22.1 比例线段（5种题型基础练+能力提升练）数学沪科版九年级上册

22.1 比例线段（5种题型基础练+能力提升练） 一．相似图形（共5小题） 1．（2023秋•埇桥区期中）下列说法中，错误的是　　 A．所有的等边三角形都相似 B．和同一图形相似的两图形相似 C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的矩形都相似 2．（2022秋•定远县校级期中）下列说法中，正确的有　　 ①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2023秋•青阳县期末）下列各组图形一定相似的是　　 A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似 4．（2023秋•庐阳区校级期中）下面各组图形中，不是相似图形的是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•迎江区校级期中）如图，四边形四边形，，，，则　　． 二．比例的性质（共4小题） 6．（2022秋•临泉县校级期中）已知，下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•贵池区期末）已知，那么下列比例式中成立的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•舒城县期末）已知，则下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•安庆期末）已知，则　　 A． B． C． D． 三．比例线段（共5小题） 10．（2023秋•蚌埠期末）下列各组线段中是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 11．（2023秋•金安区校级期中）甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•太和县期末）如图，点在线段上，若，则等于　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•安庆期末）已知，点在线段上，是，的比例中项，则的长　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•谢家集区期末）已知线段、、满足，其中，，则的长度为　　 A． B． C． D． 四．黄金分割（共4小题） 15．（2024•安徽模拟）黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长的值最接近的是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 16．（2023秋•金安区期末）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 17．（2024•合肥模拟）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•利辛县期末）如图，已知点是线段的黄金分割点（其中，，则线段的大小是　　 A． B． C． D． 五．平行线分线段成比例（共6小题） 19．（2023秋•亳州期末）已知点，分别在边，的延长线上，下列条件中一定能判断的是　　 A． B． C． D． 20．（2023•芜湖模拟）如图，在中，，且，则的值为　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•裕安区校级月考）如图，在中，点、、分别在、、边上，，，则下列比例式中错误的是　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•界首市校级月考）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是　　 A． B．2 C． D．5 23．（2024•安徽模拟）如图，已知直线，被一组平行线所截，交点分别为、、和、、，若，，则等于　　 A． B． C． D． 24．（2022秋•怀宁县期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是　　 A．2 B．4 C．1 D． 一．选择题 1．（2024•鸠江区一模）已知四个数，，，成比例，且，，，那么的值为　　 A．2 B．3 C． D． 2．（2023秋•贵池区期末）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 3．（2024•天长市一模）已知非负数，，满足，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•淮北期末）已知，则的值等于　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•潜山市期中）下列各组中的四条线段成比例的是　　 A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，7 6．（2023秋•淮北期中）已知四条线段，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长度为　　 A． B． C． D． 二．填空题 7．（2024•固镇县三模）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，，这个比值介于整数和之间，则的值是 　　． 8．（2023秋•蒙城县期末）已知，，，是比例线段，其中，，，则线段的长度为 　 　． 9．（2023秋•金安区期末）若，则的值为 　 　． 10．（2022秋•蚌山区校级期中）把长为的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是　 　． 三．解答题 11．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，其中米，米．现欲将其扩建成一个三角形花园，要求在射线上，在射线上，且经过点． （1）米时，求的面积． （2）当的长为多少米时，的面积为1600平方米． 12．（2022秋•宣州区期末）（1）若，求的值； （2）若，且，求． 13．（2022秋•潜山市期中）如图，已知在中，是边的中线，，与交于点，求的值． 14．（2022秋•怀远县期中）如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．已知， （1）求的长； （2）当，时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1 比例线段（5种题型基础练+能力提升练） 一．相似图形（共5小题） 1．（2023秋•埇桥区期中）下列说法中，错误的是　　 A．所有的等边三角形都相似 B．和同一图形相似的两图形相似 C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的矩形都相似 【分析】根据相似图形的判定对各选项逐一分析，即可解答． 【解答】解：、所有等边三角形对应边之比都相等，所以相似．故本选项正确； 、和同一图形相似的两图形的对应边成比例，所以相似．故本选项正确； 、所有等腰直角三角形的角分别为，，，所以对应角相等，所以相似．故本选项正确； 、所有的矩形的对应边不一定成比例．故本选项错误． 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，①若对应三边的比相等，则三角形相似； ②若对应两边的比相等，及其夹角相等，则三角形相似； ③若有两个角对应相等，则三角形相似． 2．（2022秋•定远县校级期中）下列说法中，正确的有　　 ①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用相似图形的判定进而判断得出即可． 【解答】解：①所有的正三角形都相似，正确； ②所有的正方形都相似，正确； ③所有的等腰直角三角形都相似，正确； ④所有的矩形都相似，对应变的比值不一定相等，故此选项错误； ⑤所有的菱形都相似，对应角不一定相等，故此选项错误． 则正确的有3个． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似图形的判定方法，正确把握各图形的性质是解题关键． 3．