专题05 与圆有关计算的三种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题05 与圆有关计算的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、阴影部分面积计算 2 类型二、阴影部分周长计算 6 类型三、阴影部分面积中的最值相关的计算 10 压轴能力测评（12题） 15 解题知识必备 1. 阴影部分面积计算 直接利用公式法求阴影部分的面积，直接或构造和差法求阴影部分的面积，利用等积转换法求阴影部分的面积.圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 2. 阴影部分周长计算 求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 3. 阴影部分面积中的最值相关的计算 阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段. 压轴题型讲练 类型一、阴影部分面积计算 例题：（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【变式训练1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ． 【变式训练2】（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，以C为圆心，以的长为半径作弧，交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留根号和π） 【变式训练3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 类型二、阴影部分周长计算 例题：（2024·广东清远·三模）如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 ． 【变式训练1】（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，以点A、C为圆心，以的长为半径画圆弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的周长为 （结果保留）．    【变式训练2】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，，    (1)求证：四边形是菱形： (2)若的半径为，求图中阴影部分的周长． 【变式训练3】（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.    (1)求的长； (2)当时， ①__________； ②求阴影部分的周长和面积. 类型三、阴影部分面积中的最值相关的计算 例题：（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【变式训练1】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 【变式训练2】（2023·河南安阳·二模）如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 【变式训练3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ．    压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论： Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 下列判断正确的是（    ）． A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确 二、填空题 4．（2024·浙江·一模）如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ．    5．（2024·河南周口·一模）如图，扇形中，，点C为的中点，过点C作，，垂足分别为D，E，分别以，为轴折叠扇形，点A，B的对应点为M，N两点，若，则阴影部分的周长为 ． 6．（2024·河南商丘·三模）如图，在扇形中，，点C，D均为的三等分点，点E为线段上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为 三、解答题 7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 8．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，在中，，B是中点，以O为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于C，D，F点，连接交于点G． (1)求证：是的切线； (2)若C是的中点， ，求阴影部分的周长． 9．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 10．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F． (1)直接判断与的位置关系； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 11．（2024·湖南娄底·二模）在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径的经过点E，且交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)请猜想线段，和之间的数量关系，并说明理由． 12．（2024·江西抚州·一模）如图1，是的内接三角形，，是的一个外角，平分． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点C作的切线交于点F，若． ①请判断四边形的形状，并说明理由； ②当时，求图中阴影部分的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 与圆有关计算的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、阴影部分面积计算 2 类型二、阴影部分周长计算 6 类型三、阴影部分面积中的最值相关的计算 10 压轴能力测评（12题） 15 解题知识必备 1. 阴影部分面积计算 直接利用公式法求阴影部分的面积，直接或构造和差法求阴影部分的面积，利用等积转换法求阴影部分的面积.圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 2. 阴影部分周长计算 求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 3. 阴影部分面积中的最值相关的计算 阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段. 压轴题型讲练 类型一、阴影部分面积计算 例题：（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是求不规则图形面积，扇形面积公式，折叠的性质等知识点．在解答此题时要注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．首先连接，由折叠的性质，可得，，，则可得是等边三角形，是等腰直角三角形，故可得出的长，再根据即可得出结论． 【详解】解：连接， 由翻折而成， ，， ， 是等边三角形． ， ， ， 是等腰直角三角形． ， ， ． 故答案为：． 【变式训练1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，连接，过作于G，先判断，都是等腰直角三角形，则可求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：连接，过作于G， ∵圆与边恰好相切于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵阴影部分面积为， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式训练2】（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，以C为圆心，以的长为半径作弧，交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留根号和π） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算公式、等边三角形的判定与性质、含30度的直角三角形的性质，勾股定理等知识；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．