第07讲 锐角的三角比的意义（1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第07讲 锐角的三角比的意义（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 题型强化 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2023秋•普陀区月考）在中，，，，那么的正切值是　　 A． B．7 C． D． 2．（2024•静安区校级模拟）一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 　　相等．（填锐角三角比名称） 3．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且． （1）当时，连接，求的余切值； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）连接，若为等腰三角形，求的长． 题型二、正切的概念辨析 4．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，将沿折叠，点恰巧落在边上的处，折痕为，再将其沿折叠，使点落在的延长线上的处．若与相似，则相似比 ． 6．在中，，点是的中点，点是边上一点，，交的延长线于点，，交边于点，过点作，垂足为点，分别交于点． （1）求证：； （2）设，求关于的函数关系式及其定义域； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 分层练习 一、单选题 1．符号sinA表示（　　） A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 3．在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（　　） A．sinA= B．cosB= C．tanA= D．cotB= 5．在 Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ） A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA= 6．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．化简 ． 8．如果中，那么 （填的三角比） 9．小明沿着坡度为的坡面向上走了60米，此时小明所在的位置比原来的位置升高了 米． 10．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 11．当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 13．在平面直角坐标系中，点，则m的值为 ． 14．已知∠α，∠β如图所示，则tan∠α与tan∠β的大小关系是 ． 15．如图，在反比例函数的图像上有一动点A，连接AO并延长交图像的另一分支于点B，在第四象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若，则k的值为 ． 16．如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为 ． 17．如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 18．如图，光源发出的一束光（y轴）上的点B的反射光线交x轴于点，再被平面镜（x轴），则直线的解析式为 ． 三、解答题 19．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 20．如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 21．已知、、分别为中、、的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且，判断的形状，并说明理由． 22．如图，已知，分别是的边，上的高． (1)求证：； (2)连接，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 23．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．    (1)在方格纸上画以为斜边的等腰； (2)在方格纸中画以为斜边的，点在小正方形的顶点上，，连接，并直接写出线段的长． 24．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，．    (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．若点在四边形内部，且点到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“等距点”．例如：如图1，点在四边形内部，且，则称点为边的“等距点”．    (1)如图1，四边形中，于点，求证：点是边的“等距点”． (2)如图2，点是矩形边的“等距点”，． ①当时，请求出的值； ②设分别为，试求的最大值． 26．理解写作 如下图1，在探究锐角的对边与直角三角形斜边之比的数学实验中包含两个环节，一是通过在的边AB上取不同的点， ，分别作高，利用三角形相似，可以说明 ，即的对边与斜边的比值固定，与点的位置无关． 二是说明的度数发生变化时，的对边与斜边的比值也会发生变化．请根据下图2简要说明做法并证明第二个环节的结论，并在图3中再构造一种思路证明此结论． 27．如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． （1）证明：四边形CEGF是正方形； （2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝9，GH＝3，求BC的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 锐角的三角比的意义（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 题型强化 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2023秋•普陀区月考）在中，，，，那么的正切值是　　 A． B．7 C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】解：在中，，，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟知在直角三角形一个角的正切值等于该角的对边比上另一条直角边是解题的关键． 2．（2024•静安区校级模拟）一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 　余弦值　相等．（填锐角三角比名称） 【分析】根据直角三角形的性质得到与互余，再根据正弦呵呵余弦的定义解答即可． 【解答】解：在中，， 则，即与互余， ，， ， 一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的余弦值相等， 故答案为：余弦值． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、余角和补角，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且． （1）当时，连接，求的余切值； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）连接，若为等腰三角形，求的长． 