（2023秋•青阳县期末）下列各组图形一定相似的是　　 A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【解答】解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误； 任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，正确； 任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，错误； 任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误； 故选：． 【点评】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 4．（2023秋•庐阳区校级期中）下面各组图形中，不是相似图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【解答】解：、两个图形相似，故不符合题意； 、两个图形相似，故不符合题意； 、五角星和六角星不相似，故符合题意； 、所有的圆都相似，故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似图形的定义得出． 5．（2023秋•迎江区校级期中）如图，四边形四边形，，，，则　　． 【分析】根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【解答】解：四边形四边形， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是理解相似多边形的对应角相等． 二．比例的性质（共4小题） 6．（2022秋•临泉县校级期中）已知，下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质逐个判断即可． 【解答】解：、， ， ，故本选项不符合题意； 、， ， ，故本选项不符合题意； 、， ，故本选项符合题意； 、， ，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果，那么． 7．（2023秋•贵池区期末）已知，那么下列比例式中成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用比例的性质变形得出答案． 【解答】解：， ， 则， 故选：． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 8．（2023秋•舒城县期末）已知，则下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【解答】解：， ，， 、、选项不符合题意，选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键． 9．（2023秋•安庆期末）已知，则　　 A． B． C． D． 【分析】先利用分比性质得到，然后利用内项之积等于外项之积求解． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 三．比例线段（共5小题） 10．（2023秋•蚌埠期末）下列各组线段中是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论． 【解答】解：， 选项不成比例； ， 选项成比例； ， 选项不成比例； ， 选项不成比例 故选：． 【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 11．（2023秋•金安区校级期中）甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是　　 A． B． C． D． 【分析】先把1600米化成160000厘米，再根据比例尺的定义求出答案即可． 【解答】解：米厘米， 这幅地图的比例尺是， 故选：． 【点评】本题考查比例尺的定义，正确理解比例定义是解题关键． 12．（2023秋•太和县期末）如图，点在线段上，若，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】利用合比性质解决问题． 【解答】解：， ， ， 即， ． 故选：． 【点评】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决问题的关键． 13．（2023秋•安庆期末）已知，点在线段上，是，的比例中项，则的长　　 A． B． C． D． 【分析】首先设，由线段，可求得的值，又由是与的比例中项，列方程即可求得线段的长． 【解答】解：设，则， 是，的比例中项， ， 即， 解得：， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了比例中项的定义，掌握比例中项的概念是解题的关键． 14．（2023秋•谢家集区期末）已知线段、、满足，其中，，则的长度为　　 A． B． C． D． 【分析】根据线段比例中项的概念，可得，可得，故的值可求． 【解答】解：，，， ， 解得， 故选：． 【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念解答是关键． 四．黄金分割（共4小题） 15．（2024•安徽模拟）黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长的值最接近的是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据短边长与长边长的比为，长边的长为8，估算短边长的值，选择最接近的选项即可． 【解答】解：， 选项中最接近的数是5， 故选：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟记“黄金分割率”、正确计算是解题的关键． 16．（2023秋•金安区期末）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 【分析】由黄金分割知：，由此可求得的长． 【解答】解：为的黄金分割点， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 17．（2024•合肥模拟）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：，支撑点是靠近点的一个黄金分割点， ， 故选：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 18．（2023秋•利辛县期末）如图，已知点是线段的黄金分割点（其中，，则线段的大小是　　 A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义： 如图所示，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．即可求解． 【解答】解：设线段的长为，则， 根据黄金分割定义，得 ， 解得，，（不符合题意，舍去）， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 五．平行线分线段成比例（共6小题） 19．（2023秋•亳州期末）已知点，分别在边，的延长线上，下列条件中一定能判断的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键． 20．（2023•芜湖模拟）如图，在中，，且，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 21．（2023秋•裕安区校级月考）如图，在中，点、、分别在、、边上，，，则下列比例式中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可． 【解答】．，，故本选项正确， ．， ， ， ， ， ， 故本选项正确， ．， ， ， ， 故本选项错误， ．， ， ， 故本选项正确， 故选：． 【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理，关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式并能进行灵活变形． 22．（2023秋•界首市校级月考）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是　　 A． B．