专题1.13 构造三角形全等方法（截长补短与倍长中线）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.13 构造三角形全等方法（截长补短与倍长中线）（专项练习） 1．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，， (1)求边的长的取值范围？ (2)若是的中线，求取值范围？ 2．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 3．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 4．如图所示，AD平分∠BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合，． 求证：． 5．如图在中，，、分别是、的平分线，、相交于点．   （1）请你判断并写出与之间的数量关系； （2）试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 6．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，、分别平分、，与交于点O． （1）求的度数； （2）说明的理由． 7．在四边形中，，点E在DC上，AE平分，BE平分 （1）判定△AEB的形状，并说明理由. （2）求证： 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：． 9．（21-22八年级上·河北保定·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 10．如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 11．（23-24八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    12．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 13．（22-23七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．    解决此问题可以用如下方法： 延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．    14．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．探究之间的数量关系；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图，在上截取，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图，延长到点，使得，连接，得到等腰三角形，进而解决问题． (1)试猜想之间的数量关系 ． (2)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题； (3)如图4，四边形中，是上一点，，探究之间的数量关系，并证明． 15．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在中，平分，．求证： 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题 方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题 (1)根据阅读材料，任选一种方法证明 (2)根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，求证： 16．（20-21八年级上·湖北恩施·阶段练习）已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若、分别为线段、的中点，如图1所示，试说明和的面积相等； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 17．（21-22八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F． （1）如图1，若． ①直接写出的大小； ②求证：． （2）若图2，若，求证：． 18．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 19．（20-21七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，、分别平分、，交于E点． (1)如图1，求的度数．      (2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    (3)试证明（2）中的猜想． 20．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 21．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 22．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 23．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 24．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，为上任意一点．请分别用截长法和补短法说明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可； （2）延长至E，使，连接，证明，得到，由三角形三边关系得到，则． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， ∵， ∴； （2）解：延长至E，使，连接， 在中，∵， ∴， ∴， 由三角形的三边关系：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）结合（1）根据三角形三边关系即可得的取值范围； （3）根据已知线段关系得到，利用等边对等角推出，，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）解：证明：是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2），， ， 即． ， 的取值范围是． （3）∵，，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、三角形三边关系． 3．(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 4．详见解析 【分析】在AC上截取AE=AB，连接PE，利用SAS可证明△BAP≌△EAP，可得PB=PE，利用三角形的三边关系即可得答案． 【详解】在AC上截取AE=AB，连接PE， ∵AD平分， ∴． 在和中， ∴． 在中，， ∵，AE=AB， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，正确作出辅助线构建全等三角形并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 5．（1）；（2），见解析 【分析】（1）在上截取，利用SAS证出，从而得出，，然后利用ASA证出，从而得出，即可得出结论； （2）根据（1）中两个全等三角形可得，，从而证出结论． 【详解】解：（1）与的关系是， 在上截取，    、分别是、的平分线， ， 在△AEF和△AHF中 ， ， ∵∠B=60° ∴∠BAC＋∠BCA=180°－∠B=120° ∵、分别是、的平分线， ∴∠FAC＋∠FCA=＋==60° ∴180°－（∠FAC＋∠FCA）=120°，=∠FAC＋∠FCA=60° ， ， ， 在△CFH和△CFD中 ， ， （2） 理由：由（1）知：， ， ， 即 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键． 6．