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再由三角形的中位线定理求出、的长，由锐角三角函数的定义即可求出的余切值； （2）过点作于点，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出、的表达式，再由相似三角形的判定定理求出，根据相似三角形的性质可写出关于的函数关系式； （3）先分析出为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当时，点在边上，过点作于点，可求出的长度，由的长可判断出的位置，进而可求出的长；当时，先判断出点的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答． 【解答】解：（1），， ， ，， ，（1分） ，（1分） 在中，；（2分） （2）过点作于点，设， ， ， ， ， ，，（1分） ， 又可证， ，（1分） ， ；（2分） （3），， ， 若为等腰三角形，只有或两种可能．（1分） 当时，点在边上，过点作于点（如图① 可得：，即点在中点， 此时与重合， ；（2分） 当时，点在的延长线上， 过点作于点，（如图② 可证： ， 是直角三角形， ， ， ， ． ， ， ， ，，（2分） 综上所述，为6或7． 【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大． 题型二、正切的概念辨析 4．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：如图，   ， 在中，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键． 5．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，将沿折叠，点恰巧落在边上的处，折痕为，再将其沿折叠，使点落在的延长线上的处．若与相似，则相似比 ． 【答案】 【分析】根据与相似，得到，又，得到，设为，再根据三角函数的定义求得、，即可求解． 【详解】解：与相似， ∴，又， ∴， ∵， ∴， 设为， 则，， ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 6．在中，，点是的中点，点是边上一点，，交的延长线于点，，交边于点，过点作，垂足为点，分别交于点． （1）求证：； （2）设，求关于的函数关系式及其定义域； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或． 【分析】（1）只要证明△OBD∽△NED，即可解决问题； （2）由tan∠DBC＝，又因为，可得，由此即可解决问题； （3）分两种情形：①如图2−1中，当DE＝DF时，②如图2−2中，当DE＝EF时，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵OD⊥DF，BD⊥DE， ∴∠ODF＝∠BDE＝90， ∴∠ODB＝∠NDE， ∵EG⊥AB， ∴∠BGM＝∠MDE＝90， ∵∠BMG＝∠EMD， ∴OBD＝∠DEN， ∴△OBD∽△NED， ∴． （2）解：如图1中，∵∠BCD＝∠BDE＝90， ∴tan∠DBC＝， ∵， ∴， 在Rt△ABC中，AB＝＝＝5， ∴OB＝OA＝2.5， ∴， ∴y＝x， ∵点是的中点，，交边于点，， ∴0＜CD≤2，即定义域为：0＜x≤2； （3）解：①如图2−1中，当DE＝DF时，作OK⊥AC于K，设CD=x． ∵∠OKD＝∠DCF＝∠ODF＝90， ∴∠ODK＋∠KOD＝90，∠ODK＋∠CDF＝90， ∴∠DOK＝∠CDF， ∴△OKD∽△DCF， ∴， ∴， ∴CF＝x（2−x）， ∵DF＝DE，DC⊥EF， ∴∠CDE＝∠CDF， ∵∠CDE＋∠CDB＝90，∠CBD＋∠CDB＝90， ∴∠CDE＝∠CBD＝∠CDF， ∵∠DCF＝∠DCB＝90， ∴△DCF∽△BCD， ∴， ∴CD2＝CF•CB， ∴x2＝2x（2−x）， 解得x＝或0（舍弃） ∴CD＝； ②如图2−2中，当DE＝EF时，设CD=x， ∵ED＝EF， ∴∠EDF＝∠EFD， ∴∠EDC＋∠CDF＝∠DBC＋∠BDF， ∵∠EDC＝∠DBC， ∴∠CDF＝∠BDF， ∵∠CDF＋∠ADO＝90，∠BDF＋∠BDO＝90， ∴∠ADO＝∠BDO， ∵AO＝OB， 作OM⊥AD于M，ON⊥BD于N，则OM＝ON， ∵OA＝OB，∠AMO＝∠ONB＝90， ∴Rt△AOM≌△BON（HL）， ∴∠A＝∠ABD， ∴DA＝DB， ∴DA＝DB＝4−x， 在Rt△BCD中，∵BD2＝CD2＋BC2， ∴（4−x）2＝x2＋32， ∴x＝， ∴CD＝． 综上所述，CD的长为或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题. 分层练习 一、单选题 1．符号sinA表示（　　） A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切 【答案】A 【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案． 【详解】符号sinA表示∠A的正弦． 故选：A． 【点睛】考查了锐角三角函数的定义．在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果． 【详解】在中，，那么锐角的正弦=， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 3．在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】B 【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余切值保持不变． 故选B． 【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（　　） A．sinA= B．cosB= C．tanA= D．cotB= 【答案】C 【详解】如下图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边， ∴ 根据三角函数的定义：可得sinA=，cosB=，tanA=，cotB=， ∴A、B、D选项中的等式都是错误的，只有C中的等式正确. 故选C． 5．在 Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（ ） A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA= 【答案】B 【详解】试题分析：因为sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，故选B． 考点：锐角三角函数的定义． 6．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案． 【详解】∵，， 而， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键． 二、填空题 7．化简 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式变形，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握sinα与1的大小． 8．如果中，那么 （填的三角比） 【答案】 【分析】根据直角三角形中余弦性质求解即可 【详解】∵直角三角形中，余弦等于邻边比斜边 ∴= ∴答案为cosB 【点睛】本题主要考查了余弦的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 9．小明沿着坡度为的坡面向上走了60米，此时小明所在的位置比原来的位置升高了 米． 【答案】30 【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设垂直高度升高了x米，则水平前进了x米． 根据勾股定理可得：x2+（x）2＝602． 