【每周一卷】2024-2025学年苏科版八年级数学第一周周测卷

第一周周测卷 测试范围：1.1—1.3 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 2．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝46°，∠B＝93°，则∠DFE的度数为（　　） A．31° B．35° C．41° D．46° 3．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　） A．30 B．50 C．60 D．80 4．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（　　） A．90° B．120° C．135° D．180° 6．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．HL 7．如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D，E，F与O点都不重合，连接ED，EF．若添加下列条件中的某一个，使△DOE≌△FOE．下列条件不一定成立的是（　　） A．OD＝OF B．DE＝FE C．∠OED＝∠OEF D．∠ODE＝∠OFE 8．如图，点E在线段AB上，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠B的度数是（　　） A．70° B．72° C．74° D．76° 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．若△ABC≌△DEF，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠F的度数为 　 　°． 10．如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20cm，FC＝10cm，则AF的长是 　 　cm． 11．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 　 　秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等． 12．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝　 　． 13．如图，若△ACD≌△ACB，∠ADC＝95°，∠DAC＝25°，则∠BCA＝　 　°． 14．如图，AB＝8cm，AC＝BD＝6cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为x cm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，x的值为 　 　． 15．如图所示，△ABC≌△ADE，AE∥BC，若∠B＝30°，∠C＝100°，则∠BAD的度数是 　 　． 16．如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　 　． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关系是 　 　． 18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABC+∠ADC＝90°，BD＝2CD，则∠BAC﹣∠BDC＝　 　． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G． （1）试说明：△ABC≌△AEF； （2）若∠B＝55°，∠C＝20°，求∠EAC的度数． 20．（8分）如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 21．（6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，BF＝CE，AD交BE于点O．求证：AB∥DE． 22．（8分）如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E． （1）求证：△BDO≌△CEO； （2）若AC＝10，BD＝4，求AE的长． 23．（8分）小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BF、CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°． （1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 24．（8分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 25．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 26．（8分）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC． 探究：如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＜90°，求证：DB＝DC． 应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，若BE＝a，则AB﹣AC的值是多少（用含a的代数式表示）？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一周周测卷 测试范围：1.1—1.3 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据“ASA”即可画出一个与原来完全样的三角形． 【解答】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是ASA． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 2．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝46°，∠B＝93°，则∠DFE的度数为（　　） A．31° B．35° C．41° D．46° 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据全等三角形的性质得出∠DFE＝∠ACB． 【解答】解：∵∠A＝46°，∠B＝93°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝41°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠DFE＝∠ACB＝41°． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等． 3．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　） A．30 B．50 C．60 D．80 【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题． 【解答】解：∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°， ∴∠BAG＝∠AEF， ∵在△AEF和△BAG中，， ∴△AEF≌△BAG，（AAS） 同理△BCG≌△CDH， ∴AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH， ∵梯形DEFH的面积（EF+DH）•FH＝80， S△AEF＝S△ABGAF•FE＝9， S△BCG＝S△CDHCH•DH＝6， ∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键． 4．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确； ②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确； ④利用周角减去两个直角可得答案． 