第一章 空间向量与空间几何单元测试B卷-2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）（全国通用）

第一章 空间向量与立体几何单元测试B卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列命题正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D．若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 2．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（    ）. A．2 B．3 C． D．4 3．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 4．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）.    A．与可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 7．直三棱柱中，，，则直线与平面所成的角的大小为（     ）    A． B． C． D． 8．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 10．如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（    ） A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直 B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等 C．过点M有且仅有一条直线与，都相交 D．有且仅有一个点M满足平面平面 11．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有（    ） A．该半正多面体的表面积为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是 . 13．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时， ． 14．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是 ． ①直线平面 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线AP与所成角的取值范围是 ④直线与平面所成角的正弦值的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．四棱锥中，底面是一直角梯形，，，，，且面，与底面成角.    (1)若，为垂足.求证：： (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值. 16．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 17．如图，正方体. (1)求证：面； (2)若E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 18．已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 19．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为．      (1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； (2)若平面三角形ABC为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球O的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何单元测试B卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列命题正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D．若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 【答案】C 【分析】A直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，据此可得答案. B注意到当时不满足题目描述； C由投影向量计算公式可判断选项正误； D两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，据此可判断选项正误. 【详解】A选项，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误； B选项，注意到当时，若，则不存在，使，故B错误； C选项，在上的投影向量为， 故C正确； D选项，向量，的夹角为钝角，则且不共线， 得，故D错误. 故选：C 2．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（    ）. A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求． 【详解】解：， ， ，， ，， ． ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可. 【详解】因为， 所以， ， ， 因为， . 故选：C.    4．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解. 【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有， 因为，，所以，， 因此，， 于是得 ， 则当时，，此时点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：C 5．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果. 【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，， 则，， 由得，即， 由于，所以，， 所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段， 由图知：， 故选：B. 6．如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）.    A．与可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 【答案】D 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】    构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1， 则，，，，， 令且，故， 而，，， 所以，即，故D正确； 显然在由相交线和所成的平面上， 且与该平面有交点， 故在上移动过程中可能与相交，B错误； 若且，则，不存在这样的值，A错误； 若面，则，显然不存在这样的值，故C错误. 故选：D 7．直三棱柱中，，，则直线与平面所成的角的大小为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成的角. 【详解】在直三棱柱中，平面， 又，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    设，则、、、， ，，， 设平面的法向量为， 由，可得，令，可得，， 所以，平面的一个法向量为，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为，则直线与平面所成角为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 8．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解 【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，， 又， 所以，， 所以的取值范围为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】ABC 【分析】根据向量共面的定义可判断A，根据共面定理可判断B，根据基底的定义可判断C，利用向量夹角的取值范围判断D. 【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确； 对于B，因为且， 所以P，A，B，C四点共面，B正确； 对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为， 假设共面，则， 即，则，与其为基底矛盾，所以不共面， 所以也是空间的一组基底，C正确； 对于D，若，则是钝角或是，D错误； 故选：ABC 10．如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（    ） A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直 B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等 C．过点M有且仅有一条直线与，都相交 D．有且仅有一个点M满足平面平面 【答案】ABC 【分析】逐个分析每个选项即可. 