解得x＝30， 即小明所在的位置比原来的位置升高了30米． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 10．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 【答案】 【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键． 11．当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 【答案】，，， 【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 13．在平面直角坐标系中，点，则m的值为 ． 【答案】，． 【分析】如图，过点B作，交于点D，则 过点B作轴，过点D作，过点C作，分别交于点E，F；分点C在x轴上方、下方种情况：（1）当点C在x轴下方时：可求证，从而，得，，所以点D的横坐标为，纵坐标为；待定系数确定直线的解析式为，将点D的坐标代入，求得m；（2）当点C在x轴上方时，同理求解． 【详解】如图，过点B作，交于点D，则 过点B作轴，过点D作，过点C作，分别交于点E，F； 当点C在x轴下方时，    ∵ ∴ 而 ∴ 又 ∴ ∴ 而， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为 设直线的解析式为，将点代入得， ，解得 ∴直线解析式为 将点D的坐标代入，得 解得，，或（舍去） 所以 当点C在x轴上方时，    同理可得 ∴ 而， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为 代入直线的解析式，得 解得，或，（舍去） 所以 综上，，或 故答案为：，． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，锐角三角函数，待定系数法确定函数解析式；结合已知，添设辅助线构造相似三角形，从而求出相关线段是解题的关键． 14．已知∠α，∠β如图所示，则tan∠α与tan∠β的大小关系是 ． 【答案】tan∠α<tan∠β 【详解】如图：过点F作FE⊥CD交CD于点E，则 tan∠α=，tan∠β= ， ∵CE>DE ，∴<， ∴tan∠α<tan∠β， 故答案为：tan∠α<tan∠β. 15．如图，在反比例函数的图像上有一动点A，连接AO并延长交图像的另一分支于点B，在第四象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若，则k的值为 ． 【答案】－6 【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，求出∠AOE＝∠COF，证明△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出，再由tan∠CAB＝＝3，可得出CF＝3AE，OF＝3OE，然后根据反比例函数系数k的几何意义得出结论． 【详解】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示． 由直线AB与反比例函数的对称性可知点A、B关于O点对称， ∴AO＝BO， 又∵AC＝BC， ∴CO⊥AB． ∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°， ∴∠AOE＝∠COF， 又∵∠AEO＝∠CFO＝90°， ∴△AOE∽△COF， ∴， ∵tan∠CAB＝＝3， ∴CF＝3AE，OF＝3OE， 又∵AE·OE＝||＝，CF·OF＝|k|， ∴|k|＝6， ∴k＝±6， ∵点C在第四象限， ∴k＝－6， 故答案为：－6． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，正比例函数的性质，中心对称的性质，相似三角形的判定及性质，正切的定义，反比例函数系数k的几何意义等知识，解决该题型题目时，巧妙地利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数系数k的几何意义找出结论． 16．如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】连接，交于点O，根据菱形的性质及勾股定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，再由正弦函数求解即可． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】题目主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 17．如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解． 【详解】∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴与的周长比， ∵， ∴与的周长比， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18．如图，光源发出的一束光（y轴）上的点B的反射光线交x轴于点，再被平面镜（x轴），则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反射定律，，设点，由，得到，得到直线的解析式，根据两直线平行k值相等，设直线的解析式为，将点代入，即可求解， 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正切定义，解题的关键是：设出点B坐标． 【详解】解：设点B的坐标为，过点B作轴的垂线，过点A作垂直于该直线的垂线相交于点D，作，垂足为E， 根据反射定律，， ∴， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线和解析式中的k值相等， 设直线的解析式为，将点代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20．如图，在中，．请用尺规作图法在线段上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析（作法不唯一） 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，余弦的定义，等腰三角形的性质，根据题意只需作出的垂直平分线，得到为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得，即． 【详解】解：如图所示，以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于两点，连接这两点班延长分别交于点E，D，点E为所求； 是的垂直平分线， ， ． 21．已知、、分别为中、、的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】根据题意可得，且，结合勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据三角函数及得，即可得出结论． 【详解】解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵关于的方程有两个相等的实根， ∴，且，即． ∴， ∴． ∴为直角三角形． ∵， ∴ ∴即， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正弦、余弦，根据一元二次方程的根的情况，判断三角形的情况，掌握一元二次方程的根的情况与的关系是解决此题的关键． 22．如图，已知，分别是的边，上的高． (1)求证：； (2)连接，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先证，即可得出； （2）利用（1）中结论可得，结合，可证，根据可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：，分别是的边，上的高， ． 又， ， ； （2）解：与之间的数量关系为； 理由：由（1）得， ． 又， ． ， ， 与之间的数量关系为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，余弦的定义等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方． 23．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．    (1)在方格纸上画以为斜边的等腰； (2)在方格纸中画以为斜边的，点在小正方形的顶点上，，连接，并直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出，再画出图形即可； （2）根据勾股定理和正切的定义计算出，，再画出图形，再由勾股定理计算出的长即可． 【详解】（1）解：由图可得：， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， 解得：， 以为斜边的等腰如图所示：   ； （2）解：由图可得：， 是以为斜边的直角三角形，， ， ， ， ， ，， 画出如图所示：   ， 由图可得：． 【点睛】本题主要考查了作图—应用与设计图，等腰直角三角形的性质、勾股定理、正切的定义，理解题意，熟练掌握以上知识点，正确画出图形是解题的关键． 24．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，．    (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数得表达式为：， (2)或 (3)存在，， 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，解直角三角形的应用等； （1）用待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）求出直线的表达式，即可求解； 【详解】（1）把代入， 解得：， 一次函数的表达式为； 把代入，， 把代入得：， 反比例函数得表达式为：， 由得：， 解得：，， ； （2）从图象看，当时，即一次函数值大于等于反比例函数值， x的取值范围为或； （3）过点作交轴于点，如下图， 设直线的解析式为    由直线的表达式知，，则， ， 设，将代入：， ． ，解得：，， ，时，构成直角三角形． 25．若点在四边形内部，且点到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“等距点”．例如：如图1，点在四边形内部，且，则称点为边的“等距点”．    (1)如图1，四边形中，于点，求证：点是边的“等距点”． (2)如图2，点是矩形边的“等距点”，． ①当时，请求出的值； ②设分别为，试求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①或；② 【分析】（1）由，，可证明，可得，即可证明结论； （2）过点作直线交于于，连结， ①结合“等距点”定义可知点在矩形边和的垂直平分线上，先证明四边形是矩形，结合其性质证明，得，设，则，列出方程即可求解； ②根据正切值的定义得，，可得，即，设，则，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：于点， ， 又，则， ， 点是边的“等距点”； （2）过点作直线交于于，连结， ①点是矩形边的“等距点”， ， 又直线， 直线是矩形边的中垂线， 点在矩形边和的垂直平分线上， ， 矩形中，，    ， ， 交于于， ， 又矩形中，， 四边形是矩形， ， ， ．， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， 当时，， 当时，， 的值为或； ②于， 在中， 在中， 设，则 当时，有最大值25 有最大值 当时，的最大值是． 【点睛】本题考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正切的定义，二次函数，解一元二次方程等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 26．理解写作 如下图1，在探究锐角的对边与直角三角形斜边之比的数学实验中包含两个环节，一是通过在的边AB上取不同的点， ，分别作高，利用三角形相似，可以说明 ，即的对边与斜边的比值固定，与点的位置无关． 二是说明的度数发生变化时，的对边与斜边的比值也会发生变化．请根据下图2简要说明做法并证明第二个环节的结论，并在图3中再构造一种思路证明此结论． 【答案】答案见解析． 【分析】环节一，我们用相似论证了当不变时，的对边与斜边的比值固定不变；环节二，再次为我们论证了当改变时，的对边与斜边的比值也随之变化，不再固定不变；进而从斜边相等，或直角边相等，两个方面论证即可． 【详解】解：环节二证明过程如下： （1）如下图所示：过点A在内部做射线，截取，过点 作，此时构造出了，显然 此时；， 因为，而，所以 所以当的度数发生变化时，的对边与斜边的比值也会发生改变． （2）图3中构造另外一种思路证明： 由上题我们自然想到控制变量法．环节二我们使斜边相等，现在我们使直角边BC与与相等，如图所示： 此时；；因为 ，而，所以 ． 【点睛】本题考查了对边与斜边的比，即正弦值，会随着角度的变化而变化，熟悉相关性质是解题的关键． 27．如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． （1）证明：四边形CEGF是正方形； （2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝9，GH＝3，求BC的长． 【答案】（1）答案见解析；（2）AG＝BE；理由见解析；（3）BC＝． 【分析】（1）先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可证明； （2）连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可； （3）先证△AHG∽△CHA可得，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a， 求出AH＝a，DH＝a，最后代入即可求得a的值． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD， ∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°， ∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°， ∴EG＝EC， ∴四边形CEGF是正方形． （2）结论：AG＝BE； 理由：连接CG， 由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α， 在Rt△CEG和Rt△CBA中， ＝cos45°＝， ＝cos45°＝， ∴， ∴△ACG∽△BCE， ∴ ∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE； （3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线， ∴∠BEC＝135°， ∵△ACG∽△BCE， ∴∠AGC＝∠BEC＝135°， ∴∠AGH＝∠CAH＝45°， ∵∠CHA＝∠AHG， ∴△AHG∽△CHA， ∴， 设BC＝CD＝AD＝a，则AC=a， 由，得， ∴AH＝a， 则DH＝AD﹣AH＝a，， ∴，得   解得：a＝，即BC＝． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$