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE，本选项正确； ④∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确， 故选：D． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 5．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（　　） A．90° B．120° C．135° D．180° 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°， ∵三个全等三角形， ∴∠4+∠9+∠6＝180°， 又∵∠5+∠7+∠8＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3的度数是180°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 6．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．HL 【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌△AEM． 【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝AE， 在△ADM和△AEM中， ． ∴△ADM≌△AEM（SSS）， 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 7．如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D，E，F与O点都不重合，连接ED，EF．若添加下列条件中的某一个，使△DOE≌△FOE．下列条件不一定成立的是（　　） A．OD＝OF B．DE＝FE C．∠OED＝∠OEF D．∠ODE＝∠OFE 【分析】由全等三角形的判定，即可判断． 【解答】解：∵OB平分∠AOC， ∴∠DOE＝∠FOE， A、由SAS判定△DOE≌△FOE，故A不符合题意； B、∠DOE和∠FOE分别是DE和FE的对角，不能判定△DOE≌△FOE，故B符合题意； C、由ASA判定△DOE≌△FOE，故C不符合题意； D、由AAS判定△DOE≌△FOE，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 8．如图，点E在线段AB上，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠B的度数是（　　） A．70° B．72° C．74° D．76° 【分析】先利用全等三角形的性质得到CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，则∠BCE＝∠ACD＝28°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴CB＝CE，∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD＝28°， ∵CB＝CE， ∴∠B＝∠CEB（180°﹣∠BCE）（180°﹣28°）＝76°． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．若△ABC≌△DEF，且∠A＝60°，∠B＝70°，则∠F的度数为 　50　°． 【分析】由三角形内角和定理可以求得∠C，△ABC≌△DEF求得∠F． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°． 又∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠C＝50°． 故答案为：50． 【点评】本题考查了三角形内角和定理及全等的性质，找准对应角是解题关键． 10．如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20cm，FC＝10cm，则AF的长是 　5　cm． 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到AC＝EF，结合等式的性质推知AF＝CE，结合已知相关线段的长度解答． 【解答】解：∵AE＝20cm，FC＝10cm， ∴AF+CE＝AE﹣FC＝10cm． ∵△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE， ∴AC＝EF． ∴AC﹣FC＝EF﹣FC， ∴AF＝CE． ∴AF（AF+CE）＝5cm． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AF＝CE是解题关键． 11．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 　5　秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等． 【分析】分两种情况考虑：当△APC≌△BQP时与当△APC≌△BPQ时，根据全等三角形的性质即可确定出时间． 【解答】解：由题意可知：PB＝t m，AP＝（20﹣t）m，BQ＝3t m， ①当△APC≌△BQP时， AP＝BQ，即：20﹣t＝3t， 解得：t＝5， 此时：AC＝BP＝5m，符合题意； ②当△APC≌△BPQ时， AP＝BP，即：20﹣t＝t， 解得：t＝10， 此时AC＝BQ＝30m， ∵MA＝6＜30， 故t＝10不符合题意． 故答案为：5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法以及分类讨论是解本题的关键． 12．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝　90°　． 【分析】直接利用全等图形的性质得出∠1＝∠FDE，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意可得：△ACB≌△DFE， 则∠1＝∠FDE， ∵∠2+∠FDE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：90°． 【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 13．如图，若△ACD≌△ACB，∠ADC＝95°，∠DAC＝25°，则∠BCA＝　60　°． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACD，根据全等三角形的性质解答． 【解答】解：∵∠ADC＝95°，∠DAC＝25°， ∴∠ACD＝60°， ∵△ACD≌△ACB， ∴∠BCA＝∠ACD＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 14．如图，AB＝8cm，AC＝BD＝6cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为x cm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，x的值为 　1.5或1　． 【分析】△ACP与△BPQ全等，分两种情况：①△ACP≌△BQP，②△ACP≌△BPQ，分别求解即可． 【解答】解：△ACP与△BPQ全等，分两种情况： ①△ACP≌△BQP， 此时AP＝BP，BQ＝AC， ∵AB＝8cm，AC＝BD＝6cm， ∴AP＝BP＝4cm，BQ＝6cm， t＝4÷1＝4（s）， x＝6÷4＝1.5（cm/s）， ∴Q的速度为1.5cm/s； ②△ACP≌△BPQ， 此时BP＝AC＝6cm，BQ＝AP， ∴BQ＝AP＝8﹣6＝2cm， ∴t＝2÷1＝2（s）， ∴x＝2÷2＝1（cm/s）， ∴Q的速度为1cm/s， 综上所述，x的值为1.5或1， 故答案为：1.5或1． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与动点的综合，注意分情况讨论是解题的关键． 15．如图所示，△ABC≌△ADE，AE∥BC，若∠B＝30°，∠C＝100°，则∠BAD的度数是 　80°　． 【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，根据三角形内角和定理得到的度数∠BAC，根据平行线的性质得到∠B＝∠BAE，进而得到∠BAD的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠B＝30°，∠C＝100°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣100°＝50°， ∵AE∥BC， ∴∠B＝∠BAE＝30°， ∴∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝30°+50°＝80°， 所以∠BAD的度数是80°． 故答案为：80°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理及平行线的性质，熟知这些定理的内容是正确解决本题的关键． 16．如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　2.4　． 【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD＝∠G，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE＝4，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， 在△BDG和△CDA中， ， ∴△BDG≌△CDA（SAS）， ∴BG＝AC，∠CAD＝∠G， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴∠CAD＝∠AEF， ∵∠BEG＝∠AEF， ∴∠CAD＝∠BEG， ∴∠G＝∠BEG， ∴BG＝BE＝4， ∴AC＝BE＝4， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴AF＝EF＝1.6， ∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关系是 　AF＝2DG且AF⊥DG　． 【分析】延长DG至M，使GM＝DG，交AF于H，连接BM，根据题意证明△DAE≌△DBF，推出∠DEF＝∠DFE＝45°，利用SAS证明△BGM≌△EGD（SAS），得出∠MBE＝∠FED＝45°＝∠EFD，BM＝DE＝DF，再利用SAS证明△BDM≌△DAF（SAS），得出DM＝AF＝2DG，∠FAD＝∠BDM，证出∠AHD＝90°，即可得出结论． 【解答】解：AF＝2DG，且AF⊥DG；理由如下： 延长DG至M，使GM＝GD，交AF于H，连接BM，如图所示： ∵AD，BE分别为BC，AC边上的高， ∴∠BEA＝∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵∠DAC+∠C＝∠DBE+∠C＝90°， ∴∠DAC＝∠DBE， 即∠DAE＝∠DBF， ∵∠ADB＝∠FDE＝90°， ∴∠ADB﹣∠ADF＝∠FDE﹣∠ADF， 即∠BDF＝∠ADE， 在△DAE和△DBF中， ， ∴△DAE≌△DBF（ASA）， ∴DE＝DF， ∴△FDE是等腰直角三角形， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∵G为BE中点， ∴BG＝EG， 在△BGM和△EGD中， ， ∴△BGM≌△EGD（SAS）， ∴∠MBE＝∠DEF＝45°＝∠DFE，BM＝DE＝DF， ∵∠DAC＝∠DBE， ∴∠MBD＝∠MBE+∠DBE＝45°+∠DBE，∠EFD＝45°＝∠DBE+∠BDF， ∴∠BDF＝45°﹣∠DBE， ∵∠ADE＝∠BDF， ∴∠ADF＝90°﹣∠BDF＝45°+∠DBE＝∠MBD， 在△BDM和△DAF中， ， ∴△BDM≌△DAF（SAS）， ∴DM＝AF＝2DG，∠FAD＝∠BDM， ∵∠BDM+∠MDA＝90°， ∴∠MDA+∠FAD＝90°， ∴∠AHD＝90°， ∴AF⊥DG， ∴AF＝2DG，且AF⊥DG． 故答案为：AF＝2DG，且AF⊥DG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABC+∠ADC＝90°，BD＝2CD，则∠BAC﹣∠BDC＝　60°　． 【分析】作∠DAF＝∠BAC，使AF＝AD，证明△DAB≌△FAC，可得DB＝FC，∠ADB＝∠AFC，根据FC＝2CD，可得∠CFD＝30°，设∠ABC＝∠ACB＝∠ADF＝∠AFD＝α，所以∠BAC＝180°﹣2α，得∠BDC＝120°﹣2α，进而可解决问题． 【解答】解：如图，作∠DAF＝∠BAC，使AF＝AD， ∵∠DAF＝∠BAC， ∴∠DAF+∠DAC＝∠BAC+∠DAC， ∴∠DAB＝∠FAC， 在△DAB和△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴DB＝FC，∠ADB＝∠AFC， ∵BD＝2CD， ∴FC＝2CD， ∵∠DAF＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠ADF， ∵∠ABC+∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠ADC＝90°， ∴∠FDC＝90°， ∵FC＝2CD， ∴∠CFD＝30°， 设∠ABC＝∠ACB＝∠ADF＝∠AFD＝α， ∴∠BAC＝180°﹣2α， ∵∠AFC＝∠AFD﹣∠CFD＝α﹣30°， ∴∠ADB＝∠AFC＝α﹣30°， ∴∠BDC＝∠FDC﹣∠FDA﹣∠ADB＝90°﹣α﹣（α﹣30°）＝120°﹣2α， ∴∠BAC﹣∠BDC＝180°﹣2α﹣（120°﹣2α）＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线得到△ACF≌△ABD． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G． （1）试说明：△ABC≌△AEF； （2）若∠B＝55°，∠C＝20°，求∠EAC的度数． 【分析】（1）由∠CAF＝∠BAE得到∠BAC＝∠EAF，利用ASA即可证明△ABC≌△AEF； （2）由三角形内角和定理求出∠BAC＝105°，由全等的性质得AB＝AE，则∠B＝∠AEB＝55°，由三角形内角和定理求出∠BAE＝70°，即可得到∠EAC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC， 即∠BAC＝∠EAF， 在△ABC和△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（ASA）； （2）解：∵∠B＝55°，∠C＝20°， ∴∠BAC＝180°﹣55°﹣20°＝105°， ∵△ABC≌△AEF， ∴AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB＝55°， ∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝70°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝105°﹣70°＝35°． 【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 20．