【详解】对于选项A，设过点M与AB、都垂直的直线为l， ∵， ∴， 又∵，，、面， ∴面， 而过点M作平面的垂线有且只有一条直线，即为：． ∴过点M有且仅有一条直线与AB、都垂直.故选项A正确； 对于选项B，连接MA，， 由题意知，AB面，面， ∴ABMA，，即：MA为点M到AB的距离，为点M到的距离， 在中，， 在中，， 又∵ ∴当时，，即：当M为的中点时，点M到AB、的距离相等，即：有且仅有一个点M到AB、的距离相等.故选项B正确； 对于选项C，如图所示， 连接AC、BD交于点O，连接、交于点，连接交于点N，则面，又因为面，且，，所以连接MN必与交于点G，即：过点M有且仅有一条直线与、都相交.故选项C正确； 对于选项D，设正方体的边长为2，以点D为原点，分别以DA、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 设，， 则，，，， 设面的一个法向量为， 当时，取，则，， 当时，取，则，，则， 设面（即：面）的一个法向量为 取，则，，则， 当时，，此时面与面不垂直， 当时，，所以面与面不垂直， 所以不存在过点M满足面面.故选项D错误； 故选：ABC. 11．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有（    ） A．该半正多面体的表面积为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】将该半正多面体补成正方体，即可求出正方体的棱长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：将该半正多面体补成正方体， 因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为， 所以该几何体的表面积为，故A错误； 建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 所以，，即，，，平面， 所以平面，故B正确； ，，， 设平面的法向量为， 所以，即，所以， 则点到平面的距离，故C正确； 若为线段的中点，则， 所以，， 则异面直线与所成角的余弦值，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是 . 【答案】. 【分析】先利用，再应用数量积及模长公式计算即可求解． 【详解】根据平行四边形法则可得， 所以 ，所以， 故答案为：. 13．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时， ． 【答案】 【分析】根据题意得到面，，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合，由向量的运算公式，即可求得的值. 【详解】解：因为，， 可得平面，， 当最短时，面，且， 所以为的中心，为的中点，如图所示， 又因为正四面体的棱长为，， 所以， 因为平面，所以， 因为， 所以 . 故答案为：. 14．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是 ． ①直线平面 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线AP与所成角的取值范围是 ④直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】①②④ 【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】 对于①，连接， ，，，平面，平面， 平面，平面， ，同理，， ，平面，平面， 直线平面，故①正确； 对于②，∥，平面，平面，∥平面， 点在线段上运动，点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，，，此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故③错误； 对于④，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故④正确. 故答案为：①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．四棱锥中，底面是一直角梯形，，，，，且面，与底面成角.    (1)若，为垂足.求证：： (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 故，又，故， 平面，故平面， 平面，故， 又，且平面， 所以平面，平面， 故，即； （2）由题意知面，， 故以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    由于，，则， 由面，与底面成角，知， 故在中，，， 过点E作，垂足为F，则, 故， 故， 则， 而异面直线与所成角大于小于等于， 故异面直线与所成角的余弦值为. 16．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【详解】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． （2）由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 17．如图，正方体. (1)求证：面； (2)若E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定即可得证 （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用公式，求解即可 【详解】（1）因为正方体， 所以四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以， 又，是平面内的两条相交直线， 所以面 （2） 如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为a，又E为线段的中点， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 设平面的法向量为， ，令，，所以， 设平面与平面所成锐二面角的大小为. 所以，又，所以 18．已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用向量法求异面直线所成的角的余弦值； （2）代入向量法求线面角的正弦值； （3）假设存在点，分别求平面和平面的法向量，利用法向量表示二面角的余弦值. 【详解】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直， 且平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系 则 ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为; （2）平面BCD的法向量， 所以， 则与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在，设， 设平面CDP的法向量， ，取，则，， 则， 所以或 则点P存在 所以或. 19．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为．      (1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； (2)若平面三角形ABC为直角三角形，，设．则： ①求证：； ②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球O的面积． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②， 【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可； （2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点，再利用空间向量求球心O到平面AEC距离，结合球的性质分析求解. 【详解】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）①证明：由余弦定理有：，且， 消掉，可得； ②由AD是球的直径，则， 且，，平面BCD， 所以平面BCD，且平面BCD，则， 且，平面ABC，可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以， 不妨先令，则， 由，，， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，    设，则， 可得，， 则， 设平面OBC法向量，则， 取，则，可得， 设平面EST法向量，则， 取，则，可得， 要使sinθ取最小值时，则取最大值， 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当取等． 则取最大值，为最小值， 此时点，可得，， 设平面AEC中的法向量，则， 取，则，可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆半径为r，则， 所以截面圆面积为. 【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路 直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即； 2. 利用空间向量求点到平面距离的方法 设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面的法向量，则B到平面的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$