专题05 二次根式加减【七大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题05 二次根式的加减 考点类型 知识一遍过 （一）二次根式的加减 （1）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 （2）二次根式比较大小： ①若a＞b＞0，则有； ②若，则有a＞b． ③将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。 （二）二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 考点一遍过 考点1：同类二次根式 典例1：下列二次根式，不能与合并的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【变式1】下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】在中与是同类二次根式的有 个．已知，则yx＝ ．若的整数部分为x，小数部分为y，则＝ ． 考点2：同类二次根式——求字母 典例2：与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式1】最简二次根式与能合并，则 ． 【变式2】最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 考点3：二次根式加减运算 典例3：计算：． 【变式1】 【变式2】（1）用“”“”或“”填空： ， ． （2）由（1）可知： ① ， ② ． （3）计算：． 【变式3】计算：． 考点4：已知字母的值化简求值 典例4：若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式1】已知，，求的值． 【变式2】已知，求下列各式的值 (1)； (2)． 【变式3】（1）已知，求的值． （2）已知，，求的值． 考点5：已知条件式化简求值 典例5：已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【变式1】已知，，求代数式xy2﹣x2y的值． 【变式2】（1）计算： （2）已知，，求代数式值． 【变式3】完成下列各小题： （1）已如，求的值； （2）已知，求式子的值； 考点6：二次根式新定义运算 典例6：定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【变式1】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【变式2】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【变式3】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成，开方，从而使得化简． 例如：化简     解：∵     ∴ 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（，5）的“横负纵变点”为（，）．     请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点（，）的“横负纵变点”为_______； (2)化简：； (3)已知a为常数（），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标． 考点7：二次根式运用 典例7：“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 【变式1】文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【变式2】 我们学习发现∶ 当时， 有 当且仅当时取等号． (1)求当时， 的最小值； (2)如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m． 【变式3】阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【变式4】阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次根式的加减 考点类型 知识一遍过 （一）二次根式的加减 （1）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 （2）二次根式比较大小： ①若a＞b＞0，则有； ②若，则有a＞b． ③将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。 （二）二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 考点一遍过 考点1：同类二次根式 典例1：下列二次根式，不能与合并的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】④⑤． 【分析】各式化简得到结果，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：， ①； ②； ③； ④； ⑤，， 所以不能与合并的是④⑤． 故答案为：④⑤． 【点睛】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键． 【变式1】下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】A、与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与被开方数相同，故是同类二次根式； C、与被开方数不同，故不是同类二次根式； D、与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：B． 【变式2】在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，把各个二次根式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的一组即可得求解． 【详解】①，，不是同类二次根式； ②是最简二次根式， ，是同类二次根式； ③和，不是同类二次根式； ④，，是同类二次根式； ⑤，，是同类二次根式； 同类二次根式有三组， 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．把二次根式正确化简为最简二次根式是解题关键． 【变式3】在中与是同类二次根式的有 个．已知，则yx＝ ．若的整数部分为x，小数部分为y，则＝ ． 【答案】 2 9 1 【分析】（1）先根据二次根式的基本性质化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可； （2）由于与互为相反数，根据二次根式的性质即可得到的值，然后求出，最后代入所求代数式即可求解； （3）首先估算的整数部分和小数部分，然后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴与是同类二次根式的有、，共2个； （2）∵， ∴， ∴， ； （3） ， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， 故答案为：2，9，1． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，二次根式有意义的情况及无理数的估算能力，有一定的综合性，解题关键是利用限制条件解出变量的值． 考点2：同类二次根式——求字母 典例2：与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可． 【详解】解： ， 又 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 【变式1】最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，代数式求值等知识．熟练掌握同类二次根式，最简二次根式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴， 故答案为：2． 【变式2】最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 【变式3】若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式、平方根，根据同类二次根式的定义得出、的值，从而得出的值，再求平方根即可得出答案． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故选：B． 考点3：二次根式加减运算 典例3：计算：． 【答案】 【分析】本题二次根式的加减，先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式1】 【答案】 【分析】直接合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式               【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则． 【变式2】（1）用“”“”或“”填空： ， ． （2）由（1）可知： ① ， ② ． （3）计算：． 