（8分）如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 【分析】（1）证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形外角的性质求出∠CAE＝40°，由全等三角形的性质得出AC＝AE，由等腰三角形的性质可求出答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（ASA）， ∴BC＝DE； （2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°， ∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°， ∴∠CAE＝40°， ∵△BAC≌△DAE， ∴AC＝AE， ∴∠ACE＝∠E70°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明△BAC≌△DAE是解题的关键． 21．（6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，BF＝CE，AD交BE于点O．求证：AB∥DE． 【分析】先由AC∥FD证明∠CAO＝∠FDO，再由ASA证明△ACO≌△DFO，得到OF＝OC，进而得到BO＝EO，再由SAS证明△ABO≌△DEO得到∠B＝∠E，则AB∥DE． 【解答】证明：∵AC∥FD， ∴∠CAO＝∠FDO， 在△ACO与△DFO中， ， ∴△ACO≌△DFO（ASA）； ∴OF＝OC， ∵BF＝CE， ∴BO＝EO， 在△ABO与△DEO中， ， ∴△ABO≌△DEO（SAS）， ∴∠B＝∠E， ∴AB∥DE． 【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定以及平行线的证明，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 22．（8分）如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E． （1）求证：△BDO≌△CEO； （2）若AC＝10，BD＝4，求AE的长． 【分析】（1）根据O为BC中点，可得OC＝OB，再由平行线的性质可得∠C＝∠CBD，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得CE＝BD＝4，即可． 【解答】（1）证明：∵O为BC中点， ∴OC＝OB， ∵BD∥AC， ∴∠C＝∠CBD， 在△BOD和△CEO中， ， ∴△BDO≌△CEO； （2）解：∵△BDO≌△CEO， ∴CE＝BD＝4， ∵AC＝10， ∴AE＝AC﹣CE＝6． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23．（8分）小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BF、CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°． （1）△CGO与△OFB全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）△OCG与△BOF全等． 理由如下： 由题意可知∠CGO＝∠BFO＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COG+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°． ∴∠COG＝∠OBF， 在△CGO与△OFB中， ， ∴△CGO≌△OFB（AAS）； （2）∵△CGO≌△OFB， ∴CG＝OF，OG＝BF， ∵BD、CE分别为1.8m和2.2m， ∴OF＝2.2m，OG＝1.8m， ∴FG＝OF﹣OG＝CG﹣BF＝2.2﹣1.8＝0.4（m）， ∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即AF＝1.2m， ∴AG＝1.6（m）， 答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小丽的； 【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明△CGO≌△OFB是解题的关键． 24．（8分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论． 【解答】（1）证明： ∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝DA， ∴DE＝AE+DA＝BD+CE； （2）解：成立，证明如下： ∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a， ∴∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝DA， ∴DE＝AE+DA＝BD+CE． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键． 25．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可． 【解答】（1）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中 ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE， ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中 ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （2）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， 由（1）知：△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE， ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中 ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （3）BN﹣AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN， ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°， 在△DAM和△DBE中 ， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN， 在△MDN和△EDN中 ， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM， ∴BN﹣AM＝MN． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度． 26．（8分）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC． 探究：如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＜90°，求证：DB＝DC． 应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，若BE＝a，则AB﹣AC的值是多少（用含a的代数式表示）？ 【分析】探究：欲证明DB＝DC，只要证明△DFC≌△DEB即可． 应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】探究： 证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD， 在△DFC和△DEB中， ， ∴△DFC≌△DEB， ∴DC＝DB． 应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD， 在△DFC和△DEB中， ， ∴△DFC≌△DEB， ∴DF＝DE，CF＝BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，， ∴△ADF≌△ADE， ∴AF＝AE， ∴AB﹣AC＝（AE+BE）﹣（AF﹣CF）＝2BE， ∵BE＝a， ∴AB﹣AC＝2a． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$