专题04 圆中切线的证明的二种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题04 圆中切线的证明的二种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、有切点，连半径，证垂直 1 类型二、无切点，作垂直，证半径 8 压轴能力测评（8题） 14 解题知识必备 1．切线判定的方法一 已知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂直”. 2．切线判定的方法二 当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆的半径，简称“作垂直，证半径”. 压轴题型讲练 类型一、有切点，连半径，证垂直 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．   (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆O的半径为 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理可得出，再利用平行线的性质就可证明是圆O的切线． （2）利用特殊角度，根据直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，由两直线平行同位角相等，可得出，从而求得，得到是等边三角形，即可求圆O的半径． 【详解】（1）证明：连接，   ∵D是的中点，O为的中点， ∴． 又∵， ∴ ∴ ∴， ∵为圆O的半径， ∴是圆O的切线． （2）解：连接， ∵是圆O的直径， ∴ ∴是直角三角形． ∵，， ∴ ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 即圆O的半径为 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，熟练掌握证明某线是圆的切线的常用方法：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 【变式训练1】（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【详解】（1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理即可得证； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如答图，连接， ∵为直径， ∴， 即． 又∵，， ∴， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴ ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴是的切线． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式训练3】（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识． （1）连接，则，得到，结合平分可推出，根据平行线的性质并结合，交的延长线于点，即可证明； （2）连接，则，由圆周角定理和角平分线的定义可推出是等边三角形，得到，，推出，得到，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，则，   ， 平分， ， ， ，                ， ，交AE的延长线于点， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，则，    由（1）知， ， ， 点为的中点， ， ，         是等边三角形， ，，            由（1）知是的切线， ， ，       ， ， ． 类型二、无切点，作垂直，证半径 例题：（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了判定直线是圆的切线的判定、切线的性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可证明结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求出的长，勾股定理求出，如图：连接，过点O作于点H，根据等面积法可得，勾股定理求出，最后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D， ∴， ∵是等腰直角三角形，，O为的中点， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， 如图：连接，过点O作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式训练1】（2024·山东青岛·二模）如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)四边形的形状是正方形，证明见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）连接，，过点O作于E，根据，点O为边中点，可得平分，根据角平分线的性质，得到，即证明为的半径，点在圆上，结合，根据切线的判定定理即可得证； （2）由，，可得，，得到四边形是矩形，又，即证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：如图，连接，，过点O作于E． ，，点O为边中点， 平分， 与相切于点D， 为的半径，且， 平分，，， ， 为的半径，点在圆上， 又， 是的切线． （2）四边形的形状是正方形． 证明：，， ， 又， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【分析】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定． （1）根据正方形的性质得到是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明； （2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解． 【详解】（1）证明：连接，过作于； 与相切， ， 四边形是正方形， 平分， ， 与相切； （2）解：四边形为正方形， ，，， ，， ， ； 又， ， ． 【变式训练3】（2024·上海·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）如图，连接，过点作于，证明，得到，即可求证； （）连接，并反向延长交于，连接，可得，得到，，进而得为等腰直角三角形，得到，设的半径为，则，，可得，即得，得到，即可得，得到，，再由可得，得到，最后利用勾股定理得到，进而利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 压轴能力测评（8题） 一、解答题 1．（2024·西藏日喀则·一模）如图，是的外接圆， 且 (1)求证：是的切线； (2)若 ，求的半径长． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径为2 【分析】此题考查圆周角定理、切线的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键． （1）连接．利用圆周角定理得到，再求出，即可得到结论； （2）连接．求出． 证明．则．进一步得到．即可得到答案． 【详解】（1）证明∶ 连接． ∵ ∵ ∴． ∵，   ∴． ∴． ∴ ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解∶ 连接． 由(1)证可得，． ∵为直径， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ 即的半径为2． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，再证明得到，所以，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，则可方程求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， 平分，，， ， 与相切； （2）解：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，解题的关键是通过过圆心作直线的垂线，证切线，利用勾股定理列方程求解． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，过点D作直线l交的延长线于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，先证是等腰直角三角形，得，根据已知条件得到，即可得出结论； （2）先由勾股定理求得，再由等腰直角三角形的性质求出BD的长． 【详解】（1）证明：连接，如图所示 ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点D，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 4．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 5．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，平分交于点O，以O为圆心，的长为半径作． (1)求证：是的切线； (2)在上取一点D使得，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，勾股定理： （1）过点O作于F，求出，可得出是的切线； （2）先证明，得出，证明得出，再求出，根据勾股定理得出，设的半径是r，得出，进而求出答案． 【详解】（1）证明：过点O作于F，如图所示： ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴是的切线； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设的半径是r，则， 在中，，即， 解得，， 即⊙O的半径是． 6．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，以矩形的边为直径作半圆，圆心为点O，点E在边上，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质及全等三角形的判定及性质：熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． （1）过点O作，垂足为M，根据矩形的性质及角平分线的性质即可求证结论； （2）设，利用矩形的性质及全等三角形的判定及性质可得，，再利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：过点O作，垂足为M，如图： 在矩形中，， ， 平分，， ，即是的半径， 是的切线． （2）设， 在矩形中，，， ，，， 由切线长定理， ，， ， 在中，， 得， 解得：， ． 7．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证： (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)4． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）由，得到，由（1）有，可得，从而，根据“等角对等边”证得； （3）在中，求得，又由（2）有，可得是等边三角形，从而，，因此在中，，根据“三线合一”可得，再求出，证得，从而． 【详解】（1）连接，   ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ （3）∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，． ∵，平分， ∴． ∵在等边中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 8．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案； （2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线． 【详解】（1）解：连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆中切线的证明的二种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、有切点，连半径，证垂直 1 类型二、无切点，作垂直，证半径 8 压轴能力测评（8题） 14 解题知识必备 1．切线判定的方法一 已知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂直”. 2．切线判定的方法二 当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆的半径，简称“作垂直，证半径”. 压轴题型讲练 类型一、有切点，连半径，证垂直 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．   (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的半径． 【变式训练1】（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式训练3】（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 类型二、无切点，作垂直，证半径 例题：（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【变式训练1】（2024·山东青岛·二模）如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【变式训练3】（2024·上海·模拟预测）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 压轴能力测评（8题） 一、解答题 1．（2024·西藏日喀则·一模）如图，是的外接圆， 且 (1)求证：是的切线； (2)若 ，求的半径长． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，过点D作直线l交的延长线于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 4．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 5．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，平分交于点O，以O为圆心，的长为半径作． (1)求证：是的切线； (2)在上取一点D使得，连接，若，，求的半径． 6．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，以矩形的边为直径作半圆，圆心为点O，点E在边上，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长. 7．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证： (3)若，，求的长． 8．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$