【答案】（1），（2）①；②（3） 【分析】本题考查了无理数的大小比较，绝对值的意义，以及二次根式的加减运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）比较被开方数的大小即可； （2）根据绝对值的意义化简即可； （3）先化简绝对值，再合并同类二次根式； 【详解】解：（1）∵， ∴<，<； 故答案为：，； （2）∵<，<， ∴， ， ∴①； ②； 故答案为：；②； （3） ． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则． 先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】 ． 考点4：已知字母的值化简求值 典例4：若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 【变式1】已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式2】已知，求下列各式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的化简求值； （1）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可； （2）先求出的值，再分解因式，并整体代入即可． 【详解】（1）解：由已知得：， ； （2）解：， ． 【变式3】（1）已知，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）4（2） 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，平方差根式，完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． （1）把代数式化为的形式，再把的值代入进行计算即可； （2）将已知与分母有理化后，求出与的值，将所求式子配方后，把 与的值代入计算，即可求出值． 【详解】解：（1）∵， ∴， （2）， ， ，， 则 ． 考点5：已知条件式化简求值 典例5：已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 【变式1】已知，，求代数式xy2﹣x2y的值． 【答案】xy（y﹣x）；2+3 【分析】先将题目中所求式子化简，然后再根据 ，，求出x、y的值，再代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】xy2﹣x2y， ＝xy（y﹣x）， ∵，， ∴， 解得：， 当x＝，时，原式＝． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 【变式2】（1）计算： （2）已知，，求代数式值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则去括号，再根据二次根式的加减法则进行合并计算． （2）先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式的加减合并计算，最后将已知代入求值． 【详解】（1） = = （2）∵，， ∴， ∴ = = = ＝ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及代数式求值，分母有理化，解题的关键是利用二次根式的性质化简二次根式． 【变式3】完成下列各小题： （1）已如，求的值； （2）已知，求式子的值； 【答案】（1）15；（2）±4 【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． （2）根据已知等式可得，再利用完全平方公式变形可得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴原式=2（x+y）2-xy=15． （2）∵， ∴， ∴， ∴=±4． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，一元二次方程的解，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键． 考点6：二次根式新定义运算 典例6：定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【变式1】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简，绝对值的意义．正确理解“横负纵变点”的概念，正确转化完全平方式是解题关键． （1）根据“横负纵变点”的概念求解即可； （2）仿照材料，将变形为，即可化简； （3）先根据不等式的性质，得出，，再利用完全平方式将化简求值，得出点的坐标，最后利用“横负纵变点”的概念求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：， 点的“横负纵变点”为， ， 点的“横负纵变点”为， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ，， ， 点， 点是点M的“横负纵变点”，且， 点的坐标是， 故答案为：． 【变式2】定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 【变式3】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成，开方，从而使得化简． 例如：化简     解：∵     ∴ 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称Q点为P点的“横负纵变点”．例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（，5）的“横负纵变点”为（，）．     请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点（，）的“横负纵变点”为_______； (2)化简：； (3)已知a为常数（），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M'的坐标为 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，求出的“横负纵变点”即可； （2）根据材料一里面的化简方法，化简即可； （3）由，可得出，即可化简，得出m的值，再根据“横负纵变点”的定义，求出坐标即可． 【详解】（1）∵， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：． （2） ； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和完全平方式．读懂题意，理解“横负纵变点”的定义和材料一里面的化简方法是解题关键． 考点7：二次根式运用 典例7：“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 【答案】已有认识：（1）2；（2）①，②，③；类比学习： 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可解答 类比学习：根据材料设，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）， 也能将其看成是面积为2的正方形的边长； （2）①图1的面积为， ②图2的面积为． ③由此我们可以得到等式：，即； 类比学习： 设， 即， 由于x较小，可忽略不计，得：， ， ，即． 【变式1】文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) ；见解析； (2)． 【分析】（）先求出的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可； 过点作于点，利用勾股定理即可求解； （）连接，由勾股定理得，最后由即可求解； 本题考查了二次根式的化简，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）方法一：海伦公式． ∵，，， ∴， ∴ ； 方法二：秦九韶公式． ∵，，， ∴ ； 如解图，过点作于点，    设则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）连接，如图，    ∵，，， ∴， 在 中，， ∴， ∴该四边形的面积为． 【变式2】 我们学习发现∶ 当时， 有 当且仅当时取等号． (1)求当时， 的最小值； (2)如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）利用题目中的结论进行计算即可得出答案； （2）设花圃的长为米，宽为米，需要篱笆的长度为米，利用题目中的公式即可求得最小值． 【详解】（1）， ， 的最小值为2； （2）设花圃的长为米，宽为米，则，，， 根据题目的结论可得：， 篱笆至少需要． 【变式3】阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… ∴面积记为的正方形边长为； 故答案为：； （2）猜想，证明如下： ∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 【变式4】阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$