（1）120°；（2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB； （2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD= AB． 【详解】解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°， ∴∠OAB+∠OBA=60°， ∴∠AOB=180°-60°=120°； （2）在AB上截取AE=AC， ∵∠CAO=∠EAO，AO=AO， ∴△AOC≌△AOE（SAS）， ∴∠C=∠AEO， ∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°， ∴∠AEO+∠D=180°， ∵∠AEO+∠BEO=180°， ∴∠BEO=∠D， 又∠EBO=∠DBO，BO=BO， ∴△OBE≌△OBD（AAS）， ∴BD=BE，又AC=AE， ∴AC+BD=AE+BE=AB． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论． 7．（1）△AEB为直角三角形，理由见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线得出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案； （2）在AB上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证 【详解】（1）解：△AEB为直角三角形，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°， ∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC， ∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC， ∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°， ∴∠AEB=180°−90°=90°, ∴△AEB为直角三角形； (2)证明：如图，在边AB上截取线段AF=AD，连接EF， ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE=∠DAE， 在△ADE和△AFE中, ， ∴△ADE≌△AFE(SAS)， ∴∠AED=∠AEF， ∵AE⊥BE， ∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°， ∴∠BEC=∠BEF， 又∵在△BFE与△BCE中, ∴△BFE≌△BCE(AAS)， ∴BF=BC， ∵AB=AF+BF， ∴AB=AD+BC. 【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，是“截长补短”模型的典型题目，熟练掌握此模型辅助线的作法，构造全等三角形是解决本题的关键. 8．见解析 【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接， 在中， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即． 9．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使，且， ∴． （2）解：由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴． （3）证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 10．（1）；（2）BE+CP=BC，理由见解析． 【分析】（1）先证得为等边三角形，再利用平行线的性质可求得结论； （2）由BP、CE是△ABC的两条角平分线，结合BE=BM，依据“SAS”即可证得△BEO≌△BMO；利用三角形内角和求出∠BOC=120°，利用角平分线得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判断出∠COM=∠COP，即可判断出△OCM≌△OCP，即可得出结论； 【详解】（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴∠ACD=， ∵， ∴∠BAC=∠ACD=； （2）BE+CP=BC，理由如下： 在BC上取一点M，使BM=BE，连接OM，如图所示： ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBE=∠OBM=∠ABC， 在△BEO和△BMO中，， ∴△BEO△BMO(SAS)， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBC+∠OCB= 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∵∠BAC =60， ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120， ∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120， ∴∠BOE=60， ∴∠COP=∠BOE=60 ∵△BEO≌△BMO， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60， ∴∠COM=∠COP=60， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠OCM=∠OCP， 在△OCM和△OCP中， ∴△OCM≌△OCP（ASA）， ∴CM=CP， ∴BC=CM+BM=CP+BE， ∴BE+CP=BC． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键． 11．(1)①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形性质及三角形外角的性质解答即可； （2）延长到点H，使，连接，先证明，可得，再解答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ （全等三角形的对应角相等） 又∵是的一个外角 ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴                           即（等量代换） ∴在中，若，则 故答案为：①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； （2）解：，理由如下： 延长到点H，使，连接 ∵是边上的中线         ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 12．（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13．（1）；（2） 【分析】（1）利用三角形的三边关系，得到，进而得出结论即可； （2）倍长中线法，证明，三角形的三边关系求出的取值范围，即可得解． 【详解】解：（1）由题意，， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． （2）如图，延长至点E，使，连接．    因为D为的中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 因为，且，， 所以， 所以． 因为线段的长度为整数， 所以． 【点睛】本题考查全等是三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形，是解题的关键． 14．(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，即可． （1）根据题意，猜想，即可； （2）方法一：根据题意，则平分，则；根据，全等三角形的判定，则，则，；根据，，等量代换，则，根据等角对等边，则，即可；方法二，根据，则，根据题意，则，，等量代换；根据，全等三角形的判定，则，则；根据，即可； （3），在上截取，使得，连接，根据，则，根据三角形内角和，则，根据，根据等量代换，则，再根据三角形外角，，求得；根据全等三角形的判定，则，则，；根据，则，根据等角对等边，则，再根据，即可． 