连接，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得；再有可判定是等边三角形，则，从而；根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 由勾股定理得：； ， 是等边三角形， ， ，且D点是的中点， ； ， ； ， ； 故答案为：． 【变式训练3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键． 连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可． 【详解】如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N， 则 ∵， ∴，，四边形是矩形 ∵，D是的中点， ∴ ∴ 同理 ∴四边形是正方形 ∴， 由题可知，， ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为 类型二、阴影部分周长计算 例题：（2024·广东清远·三模）如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，连接，由折叠可知，即可证明是等边三角形，可得，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案，根据折叠性质得到是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，由折叠可知， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵的长为， ∴阴影部分的周长为：． 【变式训练1】（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，以点A、C为圆心，以的长为半径画圆弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的周长为 （结果保留）．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，先根据勾股定理得到，再由线段中点的定义得到，再由扇形与扇形的半径相等且圆心角度数之和为90度求出的长与的长的和即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴的长与的长的和为， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，，    (1)求证：四边形是菱形： (2)若的半径为，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； （2）根据菱形的性质可得，进而根据进行计算的长，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，    和底边相切于点， ， ，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ∴， 又∵， 图中阴影部分的周长为 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式训练3】（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.    (1)求的长； (2)当时， ①__________； ②求阴影部分的周长和面积. 【答案】(1)2 (2)①；②周长，面积 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解； （2）①由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解；②连接，在求出线段的长度即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵为中点，为中点， ∴且， ∵， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴； （2）解：①∵弦于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 故答案为： ②连接，    ∵，， ∴， ∴. 在， ∵，，， ∴，， ∴的长， 阴影部分的周长， 阴影部分的面积. 类型三、阴影部分面积中的最值相关的计算 例题：（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键． 作点关于的对称点F，连接，与交点为D，此时最小，最小值就是长，再加上弧的长即可． 【详解】解: 作点关于的对称点, 连接,与交点为D,交于点,过点作 交延长线于点，由对称可知 ，    ∵四边形是矩形, ， ∴， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设圆心为，连接，则，由圆周角定理可得，由勾股定理得，，计算求解即可；设到的距离为，由题意知，，则当最大时，最小，当时，最大，如图1，作于，由垂径定理可得，由勾股定理得，，则，然后求阴影部分面积即可． 【详解】解：如图1，设圆心为，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 由题意知， ， 当最大时，最小， ∴当时，最大，如图1，作于， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理是解题的关键． 【变式训练2】（2023·河南安阳·二模）如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 【答案】/ 【分析】过点C作于E，由，得当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，由垂径与勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：过点C作于E， ∵， ∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，不规则图形面积，三角形面积，勾股定理，根据图形面积关系，得出点C为优弧的中点时，阴影面积最小是解题的关键． 【变式训练3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．利用轴对称的性质，得出当点E移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点，连接，    此时最小，即：， 由题意得，， ， ，的长， ∴阴影部分周长的最小值为． 故答案为：． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，不规则图形的面积，解直角三角形，过点D作直径，过点F作于H，连接，，推出，，由圆周角定理证得，即可求得，则，进而求得，解直角三角形求得，根据扇形面积减去三角形面积计算即可． 【详解】解：如图，过点D作直径，过点F作于H，连接，，    由旋转知：，， ，， 是的直径， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 故选：D． 3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论： Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 下列判断正确的是（    ）． A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都正确 D．Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积和弧长、垂径定理、圆周角定理等知识，连接，证明，得到阴影部分的面积为，即可判断Ⅰ；证明当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8，得到阴影部分的周长的最小值为，即可判断Ⅱ． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为． 故Ⅰ错误； ∵垂直平分， ∴点D与点B关于对称， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8， ∴阴影部分的周长的最小值为， ∴阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 故Ⅱ正确； 故选：B 二、填空题 4．（2024·浙江·一模）如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式． 