2 C． D．5 【分析】设点表示的数为，则根据平行线分线段成比例可得分式方程再进行检验，符合题意即可解答． 【解答】解：设点表示的数为，则根据平行线分线段成比例可得： 解， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合实际意义， 即点表示的数为． 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程． 23．（2024•安徽模拟）如图，已知直线，被一组平行线所截，交点分别为、、和、、，若，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：，， ， ，，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 24．（2022秋•怀宁县期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是　　 A．2 B．4 C．1 D． 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， 则，即， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 一．选择题 1．（2024•鸠江区一模）已知四个数，，，成比例，且，，，那么的值为　　 A．2 B．3 C． D． 【分析】根据比的性质解答即可． 【解答】解：根据题意得， 即， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求的值． 2．（2023秋•贵池区期末）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用黄金分割的定义计算出，然后计算即得到的长． 【解答】解：为的黄金分割点， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了黄金分割，正确记忆黄金分割的概念是解题关键． 3．（2024•天长市一模）已知非负数，，满足，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得最大值． 【解答】解：设，则，，， ， ， 随的增大而减小， ，，为非负数， ， 解得：． 当时，取最大值为， 当时，取最小值， 的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查了解不等式组，一次函数的性质，设是解题的关键． 4．（2023秋•淮北期末）已知，则的值等于　　 A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，根据比例的性质可得，然后将其代入，即可获得答案． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了比例的性质，较简单，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 5．（2023秋•潜山市期中）下列各组中的四条线段成比例的是　　 A．1，2，3，4 B．2，4，3，5 C．4，8，5，10 D．3，9，4，7 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答】解：、，四条线段不成比例； 、，四条线段不成比例； 、，四条线段成比例； 、，四条线段不成比例． 故选：． 【点评】本题考查了比例线段，根据比例线段的概念，最小数和最大数相乘，另外两数相乘，看它们的积是否相等是解题的关键． 6．（2023秋•淮北期中）已知四条线段，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长度为　　 A． B． C． D． 【分析】根据成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求的值． 【解答】解：四条线段、、、是成比例线段， ， 即， ． 故选：． 【点评】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例的性质，列方程求解即可． 二．填空题 7．（2024•固镇县三模）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，，这个比值介于整数和之间，则的值是 　　． 【分析】根据题意估算出的大小即可解决问题． 【解答】解：，，，且， ， ， 则． ， ， ， ． 故答案为：0． 【点评】本题考查黄金分割及估算无理数的大小，正确使用平方法对无理数的大小进行估算是解题的关键． 8．（2023秋•蒙城县期末）已知，，，是比例线段，其中，，，则线段的长度为 　 　． 【分析】根据，列式计算即可． 【解答】解：，，，是比例线段，其中，，， ， ， 解得， 故答案为：32． 【点评】本题考查了成比例线段，掌握，是解题关键． 9．（2023秋•金安区期末）若，则的值为 　 　． 【分析】将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可． 【解答】解：． 【点评】本题考查了分式的求值，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键． 10．（2022秋•蚌山区校级期中）把长为的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是　　． 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【解答】解：由题意知，则较短线段． 故本题答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算． 三．解答题 11．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，其中米，米．现欲将其扩建成一个三角形花园，要求在射线上，在射线上，且经过点． （1）米时，求的面积． （2）当的长为多少米时，的面积为1600平方米． 【分析】（1）由，得到，代入数据求得，于是得到结论； （2）设米，则，根据平行线分线段成比例定理得到，得到方程，求出，解一元二次方程即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， ， ， 米； （2）设米，则， ， ， ， ， 由题意得， 化简得 ， 解或． 经检验：或是原方程的根， 的长应设计为60或米． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 12．（2022秋•宣州区期末）（1）若，求的值； （2）若，且，求． 【分析】（1）设比值为，然后用表示出、、，再代入代数式即可解答； （2）设比值为，然后用表示出、、，再代入等式求出值，然后相比即可． 【解答】解：（1）设， ，，， ； （2）设， 则，，， 所以，， 解得， 所以，，， 所以． 【点评】本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、是解决本题的关键． 13．（2022秋•潜山市期中）如图，已知在中，是边的中线，，与交于点，求的值． 【分析】先证明是的中位线，得出，，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结果． 【解答】解：是边的中线， ， ， 是的中位线， ，， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键． 14．（2022秋•怀远县期中）如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．已知， （1）求的长； （2）当，时，求的长． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质求出，再计算即可； （2）作交于，交于，如图，易得四边形和四边形为平行四边形，则，所以，根据平行线分线段成比例定理，由得到，然后求出后计算即可． 【解答】解：（1）， ， 即，解得， ； （2）作交于，交于，如图， 易得四边形和四边形为平行四边形， ， ， ， ，即，， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$