【详解】（1）； （2）证明，方法一： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 方法二：证明，如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3），证明，如下： 在在截取，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：“截长补短”模型和“一线三等角”模型，熟记相关模型，作出正确的辅助线是解题关键． （1）法一：证得，；根据可得，故，即可求证；法二：由条件得，推出，证即可求证； （2）在上取一点，使得，可得；根据得，进一步可得，推出；根据“一线三等角”模型可证，即可得出结论． 【详解】（1）证明： 法一：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 法二：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）证明：在上取一点，使得，如图所示： ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 即：， ∴， 即：， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 16．（1）证明见解析；（2）∠AOC=90°+∠ABC，证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据三角形中线平分三角形的面积即可得出结论； （2）结合角平分线的定义和三角形外角的性质可得∠AOC=90°+∠ABC； （3）在AC上截取AM=AE，分别证明△AOE≌△AOM和△COD≌△COM即可得出结论． 【详解】解：（1）、分别为线段、的中点， ∴AD和CE分别为△ABC，AB和BC边上的中线， ∴,, ∴, ∴,即； （2）∠AOC=90°+∠ABC 理由如下： ∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA， ∴∠BAD=∠BAC，∠BCE=∠BCA ∵∠AOC=∠ADC+∠BCE=∠ABC+∠BAD+∠BCE ∴∠AOC=∠B+（∠ABC+∠BCA+∠BAC）=90°+∠ABC； （3）如图：在AC上截取AM=AE，连接OM ∵∠B=60°，∠AOC=90°+∠B ∴∠AOC=120° ∴∠AOE=∠COD=60° ∵AE=AM，∠BAD=∠DAC，AO=AO ∴△AOE≌△AOM（SAS） ∴∠AOE=∠AOM=60° ∴∠COM=60° ∴∠COM=∠COD=60°且CO=CO，∠BCE=∠ACE ∴△COD≌△COM（ASA） ∴CM=CD ∵AC=AM+MC=AE+CD． 【点睛】本题考查三角形中线有关的面积问题，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角定理．（1）中理解三角形中线平分三角形的面积是解题关键；（2）中能正确识图，完成角度之间的转换是解题关键；（3）正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 17．（1）①120°；②见解析；（2）见解析 【分析】（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论； （2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论． 【详解】（1）①解：∵∠B=60°， ∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°， ∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA， ∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)= ×120°=60°， ∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°； ②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH， 在△ADF和△AHF中， ∴△ADF≌△AHF(SAS)， ∴∠AFD=∠AFH， ∵∠AFD=∠CFE， ∴∠AFH=∠CFE， 由①可知，∠AFC=120°， ∴∠CFE=180°-120°=60°， ∴AFH=∠CFE=60°， ∴∠CFH=60°， 即：∠CFH=∠CFE， 在△CFH和△CFE中， ∴△CFH≌△CFE(ASA)， ∴CE=CH， ∵AC=AH+CH， ∴AC=AD+CE； （2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAF=∠SAF， 在△ADF和△ASF中， ∴△ADF≌△ASF(SAS)， 同理可证△AED≌△AES，△CEF≌△CTF， ∴DF=SF，DE=SE，FT=FE， ∴△DEF≌△SEF， ∴，，， 且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT， ∵∠AFD=∠CFE， ∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT， 由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°， ∴∠CFE=180°-135°=45°， ∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°， ∴∠CFS=135°-∠AFS =90°， ∴CF⊥SF， 又∵FT=FE，CT=CE， ∴CF垂直平分EF， 即：CF⊥ET， ∴SF∥ET， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键． 18．(1) (2)12000元 (3)千克 【分析】（1）由直接可以得到； （2）延长至点，使，证得，得到，，进而证明解题； （3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使，连接． . 在与中， ， ，. ，即. 在与中， ， ， （米）． 五边形的周长为（米）， （元）． 答：建造木栅栏共需花费12000元. （3）千克 ， 需小麦种数量为：(千克）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”． 19．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，利用三角形内角和定理整体计算即可； （2）根据图形猜想即可； （3）在上截取，连接，证明得到，进一步推出，再证明，可得，进而证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （2）猜想：； （3） 证明：在上截取，连接．    平分， ． 在和中， ，，， ， ． ， ， 又， ． 平分， ． 在和中， ，，， ， ， ．即． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，构建对应全等三角形，使问题得以解决． 20．（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 22．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 23．；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．见解析 【详解】解：截长法： 如图①，在上截取，连接． 在和中，所以（SAS），所以． 在中，，所以，所以． 补短法：如图②，延长至点，使，连接． 在和中， 所以（SAS），所以． 在中，， 所以，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$