首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：解：∵正五边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正五边形的每个内角为， ∵正五边形的边长为， ∴， 故答案为：． 5．（2024·河南周口·一模）如图，扇形中，，点C为的中点，过点C作，，垂足分别为D，E，分别以，为轴折叠扇形，点A，B的对应点为M，N两点，若，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的周长，关键是由轴对称得阴影部分的周长等于弧的长加的长． 【详解】解：连接， ∵点C为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形 ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴阴影部分的周长为：． 故答案为：． 6．（2024·河南商丘·三模）如图，在扇形中，，点C，D均为的三等分点，点E为线段上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键．作关于的对称弧，点C关于的对称点点M，连接，则点M是的三等分点，根据弧长公式求得,再利用两点之间线段最短及勾股定理即可得解． 【详解】解：作关于的对称弧，点C关于的对称点点M，连接，则点M是的三等分点，    ∵，均为的三等分点，， ∴且都等于，等于 ∴等于 ∴ ∵作关于的对称弧，点关于的对称点点， ∴， ∴根据两点之间线段最短得当点、、三点共线时，最小，即阴影部分周长的最小， ∴的最小值 阴影部分周长的最小值是． 三、解答题 7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明，解（2）的关键是求出扇形的面积，此题难度一般． （1）连接，先证明，进而得到，于是得到，进而证明是的切线； （2）分别求出的面积和扇形的面积，利用即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在圆上，为圆的半径， 是圆的切线； （2）在中，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 阴影部分的面积为． 8．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，在中，，B是中点，以O为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于C，D，F点，连接交于点G． (1)求证：是的切线； (2)若C是的中点， ，求阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式，切线的判定，等腰三角形三线合一，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形三线合一可得出，即可得出结论； （2）连接，先求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，再根据，，得出，进而得出，再求出，，根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， 由（1）知，在中， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线． （2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x． （3）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴，， ∵，都是的切线， ∴设，则， ∴在中 ，即， 解得， ∴． （3）在中，，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴ 【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识． 10．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F． (1)直接判断与的位置关系； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角的性质和垂径定理，解题关键是根据旋转得出所在的圆与是等圆，再根据圆的相关性质推理即可． （1）根据弧相等所对的弦也相等得出，进而得出点B是中点，得出； （2）根据圆周角相等，得出，，再根据垂直可证； （3）由（2）可证弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，利用，求解即可． 【详解】（1）解： 将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，所以所在的圆与是等圆，连接 ∴， ∴点B是中点， ∵是的直径， ∴； （2）证明：连接， ∵，所在的圆与是等圆， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得，，所在的圆与是等圆， 所以弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 所以三角形的面积=， 阴影面积为： 11．（2024·湖南娄底·二模）在中，，平分交于点E，D是边上一点，以为直径的经过点E，且交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)请猜想线段，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，过点O作于点M，，根据已知先证明四边形是矩形，利用勾股定理求出，得出是等边三角形，再利用含的直角三角形特征求出的长，根据勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． （3）作于点H，连接，，根据角平分线的性质得，， 在证，，得，，即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ． ， ， ， ． ， ， 即． 为半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，过点O作于点M， ， 四边形为矩形， ，，． 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， 为等边三角形， ． 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ． （3），理由如下： 作于点H，连接，， 平分且， ， ，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的定义，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积计算等知识，正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 12．（2024·江西抚州·一模）如图1，是的内接三角形，，是的一个外角，平分． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点C作的切线交于点F，若． ①请判断四边形的形状，并说明理由； ②当时，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析；② 【分析】（1）连接，并延长交于点N，连接，，由，，可得是的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一得到，又可得，从而得证结论； （2）①根据，，证得四边形是平行四边形，根据切线长定理得到，从而证得是菱形； ②由菱形得到，又由，得到，从而，在中，解直角三角形得到，即的半径是，根据弧长公式即可求得，进而即可解答． 【详解】（1）证明：连接，并延长交于点N，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：①四边形是菱形，理由如下： 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵、是的切线， ∴， ∴是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 即的半径是， ∴， ∴阴影部分的周长为． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，菱形的判定及性质，圆周角定理，弧长公式，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$