第一章 空间向量与空间几何单元测试A卷-2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）（全国通用）

第一章空间向量与空间几何单元测试A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，平行六面体的各棱长均为，，，则（　　  ）    A． B． C． D． 3．在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 4．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．2 B．3 C． D． 5．设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 6．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．// B． C．//平面 D．平面 7．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 10．如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（    ） A．与垂直 B．与所成的角大小为 C．与平面所成角大小为 D．直线与平面不平行 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中不正确的结论是（    ） A．直线MN与AC所成的角为 B．直线AM与BN是平行直线 C．二面角的平面角的正切值为 D．点C与平面MAB的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，，若三点共线，则 . 13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 14．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量； (2)求BM的长. 17．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 18．如图所示，在长方体中，，M为上一点且，点N在线段上，. (1)求； (2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值； (3)求平面ANM与平面ABCD所成锐二面角的余弦值. 19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章空间向量与空间几何单元测试A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得. 【详解】 如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，. 故选：B. 2．如图，平行六面体的各棱长均为，，，则（　　  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析得出，利用平面向量数量积即可求得的值. 【详解】平行六面体的各棱长均为，，， ，， ，而， ， . 故选：B. 3．在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先依据空间向量基本定理利用向量表示向量，进而求得的值，即可求得的值. 【详解】由 又，则 所以 故选：C 4．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量定理可得，然后将坐标代入可求出的值. 【详解】因为，，共面，所以存在唯一实数，，使， 即， 则，解得，. 故选：C. 5．设，向量 且，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以设，即， 所以， 故选：B. 6．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．// B． C．//平面 D．平面 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答. 【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，是底面的中心，分别是的中点， 则，，， 对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确； 对于B，因，则，即，B正确； 对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确； 对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确. 故选：B 7．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 故选：A 8．如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则 ， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 【答案】BD 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 10．如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（    ） A．与垂直 B．与所成的角大小为 C．与平面所成角大小为 D．直线与平面不平行 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】如图建立空间直角从标系，设， 则， 又、分别是、的中点，所以， 对于选项A，因为，，又， 所以，故与垂直，所以选项A正确， 对于选项B，因为，， 设与所成的角为，则，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以为正方形，连接，则， 又易知，，面，所以面， 又，，所以，故平面，所以选项C正确， 对于选项D，由选项C知，又面，面，所以面，则面，故选项D错误， 故选：AC. 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中不正确的结论是（    ）    A．直线MN与AC所成的角为 B．直线AM与BN是平行直线 C．二面角的平面角的正切值为 D．点C与平面MAB的距离为 【答案】BC 【分析】利用线线平行结合异面直线的夹角即可求解A，由异面直线的性质即可求解B，根据二面角的定义可得其平面角，即可根据三角形的边角关系求解C，根据等体积法即可求解D. 【详解】对于A，连接，，则直线与所成角为或其补角， 为等边三角形，，直线与所成角为，故A对；    对于B，取中点为，连接，由于，而相交，所以直线，异面，故B错误；    对于C，连接相交于，连接, 由于，所以, 所以为二面角的平面角， 在中，，故C错误，    对于D，，设到平面的距离为， 由得，故D正确， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，，若三点共线，则 . 【答案】 【分析】根据三点共线，可得空间向量共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】由题得.， 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即， 所以，解得，所以， 故答案为： 13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可. 【详解】两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为 . 故答案为： 14．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】解法一：以AC、BD交点O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向构建空间直角坐标系，设，，，，，进而写出、、、坐标，可得，，由四点共面有，设，求值即可. 解法二：利用平面的性质作出点G的位置，再由平面几何的知识即可得解. 【详解】解法一：建立如图所示空间直角坐标系，设，，，， (a、b均不为0)，则，，，， ∴，， 由题意四点共面，有，其中，设， ∴ 由方程组，即，解得：. 故答案为：. 解法二：连接AC,BD交于点O，则O是底面的中心，连接PO，PO垂直于底面ABCD， 连接AF，交PO于H，可得H为PO的三等分点（靠近O）,连接EH并延长，与PD的交点即为G， 在平面内作出三角形PBD，作,垂足分别为S，T，如图， 由题意，,所以，， 设，则， 又由三角形相似得，, 所以，解得：. 解得： 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：构建空间直角坐标系，利用四点共面有且，再设，应用空间向量线性关系的坐标表示，列方程组求参数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【详解】（1）因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； （2）因为 所以与的夹角的余弦值为； （3）因为与互相垂直， 所以 或. 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量； (2)求BM的长. 【答案】(1) (2) 【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算. 【详解】（1） （2） ，所以，则BM的长为. 17．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 18．如图所示，在长方体中，，M为上一点且，点N在线段上，. (1)求； (2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值； (3)求平面ANM与平面ABCD所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）依题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）依题意，建立空间直角坐标系，如图， 则， 则， 所以，则， 所以. （2）因为，AN，又，平面， 所以⊥平面，所以是平面的一个法向量， 又， 所以， 所以直线AD与平面ANM夹角的正弦值为； （3）因为平面的一个法向量是，平面ABCD一个法向量为， 所以， 所以平面 ANM 与平面ABCD夹角的余弦值为. 19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 【答案】(1) (2)①；②2 【分析】（1）根据所给定义可得，，再根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）设分别为与同方向的单位向量，则， ①根据空间向量线性运算法则得到，即可得解； ②依题意、且根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得； 【详解】（1）解：由，，知，， 所以， 所以； （2）解：设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ②由题， 因为，所以， 由知 则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$