C错误； 对于D，若，则，解得则或，故D正确. 故选：ABD. 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，代值计算可判断A选项；利用正弦型函数的周期性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】由图可知，， 函数的最小正周期满足，则，，B错； 所以，， ，可得， 因为，所以，，则，可得， 所以，，则，A对； ， 所以，函数的图象关于直线对称，C对； 将函数的图象向左平移个单位长度以后， 得到函数的图象，所得函数为非奇非偶函数，D错. 故选：AC. 11. 对于函数，下列判断正确的是（ ） A. B. 当时，方程总有实数解 C. 图数的值域为 D. 函数的单调增区间为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据解析式直接计算即可，对于BC，由，从而可求得，从而可求出函数的值域，进而可判断BC，对于D，利用导数和函数的奇偶性的性质判断. 【详解】对于A，因为，所以（），所以A正确， 对于BC，因为，所以，所以的值域为，所以当时，方程总有实数解，所以B正确，C错误， 对于D，，当时，，所以函数在上单调递增，由选项A可知为奇函数，所以在上单调递增，且在处连续，所以在上单调递增，所以D错误， 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为.表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为______. 气温 10 6 2 售出热饮的杯数y 24 42 48 【答案】34 【解析】 【分析】利用平均数的定义，结合样本中心点在回归直线上，即可求解. 【详解】设看不清楚的这个数据为，则，, 由于回归直线必过样本中心，所以，解得：. 故答案为： 13. 若曲线在点处的切线平行于轴，则＝______． 【答案】1 【解析】 【分析】函数在点处的切线平行于轴，,可得切线的斜率为0，由导数的几何意义可得，从而可求出的值. 【详解】由已知，因为在点处的切线平行于轴，故得，解得；经检验符合题意. 故答案为：1． 14. 已知 是双曲线的左右焦点，在双曲线上，轴，，则离心率_______. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的定义及通径长，得到，，在中，利用建立等量关系，即可求出结果. 【详解】因为轴 ，所以，又，所以， 在中，， 化简得到，即，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知函数，且． （1）求的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）定义域为，奇函数 （2） 当时，得取值范围为， 当时，得取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求解函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性； （2）讨论与的大小关系，根据对数函数的单调性建立关系式，解之即可，需注意函数的定义域. 【小问1详解】 由， 可得，解得：， 所以的定义域为，的定义域关于原点对称， 又， 所以是奇函数， 【小问2详解】 ，即， 当时，，解得：， 当时，，解得：. 综上，当时，得取值范围为， 当时，得取值范围为 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 17. 已知函数. （1）若，求在区间上的最大值和最小值； （2）设，若，是否存在实数，使得在时的最小值为，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数单调性求出答案； （2）根据题意可得，换元令，转化为二次函数求最值得解. 【小问1详解】 当时，，， 当时，有， 当时，有 . 【小问2详解】 存在，， 由题可得，由，得. 令，，则， 所以，对称轴， 所以当时，，解得，符合条件. 所以存在满足题意. 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率； （2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长． 【小问1详解】 依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； 【小问2详解】 由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长． 19. 如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，说明理由； （3）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 【答案】（1） 如图， 过E作交于点G,连接, 面，面，则， 又面，面，且不共线，故， 因为为的中点，所以也为中点，又为的中点，所以， 而平面，平面，所以平面，同理平面， 又因为，平面， 所以平面平面，而平面, 所以平面； （2） 设如图, 以点A为原点建立空间直角坐标系, 则， 故， 则， 设平面的法向量 ,则有 ,取 , 整理得 , 解得 或(舍去)， 所以当时, 直线与平面所成角的正弦值是. （3） 存在， 由（2）知，平面的一个法向量， 点中点，则, 则中点到平面的距离为， 由，即故在以中点为球心，半径为的球面上， 而，故在面上的轨迹是半径为的圆， 故存在符合题意的， 此时轨迹是半径为 的圆. 【解析】 【分析】（1）过E作交于点G,连接,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明； （2）先求出面的法向量，设 , 利用向量法结合线面角得正弦值求解即可; （3）由 点在空间内轨迹为以中点为球心, 为半径的球,而 中点到平面的距离为 , 即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设有则在以中点为球心，半径为的球面上，再求中点到面距离，结合直观想象及计算确定在面上的轨迹. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $