第15讲 锐角的三角比　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第15讲 锐角三角比 知识归纳 思考：回顾相似三角形知识。已知，如图，小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长2米，若此时测得一塔在同一地面的影长为60米，则塔高应为多少米？ 1.5m 2m B E D F C A 60m 思考：如图：Rt△ABC与Rt△ADE，∠C=∠ADE=90°，∠A=30°，那么与有什么关系? C A B D E 讨论：若将∠A=30°改为45°或60°，是否还有前面的结论？即在一个直角三角形中，如果一个锐角大小确定了，那么它的两个直角边的比值是否是一个确定的值？ 思考：类似的，如图：Rt△ABC与Rt△ADE，∠C=∠ADE=90°，若∠A分别为30°，45°或60°，那么与有什么关系？即在一个直角三角形中，如果一个锐角大小确定了，那么它的直角边与斜边的比值是否是一个确定的值？ C A B D E 知识点归纳： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c （1）把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ∠A的对边 c A C B ∠A的邻边 斜边 b a （2）把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作：cotA. （3）把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA （4）把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA 典型例题 【题型一：锐角三角比的概念】A B C 例题1：如图，在中，，AB = 13，BC = 12，则下列三角比表示正确的是（ ） A． B． C． D． 例题2：在中，，BC = 2AB，则cos A的值为______． 例题3：如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则的值是______x y A O （2，1） 例题4：如图，中，，AC = 8，BC = 6，，垂足为D，则的值是______．A B C D 【题型二：特殊锐角三角比的值】 画30°、45°、60°的直角三角形，完成下列表格 A tanA cotA sinA cosA 30° 45° 60° 参考答案：注意引导学生通过画特殊三角形法记住特殊角三角比 A tanA cotA sinA cosA 30° 45° 60° 思考：观察上表，两个相等值相关的三角比名称和角度有什么特点？每一列三角比的值有什么特点？ 参考答案：两个相等值相关的三角比名称：正弦与余弦对应，正切与余切对应；角度互余。 每一列三角比的值：正切，正弦随着角度的增大而增大。 余切，余弦随着角度的增大而增大 补充：（仅作了解，若填空、选择中出现，可直接使用） 15° 75° 思考：通过观察上面的表格，可以总结出： 当，的正弦值随着角度的增大而增大，的余弦值随着角度的增大而减小；的正切值随着角度的增大而增大，的余切值随着角度的增大而减小． 例题1：在中，，已知，c = 4，求． 例题2：在中，若，则属于哪种三角形？ 例题3：如图，在中，，，BC = 1．过点C作于， 过点作于，过点作于，…，按这样的规律继续，则的长为（ ） A B C A． B． C． D． 【题型三：锐角三角比的关系及应用】 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 例题1：中，，BC = a，AC = b，AB = c．利用锐角三角比的定义证明： （1）； （2）； （3）； （4）． 例题2：化简：． 例题3：如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边上的高为h，求证：． 例题4：已知为锐角，且，求以、为两个根的 一元二次方程． 课上习题 1.中，已知，，求、的值． 2.在平面直角坐标系中，过点P（0，2）作直线l：（b为常数，且b < 2）的 垂线，垂足为Q，则______． 3.如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用 线段比表示的值，错误的是（ ）A B C D A． B． C． D． 4.若，求、的值（、都是锐角）． 5.． 6.化简：． 7.等腰三角形底边长为8 cm，面积为cm2，求底角的正切值． 8.在中，，，且两直角边长满足条件3a + 2b = m．当m 取最小值时，求中最小内角的正切值． 9.已知a、b、c分别是中、、的对边，关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，且3c = a + 3b． （1）判断的形