精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

普集高中2024—2025学年度第一学期高三年级第 1 次月考 （数学）试题（卷） 第一卷 选择题（共48分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项正确的是（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 在中，是的充要条件 C. 是的充要条件 D. 命题“，”的否定是：“，” 4. 下列函数与是相等函数的是（ ） A. B. C. （且） D. （且） 5. 已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. 1≤a≤3 B. －1≤a≤3 C. 1<a<3 D. 0≤a≤2 6. 设奇函数满足，当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，若有解，则实数的取值范围时（ ） A. ，， B. ，， C. D. ， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数则（    ） A. B. C. 的最小值为-1 D. 的图象与x轴有2个交点 11. 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得对，恒成立 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知集合．若，则____________． 13. 函数的定义域为______． 14. 已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于__________． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求； （2）若，求实数的值. 16. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知不等式的解集为. （1）求的值； （2）解不等式. 18. 某旅游开发公司计划2023年开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2023年有万游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为50元，政府为鼓励企业更好发展，每年给该旅游开发公司财政补贴万元． （1）求2023年该旅游公司开发的游玩项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=收入-成本）； （2）当2023年的游客为多少时，该游玩项目所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数： （3）解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普集高中2024—2025学年度第一学期高三年级第 1 次月考 （数学）试题（卷） 第一卷 选择题（共48分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件结合一元二次不等式的解法求得集合，再由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用不等式性质，结合对数函数和幂函数性质和举反例可判断. 【详解】，则，则,故A错误； ，则，则，则，故B错误； ，则令，则，故D错误. 根据幂函数在上单调递增，且，则，故.故C正确. 故选：C. 3. 下列选项正确的是（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 在中，是的充要条件 C. 是的充要条件 D. 命题“，”的否定是：“，” 【答案】B 【解析】 【分析】由可判断A；由或，结合可判断B；由，可判断C；根据全称命题的否定可判断D. 【详解】选项A，若，则，若，则，∴是的充要条件，故A错误； 选项B，若，则或（显然不成立），若，则，∴是的充要条件，故B正确； 选项C，若，则，若，则，∴是的充分不必要条件，故C错误； 选项D，命题“，”的否定是：“，”，故D错误. 故选：B 4. 下列函数与是相等函数的是（ ） A. B. C. （且） D. （且） 【答案】D 【解析】 【分析】可得，且定义域为，根据函数相等逐项分析判断. 【详解】因为，且定义域为， 对于选项A：，可知两个函数的对应关系不同，所以函数不相等，故A错误； 对于选项B：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故B错误； 对于选项C：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故C错误； 对于选项D：，且定义域为，所以两个函数是相等函数，故D正确； 故选：D. 5. 已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. 1≤a≤3 B. －1≤a≤3 C. 1<a<3 D. 0≤a≤2 【答案】B 【解析】 【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案. 【详解】由题意:命题是假命题, 其否定: 为真命题, 即，解得， 故选：B 6. 设奇函数满足，当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用得到周期，结合奇函数性质可解. 【详解】为奇函数，则， 又，则，即，故函数周期为4. 则. 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果. 【详解】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B 8. 已知，且，若有解，则实数的取值范围时（ ） A. ，， B. ，， C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由已知先利用基本不等式求出的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求． 【详解】因为、，且， ， 当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9， 若有解，则，解得或， 即实数的取值范围为，，． 故选：． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求得集合，结合集合并集，交集的运算及韦达定理，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得，即， 又由，解得，即， ，A正确，B错误； ，则是的两根， 则，，C错误，D正确. 故选：AD 10. 已知函数则（    ） A. B. C. 的最小值为-1 D. 的图象与x轴有2个交点 【答案】ABC 【解析】 【分析】B选项，换元法得到函数解析式；A选项，代入求解即可；C选项，配方求出函数最值；D选项，解方程，求出答案. 【详解】B选项，令，得，则， ， 故，，B正确； A选项，，A正确， C选项，，所以在上单调递增， ，C正确； D选项，令，解得或0（舍去）， 故的图象与x轴只有1个交点，D错误． 故选：ABC 11. 已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得对，恒成立 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知可判断函数的奇偶性与单调性，进而判断各选项. 【详解】由已知，，且，当时，都有， 则函数为上的偶函数，且当时函数单调递增， 则当时函数单调递减， 所以，A选项错误； 且若，则，解得，B选项错误； 又，所以，又函数的图象是连续不断的， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的解集为，C选项正确； 由函数图象连续不断及函数的单调性可知，当时，取最小值， 所以当时，，恒成立，D选项正确； 故选：CD. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知集合．若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可. 【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，所以（舍）； 当时，可得（舍）， 此时，，满足条件，所以． 故答案为： 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由被开方数大于等于0、对数的真数大于0及分母不为0，列不等式组即可求解. 【详解】由解析式可得，解得，可得. 故答案为:. 14. 已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】可设，判断出是奇函数，从而得出的最大值和最小值的和为0，即可求出的值，然后求解． 【详解】函数， 设，，，则是奇函数， 的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为， ． ． 故答案为： 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，再从内到外计算； （2）分，分别求解，注意检验即可得解. 【小问1详解】 因为，， 故，解得，故， 所以，. 【小问2详解】 因为， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得或（舍去）； 综上，. 16. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求出其补集，然后求出集合，从而可求出； （2）由题意得⫋，转化为对任意的恒成立，根据二次函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 由，得， 所以，解得，所以 所以， 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以⫋， 因为， 则对任意的恒成立， 令， 所以，即， 解得或， 所以的取值范围为 17. 已知不等式的解集为. （1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为且；当时，解集为或；当时，解集为或； 【解析】 【分析】（1）、据题意可知，和是的两个根，利用韦达定理可求出的值； （2）、将（1）解出的代入不等式，再分类讨论解不等式. 【小问1详解】 的解集为，和是的两个根， 根据根与系数的关系可知：，. 【小问2详解】 由（1）可知，即,, ①、当即时，，此时解集为且； ②、当即时，，此时解集为或； ③、当即时，，此时解集为或；、 综上：当时，解集为且； 当时，解集为或； 当时，解集为或； 18. 某旅游开发公司计划2023年开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2023年有万游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为50元，政府为鼓励企业更好发展，每年给该旅游开发公司财政补贴万元． （1）求2023年该旅游公司开发的游玩项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=收入-成本）； （2）当2023年的游客为多少时，该游玩项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当游客为万人时，该游玩项目所获利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再结合的解析式计算可得； （2）由二次函数的性质求出时函数的最大值，再由基本不等求出时的最大值，即可得解. 【小问1详解】 依题意， 又， 所以当时， 当时， 所以； 【小问2详解】 当时， 所以当时； 当时， 当且仅当，即时， 因为， 所以当的取得最大值，即当游客为万人时，该游玩项目所获利润最大，最大利润是万元. 19. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数： （3）解不等式． 【答案】（1）； （2） 由（1）知，， 则， 由，得，则，即， 所以函数在上是增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定值及性质求出，再验证得解. （2）利用增函数的定义推理即得. （3）由（2）的结论及已知脱去法则，再解一元二次不等式组得解. 【小问1详解】 由，恒成立，得函数是定义在上的奇函数， 则，解得，由，得，解得，即， 此时，即函数是奇函数， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知, 函数是上的增函数，且是奇函数， 不等式， 因此，解，得或， 解，得，从而， 所以原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $