22.2 相似三角形的判定（6种题型基础练+能力提升练）数学沪科版九年级上册

22.2 相似三角形的判定（6种题型基础练+能力提升练） 题型一：利用平行判断相似三角形的方法 1．（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在中，是斜边上的高，，垂足为，则图中与相似的三角形（不包括）共有（　　）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（2023秋•宿松县期中）如图，点，，分别在的三条边上，且，． 求证：． 题型二：利用三边证相似三角形的方法 4．（2020秋•当涂县期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是　　 A． B． C． D． 5．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 题型三：利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法 6．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期中）如图，已知，点E、F在线段BD上，，，求证： 7．（2023秋•埇桥区期中）如图，在中，点是上一点，且，，． 求证：． 8．（2023•瑶海区三模）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：　 　，　 　； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 题型四：利用两角判定两个三角形相似的方法 9．（2023秋•蒙城县校级月考）如图，，．求证：． 10．（2022秋•安徽期中）如图，和是两个等腰直角三角形，，的顶点位于边的中点上．设与交于，与交于点，求证：． 11．（2023秋•合肥月考）如图，在平行四边形中，，若点、分别为边、上的两点，且．求证：． 12．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，一块直角三角板的直角顶点放在正方形的边上，并且使一条直角边经过点．另一条直角边与交于点． 求证：． 题型五：直角三角形相似的判定方法 13．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ） A． B． C．是的中点 D． 14．（2021秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，则图中相似三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 题型六:利用相似三角形求线段或角度的方法 15．（2022秋•金安区校级期中）如图，在中，，，点从点出发，沿以的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当时，求的值． （2）与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 16．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，． (1)求证：； (2)如果 ，则=________度． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•舒城县期末）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•六安期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•定远县期末）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•肥西县期末）如图，在中，高，相交于点，图中与相似的三角形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023秋•涡阳县月考）如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•金安区校级月考）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•泗县月考）如图，下列条件中不能说明的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•定远县月考）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点与的延长线上的点重合．交于点，交的延长线于点，交于点，于点，，则下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•亳州月考）在与△中，有下列条件：①；②；③；④，下列组合不能判断△的是　　 A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 10．（2023秋•蚌埠月考）如图，，分别是的边，上的动点（与点，，均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共4小题） 11．（2023秋•金安区校级月考）如图，在中，，，点、分别是边，上的点，连接，将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则的长为　　． 12．（2023秋•庐阳区校级期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点、、、、都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 　　． 13．（2023•雨山区校级一模）如图，中，，，，，分别是边，的中点，为边上一动点，于，交于． （1）　　； （2）当和相似时，　　． 14．（2022•合肥一模）如图，点是菱形的边的中点，点是上的一点，点是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点的对应点落在上． （1）写出图中一组相似三角形（除全等三角形） 　　；（2）若，则的值为 　　． 三．解答题（共9小题） 15．（2023秋•涡阳县月考）如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB＝6，CD＝9，BC＝21，P为BC上点．若以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似，求PC的长． 16．（2023秋•泗县月考）如图，在矩形中，，，点是边上一动点（不含端点，，连接，点是边上一点，且． （1）求证：； （2）设，若存在唯一点，使，求的值． 17．（2023秋•宁国市期末）如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线点．求证：． 18．（2023秋•宣城期末）如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19．（2023•庐阳区一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： （1）则　　，　　； （2）判断与是否相似，若相似，请说明理由． 20．（2023秋•金安区校级月考）如图，在中，、为边上的两个动点，． （1）若（即、重合），则　　时，； （2）若，，则与相似吗？为什么？ （3）当和满足怎样的数量关系时，？请说明理由． 21．（2023秋•肥东县期末）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，问经过几秒钟，与相似． 22．（2023秋•金安区校级月考）如图在中，，翻折使点落在斜边上某一点处，折痕为（点，分别在边，上）． （1）若与相似，①当时，的长为　 　．②，时，的长为　 　． （2）当点是的中点时，与相似吗？请说明理由． 23．（2023秋•包河区期末）如图，矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含、两点），过点作分别交射线、射线于点、． （1）求证：； （2）连接，若，且为中点，求的值； （3）若，移动点，使与相似，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2 相似三角形的判定（6种题型基础练+能力提升练） 题型一：利用平行判断相似三角形的方法 1．（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、由，能判定故本选项不符合题意． B、由能判定，故本选项不符合题意． C、由、能判定，故本选项不符合题意． D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定和相似，故本选项符合题意． 故选：D 2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在中，是斜边上的高，，垂足为，则图中与相似的三角形（不包括）共有（　　）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解析】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故选：B． 3．（2023秋•宿松县期中）如图，点，，分别在的三条边上，且，． 求证：． 【分析】根据平行线的性质得出，，即可得出结论． 【解答】证明：，． ，， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 题型二：利用三边证相似三角形的方法 4．（2020秋•当涂县期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【解答】解：根据题意得：，，， ， 、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； 、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； 、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； 、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 5．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 【答案】D 【分析】设小长方形的长为2a，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断． 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍， 设小长方形的宽为a，则长为2a， ∴图①中的三角形三边长分别为2a、； 图②中的三角形三边长分别为2a,； 图③中的三角形三边长分别为2a.； 图④中的三角形三边长分别为、， ∴①和②图中三角形不相似； ∵ ∴②和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和④图中三角形相似． 故选：D 【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 题型三：利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法 6．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期中）如图，已知，点E、F在线段BD上，，，求证： 【答案】见解析 【分析】由，可得，又由，，由此即可判定； 【详解】证明：∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握有两边对应成比例且夹角相等三角形相似是关键． 7．（2023秋•埇桥区期中）如图，在中，点是上一点，且，，． 求证：． 【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得结论． 【解答】证明：，，， ，， ， 又， ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 8．（2023•瑶海区三模）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：　 　，　 　； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【解答】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）． 证明：在的正方形方格中， ，， ． ，，， ，． ． 【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． 题型四：利用两角判定两个三角形相似的方法 9．（2023秋•蒙城县校级月考）如图，，．求证：． 【分析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为，所以，即．问题得证． 【解答】证明：， ， ， 又， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定．两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键． 10．（2022秋•安徽期中）如图，和是两个等腰直角三角形，，的顶点位于边的中点上．设与交于，与交于点，求证：． 【分析】由和是两个等腰直角三角形，，易得，又由，即可证得． 【解答】证明：是等腰直角三角形， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 11．（2023秋•合肥月考）如图，在平行四边形中，，若点、分别为边、上的两点，且．求证：． 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，则，根据角的和差求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 12．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，一块直角三角板的直角顶点放在正方形的边上，并且使一条直角边经过点．另一条直角边与交于点． 求证：． 【分析】由余角的性质可证，由相似三角形的判定可得结论． 【解答】证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 题型五：直角三角形相似的判定方法 13．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ） A． B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意； B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意； C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意； D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键． 14．（2021秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，则图中相似三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法，可得结论． 【详解】解：∵∠C=∠C，∠ADC=∠BAC=90°， ∴△ACD∽△BCA. ∵∠B=∠B，∠ADB=∠BAC=90°， ∴△BCA∽△BAD， ∴△ACD∽△BAD， ∴图中相似三角形共有3对． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 题型六:利用相似三角形求线段或角度的方法 15．（2022秋•金安区校级期中）如图，在中，，，点从点出发，沿以的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当时，求的值． （2）与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）当时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于，，，的比例关系式，我们可根据，的速度，用时间表示出，，然后根据得出的关系式求出的值； （2）分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和对应成比例以及和对应成比例两种情况． 【解答】解：（1）当时，， ，， ， 解得：； 即当，； （2）能， ①当时，有， 即：， 解得：， ， ②当时，有， 即：， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，当或时，与相似． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 16．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，． (1)求证：； (2)如果 ，则=________度． 【答案】(1)见解析； (2)70 【分析】（1）先证明，再证明即可； （2）作交延长线于点G，得平行四边形，利用等腰三角形转化角即可完成证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：如图：作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了相似的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，其中添加辅助线是解决问题的关键． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•舒城县期末）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：， ， 即， ．， ，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．，，即符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； ．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键． 2．（2023秋•六安期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【解答】解：在中，，，， 在、、选项中的三角形都没有，而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和， 因为，所以选项中的三角形与相似． 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 3．（2023秋•定远县期末）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对选项、选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对选项和选项进行判断． 【解答】解：在选项中得到的三角形与原三角形有组角对应相等；在选项中得到的三角形与原三角形的两组对应边的比相等且夹角对应相等；在选项中得到的三角形与原三角形有组角对应相等；在选项中得到的三角形与原三角形的两组对应边的比相等，但夹角不对应相等． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 4．（2023秋•肥西县期末）如图，在中，高，相交于点，图中与相似的三角形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由三角形的两条高线可得、根据知、知、知，从而得，据此可得答案． 【解答】解：、， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，图中与相似的三角形有、、这3个， 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两组对角对应相等的两个三角形互为相似相似三角形，两组对边对应成比例，以及夹角相等的两个三角形，互为相似三角形． 5．（2023秋•涡阳县月考）如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【解答】解：、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意； 、因为，且，则可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意； 、因为，则可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意； 、知道两边和邻角，画出来的三角形不一定和相似，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 6．（2023秋•金安区校级月考）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【解答】解： ，，都可判定 选项中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定： ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 7．（2023秋•泗县月考）如图，下列条件中不能说明的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可． 【解答】解：、，，，不符合题意； 、，，，不符合题意； 、，，不能得出，符合题意； 、，，，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 8．（2023秋•定远县月考）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点与的延长线上的点重合．交于点，交的延长线于点，交于点，于点，，则下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】由折叠性质可知，．再根据平行线的性质得，，于是，从而可判断选项正确；由等腰三角形的性质得．从而，于是可得．从而可判断选项正确；证明，利用相似三角形的性质求得．从而可判断选项正确；证明，从而得，，于是，可得与不相似．于是可判断选项错误． 【解答】解：由折叠性质可知，． ， ， ， ，故选项正确； ，， ． ， ．故选项正确； ， ， ， ． ， ．故选项正确； ， ， ， ， ， ， 与不相似． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，平行线的性质，折叠的性质以及等腰三角形形的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 9．（2023秋•亳州月考）在与△中，有下列条件：①；②；③；④，下列组合不能判断△的是　　 A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解． 【解答】解：①，②， ，△；选项不符合题意； ①，④，不能判定△；选项符合题意； ②，④，△；选项不符合题意； ③；④，△；选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 10．（2023秋•蚌埠月考）如图，，分别是的边，上的动点（与点，，均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】由相似三角形的判定，即可判断． 【解答】解：、由两角对应相等的两三角形相似，判定与相似，故不符合题意； 、由，判定与相似，故不符合题意； 、两三角形两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定与相似，故符合题意； 、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定与相似，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法． 二．填空题（共4小题） 11．（2023秋•金安区校级月考）如图，在中，，，点、分别是边，上的点，连接，将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则的长为　或2　． 【分析】根据折叠的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：将沿翻折得到， ， ， ， 以点、、为顶点的三角形与相似， 或，即或， 解得：或2， 故答案为：或2． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 12．（2023秋•庐阳区校级期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点、、、、都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 　　． 【分析】利用两边成比例夹角相等，证明三角形相似． 【解答】解：观察图象可知，， ，，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 13．（2023•雨山区校级一模）如图，中，，，，，分别是边，的中点，为边上一动点，于，交于． （1）　　； （2）当和相似时，　　． 【分析】（1）过作于交于，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理得到，，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）过作于交于， 在中，，，， ， ，分别是边，的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当和相似时， 或△， 或， 或， 或4， 故答案为：或4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．（2022•合肥一模）如图，点是菱形的边的中点，点是上的一点，点是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点的对应点落在上． （1）写出图中一组相似三角形（除全等三角形） 　　；（2）若，则的值为 　　． 【分析】（1）根据菱形性质和折叠性质证明，进而可以解决问题； （2）过点作延长线于点，设菱形的边长为2，设，根据勾股定理可得，然后根据，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）， 理由如下： 四边形是菱形， ， 由折叠可知：，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， 同理：， ， ， ； 故答案为：； （2）如图，过点作延长线于点， 四边形是菱形， ， ， 设菱形的边长为2， ， ， 设， 则， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共9小题） 15．（2023秋•涡阳县月考）如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB＝6，CD＝9，BC＝21，P为BC上点．若以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似，求PC的长． 【分析】分△ABP∽△PCD和△ABP∽△DCP两种情况进行讨论． 【解答】解：设PC为x，当△ABP∽△PCD时，， 即， 解得x1＝3，x2＝18， 当△ABP∽△DCP时，， 即， 解得x＝12.6； 综上分析可知，PC的长为12.6或3或18． 【点评】本题主要考查了三角形相似的性质，解题的关键是注意分△ABP∽△PCD和△ABP∽△DCP两种情况进行讨论． 16．（2023秋•泗县月考）如图，在矩形中，，，点是边上一动点（不含端点，，连接，点是边上一点，且． （1）求证：； （2）设，若存在唯一点，使，求的值． 【分析】（1）先证明，再由四边形是矩形，得出，从而得出，再证明，最后证得结果； （2）由（1）的，根据相似三角形的性质得到比例式，转化为一元二次方程，利用判别式△，构建方程解决问题． 【解答】（1）证明：， ． 又四边形是矩形， ． ． ． ． （2）解：， ， 即． 设，则． ， 即． 存在唯一点使， △．即， 解得． 【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键． 17．（2023秋•宁国市期末）如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线点．求证：． 【分析】根菱形的性质证明，利用两组角相等证明两三角形相似即可． 【解答】证明：四边形是菱形， ，． 又， ， ， ， ， 又， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键． 18．（2023秋•宣城期末）如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 19．（2023•庐阳区一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： （1）则　135　，　　； （2）判断与是否相似，若相似，请说明理由． 【分析】（1）利用图象法以及勾股定理解决问题即可． （2）结论：．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【解答】解：（1）观察图象可知，，． （2）结论：． 理由：，，，， ， ， ． 【点评】本题考查系数是局限性的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（2023秋•金安区校级月考）如图，在中，、为边上的两个动点，． （1）若（即、重合），则　90　时，； （2）若，，则与相似吗？为什么？ （3）当和满足怎样的数量关系时，？请说明理由． 【分析】（1）根据垂直的定义和相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）当时，． 理由：如图， ， ， ，， ， ． 故答案为：90； （2）结论：． 理由：， ， ， ，， ， ； （3）结论：． 理由：， ， ， 当时，则有， ， ， ， 在中，， ， 即． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 21．（2023秋•肥东县期末）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，问经过几秒钟，与相似． 【分析】设经过秒后，与相似，根据路程公式可得，，，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可． 【解答】解：设经过秒后，与相似，则有，，， 当时，有， 即， 解得（6分） 当时，有，即， 解得． 所以，经过或时，与相似（10分）． 解法二：设后，与相似，则有，，， 分两种情况： （1）当与对应时，有，即，解得 （2）当与对应时，有，即，解得 所以经过或时，以、、三点为顶点的三角形与相似． 【点评】本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来． 22．（2023秋•金安区校级月考）如图在中，，翻折使点落在斜边上某一点处，折痕为（点，分别在边，上）． （1）若与相似，①当时，的长为　　．②，时，的长为　 　． （2）当点是的中点时，与相似吗？请说明理由． 【分析】（1）①当时，为等腰直角三角形； ②若与相似，分两种情况：①若，如图1所示，此时，为边上的高；②若，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出与，从而得到，即点为的中点； （2）当点是的中点时，与相似．可以推出，，从而可以证明两个三角形相似． 【解答】解：（1）若与相似． 当时，为等腰直角三角形，如图1所示． 此时为边中点，； 故答案为：； ②若与相似，分两种情况： ①若，如图1所示． ， ． 由折叠性质可知，， ，即此时为边上的高． 在中，，，， ， ， ； ②若，如图2所示． ， ． 由折叠性质可知，， 又， ， ． 同理可得：，， 点为的中点， ． 综上所述，的长为1.8或2.5． 故答案为：1.8或2.5． （2）当点是的中点时，与相似．理由如下： 如答图2所示，连接，与交于点． 是的中线 ， ． 由折叠性质可知，， ， ， ， 又， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 23．（2023秋•包河区期末）如图，矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含、两点），过点作分别交射线、射线于点、． （1）求证：； （2）连接，若，且为中点，求的值； （3）若，移动点，使与相似，直接写出的值． 【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交与点，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ，且， ； （2）解：， ， ， ， ， 设交与点， 矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：矩形， ，，， ①当时，则：， 点为的中点， ， ， ，即：， 设，则：， ， ， ， ； ②当时，则：， ， 设，，则：，， ， ， 解得：， 由①知：， ， ， ， 或； 综上：或或． 【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$